第10章应力状态与强度理论及其工程应用

第10章 应力状态与强度理论

及其工程应用

10.1 概述

10.1.1 应力状态的基本概念 轴向拉伸或压缩杆：

横截面 1

P

F A σ=

1A 横截面面积

斜截面 2

cos sin 22

x x

θθσσθστθ⎫

=⎪⎬=

⎪⎭

即用不同方位的截面截取，任意点A 的应力是不同的。 受扭圆轴：

横截面

x

P

M

I

τρ=

斜截面

s i n2

α

στα

=-c o s2

α

ττα

=

即，

A点的应力大小和方向随截面的方位不同而不同。

应力状态：构件受力后，通过一个点的所有截面上的应力情况的总体，称为该点的应力状态。

对于受力构件有必要研究其一点的应力状态。

研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。

10.1.2 应力状态分析的基本方法

研究一点的应力状态时，往往围绕所考察的点取一微小正六面体------

单元体。

单元体：微小的立方体，

dx dy dz 、、为无限小，其侧面上的应力可

看作是均匀分布的，立方体的两相对侧面的应力可看成是大小相等，方向相反。

在单元体各面上标上应力——应力单元体。

根据一点的应力状态中各应力在空间的不同位置，可以将

⎧⎨

⎩

空间应力状态

应力状态平面应力状态 空间应力状态：所有面上均有应力作用的应力状态。

平面应力状态：所有应力作用线都处于同一平面内的应力状态（有一对面上总是没有应力）。

⎧⎨

⎩

单向应力状态

平面应力状态纯剪切应力状态

单向应力状态：只受一个方向的正应力作用的应力状态。 纯剪切应力状态：只受剪应力作用的应力状态。

对于平面应力状态，由于单元体有一对面上没有应力作用，所以三维单元体可以用一平面微元表示。

10.2 平面应力状态分析-------任意方向面上应力的确定

10.2.1 方向角与应力分量的正负号约定

设从某受力构件上某点处取一单元体，放在x y -

坐标系里。该单元体

上作用有正应力x σ、y σ，剪应力xy τ、yx τ。第一个脚标x y 、表示应力作用面的法线与x y 、轴同向，第二个脚标则表示应力的方向。把单元体向

x y -平面投影将空间问题简化为平面问题。

假想用一个与x 平面成θ角的斜平面去切割单元体，取脱离体abc 。

θσ：斜面上的正应力。θτ：斜面上的剪应力。n ：斜面的外法线。

t 斜面的切线。

任意方向面正应力、剪应力的符号约定：

⑴ θ角------从x 正方向逆时针转至n 正方向者为正，反之为负。 ⑵正应力------拉为正，压为负。

⑶剪应力------使微元或其局部产生顺时针方向转动趋势者为正，反之为负。

图中x σ、y σ、θσ、xy τ、θτ均为正，yx τ为负。 10.2.2 平面应力状态分析------解析法

若已知脱离体abc 在应力x σ、y σ和xy τ、yx τ，以及未知应力θσ、

θτ的作用下处于平衡。根据平衡条件

n

F

=∑

(cos )cos (cos )sin (sin )sin (sin )cos 0

x xy y yx dA dA dA dA dA θσσθθτθθ

σθθτθθ-+-+=

0t

F =∑

(cos )sin (cos )cos (sin )cos (sin )sin 0

x xy y yx dA dA dA dA dA θτσθθτθθσθθτθθ-++--=

利用三角倍角公式，可得平面应力状态中任意方向面上应力的计算公式

cos 2sin 222sin 2cos 22

x y x y xy x y xy

θθσσσσσθτθσστθτθ+-⎧=+-⎪⎪⎨

-⎪=+⎪⎩ 【例1】 图示一平面应力情况，试求与x 轴成30

角的斜面上的应力。

单位：MPa

解：由图可知

10x MPa σ=，20y MPa σ=，

20xy yx MPa ττ==，30α= ，代入公式，有

30cos 2sin 22

2

10201020cos 6020sin 60 4.8222

x y

x y

xy MPa

σσσσσθτθ

+-=

+

-+-=+-=-

30sin 2cos 22

1020sin 6020cos 60 5.672

x y

xy MPa σστθτθ

-=

+-=+=

30

σ

得负值，说明它与图中所设方向相反，即为压应力。30τ 为正值说明

它与图中所设方向相同，为正剪应力。

【例2】图示一矩形截面简支梁，在跨中有集中力

F

作用。已

知:100F kN =，2l m =，200b mm =，

600h mm =，40θ=

，求离左支座4

l 处截面上C 点在斜截面n n -上的应力。

解：1.先求离左端4

l

处的剪力和弯矩。