物理竞赛热学气体动理论 固体 液体 物态变化

积分可以求出速率范围在v1－v2内分子数占总 分子数的比率为
N v2 f v dv v1 N
归一化条件

f ( v ) dv 1
0
平均值
v vf ( v)dv
0

v v f ( v)dv
2 2 0

二、麦克斯韦速率分布 早在1859年，英国物 理学家麦克斯韦利用平衡 态理想气体分子在三个方 向上作独立运动的假设导 出了麦克斯韦速率分布， 其表达式如下：
因而分子的每一个平动自由度的平均动能都为
1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 mv x mv y mv z ( mv ) kT 2 2 2 3 2 2
按照统计力学的基本原理，可将上述结论推广 到分子的转动和振动，因为无论是平动、转动还是 振动，都没有哪一个自由度是特别优越的，或者说 跟任何一个自由度相对应的运动出现的机会都是均 等的。可由此推出一个普遍的定理——能量按自由 度均分定理:在温度为T的平衡态下，气体分子的每 一个自由度都具有相同的平均动能，其大小都等于
W E S S
例：在一大水杯的水中，有一半径为R的大油滴，现 将此大油滴打散成多个半径均为r的小油滴，问此过 程要做多少功？已知油和水的表面张力系数为σ
解：设最后大油滴被打散成N个半径均为r的小油滴
3
4 4 3 3 R N r 3 3
油滴表面积增加
2 2
R N r
df (v) dv
v v p
0
可得
2kT 2 RT RT vp 1.41 m M M
2．平均速率
8kT 8RT v vf ( v)dv m M 0
3．方均根速率


v
2
0
3kT f v v dv m
2
因此有
3kT 3RT RT v 1.73 m M M
有不少液面并不呈球形。为了计算由 任意弯曲液面的表面张力所产生的附 加压强，考虑如图所示的一任意的微 小曲面。在曲面上任取一点O，过O 点作互相垂直的正截面 P1 和 P2 。截 面与弯曲液面相交而截得圆弧A1B1 与 圆弧 A2B2 ，设圆弧 A1B1 及圆弧A2B2 的曲率中心 分别为 C1 和 C2 ，所对应 的曲率半径分别为 R1 和 R2 。
分子运动的自由度
单原子分子: 3个平动自由度 双原子分子(刚性) : 3个平动，2个转动自由度
多原子分子（刚性） : 3个平动，3个转动自由度
二、能量按自由度均分定理 由前知一个分子的平均平动动能为
1 3 2 t m v kT 2 2
而平衡态下
1 2 v v v v 3
2 x 2 y 2 z
N Nm 1 2 2 2 mvix ( v ix ) nm v V N i i x
_____
1 2 分子向各方向运动机会均等 v v v v 3 1 2 代入 P的表达式得 P nm v 3
2 x 2 y 2 z
2 1 2 2 P n( m v ) n k 3 2 3
12－1 物质的微观模型 统计规律性
物质结构的微观模型 ：
1、宏观物体是由大量微观粒子 —分子（或原子） 组成的，分子之间有空隙；
2 、分子在不停地作无规则的运动，其剧烈程度与 温度有关； 3、分子之间存在相互作用力。 这些观点就是气体动理论的基本出发点。统计物 理学的任务就是从上述物质分子运动论的基本观点 出发，研究和说明宏观物体的各种现象和性质。
vf
vx
vi
vx
lx
lz
第三步：计算一个分子给器壁的作用力：
vx Fi 2mv x ( ) 2l x
第四步： 计算N个分子给器壁的平均冲力：
该面所受压强
m mv F Fi lx i i 1 lx
N 2 x
N
v
i 1
N
2 x
1 F P S l xl y l z
（3）分子之间以及分子与器壁之间的碰撞可视为 完全弹性碰撞。
2．统计假设
（1）容器中各处的分子数密度相同。
（2）分子沿任一方向的运动不比其他方向的运动占 优势，即分子向各个方向运动的几率均等。在任一 时刻，朝着直角坐标系的x、－x、y、－y、z和－z 轴各个方向运动的分子数应相等，并且都等于总分 子数的1/6。 （3）分子速度在各个方向上的分量的各种统计平均 值相等。如：
i m E RT 2M
液体的表面现象
在液体表面上会产生一些与液体内部不同的性质。
表面张力是作用于液体表面上的使液面具有收缩倾向 的一种力。液体表面单位长度上的表面张力称为表面 张力系数，以σ表示。 F

L
当外力F在等温条件下拉伸铁丝(见图)以扩大肥皂膜的 表面积ΔS时,力F 作的功为ΔW = FΔx 因为F = 2σL,ΔS =2LΔx 故 ΔW = σΔS
分子平均平动动能
压强的物理意义 统计关系式 宏观可测量量
1 2 k mv 2
2 p n k 3
微观量的统计平均值
压强是大量分子对时间、对面积的统计平均结果 .
三、温度的微观本质 1．温度公式 由理想气体状态方程得
m RT NRT P nkT M V VN A
2 P n k 3
2
R S N 4 r 4 R 4 R ( 1) r
做功
R W S 4 R ( 1) r
2
实验发现，液体的表面张力系数与液体的表面积的大 小无关，而仅是温度的函数。表面张力系数随温度的 升高而降低。
t n 0 (1 ) t'
设dl 周界的表面张力为df，由于边界上的df 沿 OC 中 心轴对称，因而水平分量df2 相互抵消，而垂直分量 d f 1 = df · sin =σ· dl sin ＝ σ· d l· r /R
其合力
f 2 r / R
2
这一部分曲面的表面张力所产生 的附加压强为
任一半径为 R 的凸液面，都作用于球面内的液体一个 2σ/ R 的附加压强。若是凹液面，则液体内部压强小于 外部压强，附加压强是负的。
m 3/ 2 f (v)dv 4 ( ) e 2kT
mv 2 2 kT
v dv
2
其中T是气体的热力学温度，m是每个分子的质量， k为玻尔兹曼常量.
关于麦克斯韦分布说明几点： •（1）麦克斯韦分布适用于平衡态的气体。 •（2）在平衡状态下气体分子密度n及气体温度都有 确定数值，故其速率分布也是确定的，它仅是分子质 量及气体温度的函数，其分布曲线随分子质量或温度 的变化趋势示于图。
2
12－4 能量均分定理 理想气体的内能
一、自由度
在物理学中，决定一个物体的位臵所需要的 独立坐标数，称为物体的自由度数。如，在三维 空间中自由运动的质点，必须用X、Y、Z三个坐 标来表示其位臵，因而自由度为3；在水面上航行 的小船，只需2个坐标就可表示其位臵，自由度为 2；沿铁轨前进的火车的自由度仅为1。
z
c
n N S vt 6
N nv , St 6
vt
x
ΔS a b 0
y
nv (以后可用较严密的方法 得到 ) 4
12-3 气体分子速率分布定律 玻耳兹曼分布
一个分子在某一时刻的速度完全是随机的，但 是这并不是说气体分子的运动速度就无规律可循。 实验表明，在一定条件下，大量分子的整体的速度 分布服从统计规律。 一、速率分布函数与平均速率 气体分子速率允许取值范围为：0→∞，为讨论 分子速率分布，选一速率小区间 vv+dv，此小区 间内的分子数为dN，总分子数为 N，则 dN/N表示 这一速率小区间内的分子数占总分子数的比率，也 可认为是一个分子其速率正好处在上述速率小区间 内的概率。
f ( v)
T1 300K T2 1200K
f ( v)
O2 H2
o
v p1 v p 2
v
o
vp 0 v pH
v
N2 分子在不同温度 下的速率分布
同一温度下不同气体 的速率分布
三、气体分子的三种速率 1．最概然速率 与曲线最大值对应 的速率vp称为最概然速 率。它表示一个分子速 率取vp的概率最大。 从极值条件
12－2 理想气体的压强公式 温度的微观实质
一、理想气体分子的微观模型和统计假设 1．理想气体分子的微观模型 （1）由于气体分子间距较大，分子的大小可以忽 略不计，即可把分子视为质点。
（ 2 ）气体分子间的相互作用力很弱，可忽略不计 。即认为除碰撞的瞬间外，分子之间以及分子与容 器壁之间都没有相互作用力。
1 kT 2
如果某种物质分子有i个自由度， 则分子的平均总动能为 三、理想气体的内能
i k kT 2
理想气体，因不考虑分子间的相互作用，其内能只 是所有分子的各种形式的动能的总和。所以1摩尔 理想气体的内能为
i i E0 N A kT RT 2 2
对于摩尔质量为M的m千克理想气体，其内能则为
vx v y vz 0
1 2 v v v v 3
2 x 2 y 2 z
二、理想气体的压强公式 压强的产生:分子与器壁的碰撞示意如图，单 个分子碰撞器壁的作用力是不连续的、偶然的、 不均匀的。大量分子的碰撞造成对器壁的压力 是一个持续的平均作用力。想想急雨中撑起雨 伞的沉重。
第一步：计算一个分子 与器壁碰撞一次对器壁 的作用：冲量=2mvx ly 第二步：计算每秒一个 分子碰撞器壁的次数为： vx/2lx分子间碰撞所产生 的影响由于统计平均将 彼此抵消。
一、分子的线度与间隙 在标准状态下，气体分子间的距离约为分子直径 的10倍，于是每个分子所占有的体积约为分子本身 的体积的1000倍。因而气体分子可看成是大小可以 忽略不计的质点。 气体分子的间距很大，因而很容易压缩；液体 和固体分子间也有空隙，如：50升水＋50升酒精＝ 97升溶液；在2万个大气压下，液体也会从钢管壁 上渗出等等。 二、分子热运动
随着速率小区间的不同，相应的比率dN/N是不 同的。一方面它与速率v有关，可用函数f(v)表示； 另一方面，它与区间的宽度dv成正比。于是有
dN f v dv N
改写成dN f v 源自Ndv称为气体分子的速率分布函数。它表示速率v附近单 位速率间隔内的分子数占总分子数的比率或者是一个 分子其速率正好处在v附近单位速率间隔内的概率。
分子热运动的基本特征是分子的永恒运动和频 繁的相互碰撞。分子热运动具有混乱性和无序性。 分子无规则运动的剧烈程度与温度有关。
三、分子力 分子之间同时存在吸引力 和排斥力。实验证明当分子间 距较大时，存在的引力很小， 随着间距的减小，引力逐渐加 强，当r＝r0时，分子力为零， 称r0为平衡位臵。r＜r0分子力 表现在排斥力，r＞r0分子力表 现在吸引力，当r＞10r0时，分 子力可以忽略不计。 分子间彼此趋近到分子的直径d时，分子将在强 大的斥力作用下被排斥开，类似小球间“弹性碰撞 ”过程。d的平均值称为分子有效直径，数量级约为 10-10m。
比较上两式可得
P nkT
1 3 2 k m v kT 2 2
1 3 2 k m v kT 2 2
它从微观意义上给出了温度的实质，即温度表 明了物体内部分子无规则热运动的剧烈程度。 2．气体分子的方均根速率
由上式得
3kT 3RT v m M
2
二、单位时间内碰在单位面积器壁上的平均分 子数
其中σ0是t=0℃时的表面张力系数；t′是比该液体的临 界温度tc低几度的温度，它是一常数；n也是一常数， 其数值在1与2之间.显然，当t 接近临界温度tc时，σ己 变为零。这是因为处于临界点状态的液体，其气与液 的差异已趋于消失。
杂质存在对σ会有影响。能使σ变小的物质称为表面活 性物质(肥皂、洗衣粉、洗衣液；洗发露，沐浴露等就 是最常见的能使水的表面张力系数变小的表面活性物 质 )。
弯曲液面附加压强 很多液体表面都呈曲面形状，常见的液滴、毛细管 中水银表面及肥皂泡的外表面都是凸液面，而水中 气泡、毛细管中的水面、肥皂泡的内液面都是凹液 面。 由于表面张力存在，致使液面内外存在的压强 差称为曲面附加压强。 考虑一半径为R 的球形液滴，在液 滴中取出平面中心角为2的球面 圆锥，如图所示。球面S边界线上 受到其他部分球面的表面张力作用 ，其方向沿球面切线向外。