圆锥曲线文科真题

【2017年高考考纲解读】

(1)中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质，B 级要求； (2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A 级要求；

(3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A 级要求；曲线与方程，A 级要求. （4）有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题. 【重点、难点剖析】 1．圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)． 2．圆锥曲线的标准方程

(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)(焦点在y 轴上)；

(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2

b

2＝1(a >0，b >0)(焦点在y 轴上)．

3．圆锥曲线的几何性质

(1)椭圆：e ＝c

a ＝

1－b 2

a

2；

(2)双曲线：①e ＝c a ＝1＋b 2

a 2.

②渐近线方程：y ＝±b a x 或y ＝±a

b

x .

4．求圆锥曲线标准方程常用的方法 (1)定义法 (2)待定系数法

①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2

＝2ax 或x 2

＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义；

②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2

n ＝1(m ＞0，n ＞0)；

双曲线方程可设为x 2m －y 2

n

＝1(mn ＞0)．

这样可以避免讨论和繁琐的计算． 5．求轨迹方程的常用方法

(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程；

(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；

(3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；

注意：①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.

6．有关弦长问题

有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．

(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝ 1＋k 2

|x 2－x 1|或|P 1P 2|＝1＋1

k

2|y 2－y 1|.

(2)弦的中点问题

有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”来简化运算． 7．圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值

F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一

个端点，O 为坐标原点，则有

①|OP |∈b ，a ]；②|PF 1|∈a －c ，a ＋c ]； ③|PF 1|·|PF 2|∈b 2

，a 2

]；④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2. (2)双曲线中的最值

F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐

标原点，则有

①|OP |≥a ；②|PF 1|≥c －a . 8．定点、定值问题

定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．

9．解决最值、范围问题的方法

解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数或建立不等关系，根据目标函数或不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建

立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.

圆锥曲线文科真题

2010年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）

12．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )

A.x 23－y 2

6

＝1

B.x 24－y 2

5

＝1

C.x 26－y 2

3

＝1

D.x 25－y 2

4

＝1 15．过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为__________ 20．(本小题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过

F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．

(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程．

（5）中心在远点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为 （A 6 （B 5 （C ）62 （D ）5

2

（13）圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为___________ 20）（本小题满分12分）

设1F ,2F 分别是椭圆E ：2

x +2

2y b

=1（0﹤b ﹤1）的左、右焦点，过1F 的直线l

与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列。 （Ⅰ）求AB （Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值。

2011年高考文科数学全国新课标卷II

4．椭圆

22

1168

x y +=的离心率为

A ．

1

3

B ．

1

2

C ．33

D ．22

9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，