ch8 层流流动与换热
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n 个台阶变化的情况,流场中流体的温度可用下列和式表示 n (11-30) t t Δt g x ξ , r
in
i 1
wi
i
式中:Δ twi 是壁温的第 i 个台阶变化;ξ 始位置。
i
是该壁温变化的起
8.4 已知热流密度时圆管进口段的对流换热
8.4.1 定热流密度
分析定热流密度圆管热进口段时,流体的量纲为1的温度 按下式定义。 t tin θ (8-31)
(8-16)
Nu = 3.658
右图为定热流密度(a) 定壁温(b)量纲为1的 温度分布曲线
(8-17)
1的温度
8.1.5
非圆形管道内充分发展区的层流换热计算
对于定物性流体在充分发展区稳定流动时的对流换热,边 界层能量方程式为 2 2
t t u t t 2 2 y z a x
其局部 Nu 数为
Nu
1 11 1 e 4 48 2 n 1 An γn
2 γn x
(8-33)
8.4.2
变热流密度
如果管壁热流密度沿管长而变,则可在定热流密度的基础 上用叠加原理求解。变热流密度可以是阶梯形的、连续的或者 两者兼而有之。 如果热流密度有若干个台阶变化,如图11-11,则壁温变 化为 n
式(8-37)可转化成用f(η )表示的常微分方程。把速度u、v 和它们的导数全部用x、η 的函数表示并代入式(8-37),经 整理和简化得到勃拉修斯方程式:
y y 定义相似参数为 η Re x 2 ,通过相似变换, x
相似变换和相似解
1 f f f 0 2
采用龙格-库塔法或其他数值解法求得它的精确解。
r0 t w tin λ
Δqi θw x ξ i ,1
i 1
(8-34) 如果热流密度连续变化有
r0 t w tin λ
x
0
dqw θw x ξi ,1 dξ dξ
(8-35)
8.5 外掠平壁的层流流动和换热的相似解
图11-12所示的外掠平壁二维定物性的层流边界层,其连 续方程式和普郎特方程式为 u v w divV 0 (8-36)
y a x t y b t w 、 t y y b 0
(8-2Байду номын сангаас)
该情况下的表面传热系数和努塞尔数为
qw 35 λ h t w t m 26 b
(8-21) (8-22)
8.2.2 两侧为数值不等的定热流密度的平行平板 两个边界条件都是非齐次的,用叠加原理求解。
(8-2)
um 为截面平均流速 局部阻力系数按壁面剪应力和平均流速来定义
Cf
w Re 2 2 m 12
(8-3)
如图8-1(b),管内流动的充分发展区的动量方程式为 1 d du dp ηr (8-4) r dr dr dx 其速度分布和阻力系数如下: r 2 Cf τw u 8 (8-5) 21 , 2 r um 2 ρum Re 0 非圆形截面管道的流动及其阻力系数。N-S方程式为 2u 2u dp η 2 2 (8-6) y dx z 图8-2和8-3给出了矩形管道和同心圆环形管道充分发展区的平 均阻力系数。
图8-1 流体在(a)平行平板间(b)圆管内的流动
定物性流体在平行平板间充分发展区的动量方程式,可由N-S 方程式简化为
d u 1 dp 2 dy η dx
2 u 3 y 1 um 2 b
2
(8-1)
dp dx 是流体的轴向压力梯度,在充分发展区中是一个定值 图8-1(a)平行平板间的速度分布为
(8-38)
8.5.2
壁面剪应力
壁面剪应力(η =0 )为 τw 1 1 0 Re x f f 0 2 ρu 4 Re x 局部阻力系数为
(8-39)
8.5.3
外掠平壁层流换热的相似解
Cf 2
Re x f 0 0.332
(8-40)
8当流体以均速u∞和匀温t∞流过一平壁时,若壁温tw是常数且 不等于主流温度时,则两者发生对流换热,在近壁处形成热边 界层。经过相似变换,求得热边界层中的量纲为1的温度分布 为
x y z u u 2u u v υ 2 x y y
(8-37)
这两个方程式构成外掠平壁流动的支配方程组。勃拉修斯 (Blasius)解这个方程组时得到它们的“相似解”。相似变 换和相似解的数学基础是:对于一个偏微分方程来说,若能通 过某种变换得到用某个单一函数来表示的常微分方程式,这样 不但便于求解,而且求解的结果有较大的通用性。 8.5.1
(8-11)
(2)定壁温
t t w dtm t x tm t w dx
(8-12)
图8-4 定热流密度和定壁温时留题混合平均温度的变化
8.1.3
圆管内充分发展区的层流换热计算——定热流密度
表面传热系数和努塞尔数为
qw 48 λ λ h 4.366 t w t m 11 D D hD Nu 4.366 λ
(8-30)
各个截面上的qw 、θ m 和Nu 数都可以利用表11-1的数据 求得。表11-1列出了定壁温下圆管热进口段的求解结果。
8.3.3
变壁温
壁温变化可以是阶梯形的,可根据叠加原理(图11-9)把阶 梯形变化的壁温分解成若干个只含一个台阶变化的问题,再把 求解结果叠加起来得到变温时对流换热问题的解。
Pr η exp f dη dη 0 2 0 θ Pr η exp f dη dη 0 2 0
η
(8-41)
8.5.4
壁面热流密度和表面传热系数 由于壁面处的流动维持严格的层流,由傅里叶定律
1 u x qw λt w t θ 0 x υ
hde h 4b Nu 5.385 λ λ
图11-7中角注 i 和 o 分别表示平板的内、外侧
根据叠加原理,用内、外侧单独加热时的Nuii 和Nu∞ 、相 应的修正系数 θi 和 θ o 以及内外侧热流密度的比值来表示两侧 加热时的 Nui 和 Nuo : Nuii Nui (8-23)
qw r0 λ
该问题同样可分解成为以下两个分问题:其一是充分发展 区的对流换热问题,它的解用脚注 f 表示;另一个是分问题A (如图11-10) 。 θ θ A θf
θ Cn e
n 1
2 γn r
1 4 7 2 Rn r 4 x r r (8-32) 4 24
高 Pr 数局部努塞尔数的表达式: 低 Pr 数局部努塞尔数的表达式:
12 x 13
Nu 0.339 Re1 2 Pr1 3 Pr x
(8-44)
(8-45)
Nu 0.564 Re Pr Pr 0
在适中的 Pr 数范围内有
(8-42)
h ~ x 1 2 由式(8-43)可知表面传热系数
离内的平均表面传热系数 hm 2hx L 。
Nu 0.332 Re1 2 Pr1 3 Pr 0.5 ~ 15 x
(8-43) ,从进口到x=L一段距
8.5.5
高 Pr 数和低数 Pr 介质的换热
2
(8-18)
表11-1给出了某些非圆形管道内流体作层流流动时在定热 流密度和定壁温条件下,用数值得出的努塞尔数。
8.2 两侧热流密度不等的同心圆环形管道内充 分发展区的层流换热
8.2.1 一侧绝热、另一侧定热流密度的平行平板 这种情况的坐标系统示于图11-6,其基本能量方程式和边 界条件分别为 2t u t 2 (8-19)
ch8 层流流动与换热
本章将讨论管内(槽内)以及外掠物体的 层流流动和换热的分析解,重点是确定 壁面剪应力和阻力系数以及表面传热系 数(对流换热系数)和努塞尔数的表达 式。
8.1 管内充分发展区的层流流动和换热
8.1.1 层流流动
在稳定流动的情况下,当粘性流体以均匀流速流入一管道 时壁面逐渐形成边界层。当流体再往前推进时,管内速度分布 不再改变而形成充分发展的流动。
图8-2 矩形管道流动充分发展区的平均阻力系数
图8-3 同心圆环形管道流动充分发展区的平均阻力系数
8.1.2
层流换热的基本方程式
流体在继续往前推进就构成充分热发展区,此时流体的量 纲为1的温度分布不再沿推进方向而变。 管横截面上按流体能量平均的混合平均温度tm 。
ρc pumtm Ac ρc putdAc
0
Ac
(8-7)
Ac 为管道的横截面积。 用壁温tw 和混合平均温度tm 来定义量纲为1的温度:
t tw tw t θ tm tw tw tm
(8-8)
在管内换热的情况下,用壁面和流体混合平均温度之差来定义 表面传热系数:
qw θ h λ tw tm r
(8-9)
r ro
充分发展区vr =0,得出圆管充分发展区层流换热的基本方程 式。 1 t u t (8-10) r r r r a x 下面就定热流密度和定壁温两类不同的边界条件分别对它 积分求解。如图8-4
(1)定热流密度
t x dtw dx dtm dx
y 0
d δ du u u udy 0 dx dx
u
δ 0
u dy (8-26)
最后得到平行平板间进口段流动的阻力系数为
Cf 8 u Re 2 3 ui
ui 1 u
1
(8-27)
8.3.2 已知壁温时圆管热进口段的对流换热 经过量纲为1的变换,简化后圆管热进口段的基本能量方 程为 1 θ 2 θ (8-28) r 1 r
(8-13)
(定热流密度)(8-14)
可见,管内充分发展区层流换热的h 和 Nu 数都是常数。 管内换热的斯坦顿数定义为
h hD λ Nu St (8-15) ρc p um ρum D η ηc p λ Re Pr
8.1.4
圆管内充分发展区的层流换热计算——定壁温
定壁温能量方程式为: 1 t u t t w t m r r r r a t m t w x 定壁温条件下对流换热的努塞尔数为
8.3 已知壁温时的热进口段的对流换热
8.3.1 流动进口段的阻力特性
设有两块无限大平行平板构成二维矩形槽道的流动,定物 性流体以匀速ui 流入,在近壁处形成了速度边界层,如图11-8 所示。
当壁面无喷注(vw =0) ,考虑到边界层外核心区u∞(x) ,则 边界层积分动量方程式可写成
u υ y
1 - θ i q o qi
Nu Nuo 1 - θi qi qo
(8-24)
8.2.3 内外侧热流密度不等的同心圆环形管道 同样运用叠加原理,最后得到的同心圆环形管道的内、外 侧努塞尔数公式与式(11-23)和(11-24)一样。由式(8-23) 和(8-24)求得壁温的计算公式为 1 de 1 θo θi ti t 0 qi Nu Nu qo Nu Nu (11-25) λ ii ii
r r
r
r
x λ 式中 r r r0 、x r0 ρc p um 2r0
热进口段的局部表面传热系数和努塞尔数为
qw h t w tin θm Nu x
(8-29)
λ2 x n
G e
n 0 n
Gn λ2n x 2 2 e n 0 λn