空间曲线在一般平面上投影方程的求法

摘 要 介 绍 了两 种 求 空 间 曲线 在 一 般 平 面 上 投 影 曲线 方 程 的 方 法 ，方 法一 是将 投 影 曲 线 看 作 是柱 面与 一 般
平 面 的 交 线 ，而 方 法 二 是 将 投 影 曲线 看 作 是 空 间 曲 线 上各 点 在 一 般 平 面 上 的 投 影 点 组 成 的 曲线 ．
性质 ３ ．（ × ）一 （ ×占）． 一 （ × ）． ．
所 以
ｙ ｌ ×６ Ｉ。，
证 明 令
· （６× ）一 （ × ６）· ．
一 ＋ ＋ × ｂ，
同理可得
因 为
（ × ６） · ＝ （ × ）·ｂ．
· （６× ） ＝ · （６× （ ＋ ＋ × ６））一 · （ｏｈ× ＋ × （ Ｘ ６））＝
１ Ｇ（ｘ１，Ｙ１，ｚ１）一 ０
ｏ ● ＝＇● ＝Ｈ ｏ ●‘ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●‘》 ●ｏ ● ＝ ●‘＝ ●ｏ ● ＝Ｈ ｏ ●
ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●
· （ ＋ ）］ 一 ［ ·（ ＋ ）
（ · ）６——（６· ） ．
· （６× （ × ６））一 · （（６ ·ｂ）Ｅ一 （６ ·ｉｆ）ｂ）＝
ｙ（１ Ｉ。Ｉ ｂ ｌ 一 （ ·６）。）一 ｙ｝ Ｉ ｚ ｌ Ｉ ｚ（１一 ｃＯＳｚ（ ， ））一
参 考 文 献
［１３同济 大 学 数 学 教 研 室 ．高 等 数 学 ＩＭ］．北 京 ：高等 教 育 出版 社 ，１９９６．
ＶｏＩ．１３，Ｎｏ．２ Ｍ ａＦ．，２０１０
高 等 数学 研 究
ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ＬＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴＩＣＳ
２３
空 间 曲线 在 一 般 平 面 上 投 影 方 程 的 求 法
李 勇 ，汪 民 乐
（西安 市第 二 炮 兵 工 程 学 院 ，西 安 ，７１００２５）
种方法 ，以作参 考．
面方程 ．
问题 求 空间 曲线 Ｃ在 一般 平面 Ｐ：
设 柱面 三的准线 ｒ 的方程 为
Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃｚ＋ Ｄ ＝ ０
ｆＦ（ｘ， ， ）一 ０，
上 的投影 曲线 Ｚ的方 程．
１Ｇ（ ， ， ）一 ０，
方法 一 空 间 曲线 Ｃ可看成 两个 空 间曲面 的交 母 线方 向
一 （１，０，一 ２），
１触 ＋ ＋ Ｃ ＋ Ｄ 一 ０．
设点 Ｍ（ｘ，Ｙ，ｚ）是柱 面上 一 点 ，点 Ｍ１（ｚｌ，Ｙｌ，２１）为
方 法二 空 间曲线 Ｃ也 可用参数方 程表示 ，即 准线 ｆ上一 点 ，则 有
ｒＸ — ｚ（￡），
ｌ — ｛一 ｚ；＝ ０，
ｙ — （ ），
２４
高 等数 学 研 究
２０１０年 ３月
ｆｚ Ｘｌ＋ Ａｔ，
．
ｙ ：＝＝ｙ１—卜Ｂｔ，
Ｉ — ｚｌ＋ Ｃｔ．
上的投 影曲线 的方程 ． 解 投影 曲线 的方 程可看 作平面 丌和经过空 间
曲线 Ｃ且垂 直于 平面 丌的柱 面 的交线．
从 以上诸式 中消 去 。，Ｙ ，２ 及 ｔ可得方程
Ｉｚ—ｚ（￡），
１ ｚ１— ２ｚｌ＝ ０；
“
其 中 ｔ为参数 ．
所谓 空间 曲线 Ｃ在 平 面 Ｐ上 的投 影线 ，是将 Ｃ上
作 战决 策 与 模 拟 研 究 ，Ｅｍａｉｌｌ Ｉｙ２００３０９０１０＠１６３．ｃｏｍ；
汪 民乐 （１９６４－），男 。安 徽 枞 阳 人 。博 士 ，教 授 ，从 事 计 算 智
ｆＦ（ １， １， １）一 ０，
能 、决 策 理 论 等 研究 ，Ｅｍａｉｌ：ｗａｎｇ－ｍｌ＠ ｓｏｈｕ．ｃｏｍ．
关 键 词 空 间 曲 线 ；投 影 曲线 ；曲 线 方 程 ．
中 图分 类号 Ｏ１８２
大一新 生在 学完 高等数 学 中“空 间解析几 何 与向 量代 数”这一章 后 ，基 本上 已经掌 握 了求 直线 在 一般
／Ｆ（ ， ， ）一ｏ，
１Ｇ（ ， ， ）一 ０
（１）
平面 上的投影 直线 的 方 程 和空 间 曲线 在坐 标 平 面上 表示 ，（１）式称 为 曲线 Ｃ的一 般方程 ．
的投影 曲线 的 方 程 ，而善 于思 考 的 学 生 自然 就会 有 所 求投 影 曲线 ｚ可 看成 由两 个 空 间曲面 的交线 ，
“如何求 空间 曲线在 一般 平 面上 投影 曲线 方 程 ”的疑 一 个 是 已知平 面 Ｐ，另一 个是 经过 已给空 间 曲线 Ｃ且
问 ，并且许 多学 生为 此而 困惑好 久 ，在 此 ，作 者介 绍两 垂直 于 已知平 面 Ｐ的柱 面 ，故 问题 转化为求 这一柱
先 求柱面 方程 ：柱 面 的准线 ｒ方程为
Ｈ （ｚ，ｙ， ）一 ０，
它 就是 以（１）为准线 ，母 线方 向为 的柱 面三 的方程 ．
， — Ｙ。一 ２ ＝ ０，
ＩＸ－２ｚ—ｏ。
因此 ，空间曲线 Ｃ在一般平 面 Ｐ上 的投影 曲线方程为 母 线方 向为
，Ｈ （ｘ，Ｙ， ） 一 ０，
［２］钱 昌本．高等数 学解 题过程中的分析和研究［Ｍ］．北京 ：科 学 出版 社 ，２００５．
［３］孙 本 旺 ，汪 浩 ．数 学 分 析 中 典 型 例 题 和 解 题 方 法 ［Ｍ］．长 沙 ：湖 南 科 学 技 术 出 版社 ，１９８３．
Ｉ ×ｂ Ｉ ，
（ × ６）· ＝
［４］徐利治 ，王 兴华 ．数学 分析的方法及 例题选讲 ［Ｍ］．北京 ： 高 等 教 育 出 版 社 ，１９８４．
线 ，即可用
一 （Ａ ，Ｂ ，Ｃ），
点 Ｍ（ｘ，Ｙ， ）属 于柱 面 的充要条件是点 Ｍ 在某一条
收 稿 日期 ：２００９～ ０９— ２０ｆ修 改 日期 ：２０１０～ ０１— ２７．
母线上 ，即存在 准线 ｒ上一点 Ｍｌ（ｚ ，Ｙ ， ），使 得点 Ｍ
作者 简 介 ：李 勇 （１９７９－），男 ，江 苏 江都 人 ，硕士 ，讲 师 ，从 事 组 合 优化 、 位于过点 Ｍ１且 以 为方 向 向量 的直线上 ．因此 ，有