一类半线性椭圆型方程边值问题的可解性
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论 探 讨 了半线性 椭 圆型方程 边值 问题 的可解性 ．
关键词：椭圆型方程 ；不动点；零解 ；有界正解；算子 中 图分类 号 ：０ ７ ． 文 献标识 码 ：Ａ １５２ ５ ｄ ｉ ０ ９ ９ ．ｓ． ０ — ８１ ０ ０ ２ １ ｏ：１． ６￣ｉ ｎ１ ７ ９ ３． １． ． ４ ３ ｓ ０ ２ ００
１ 引言及预备知识
最 近几 年 ，在生 物学 、生态学 、燃 烧理 论 、人 口动态 方 面出现 的很多 现象 能够用 半线性 椭 圆型 方程描
述， 许多数学工作者对拟线性椭圆型方程 （ ） 组 特别是非线性的具有一定奇异的椭圆型方程 （ ） 组 的解 （ 弱 解） 的存在性与不存在性、唯一性 、多解性、正则性、部分正则性以及解 的其它性态进行 了研究“ ．文献
证明 设 Ｘ：ｃ一） （ ，Ｘ 中所有非负 ，且在 Ｏ 上为零的函数构成正锥 Ｂ，且 Ｂ为 Ｘ的闭凸集．作算 ｆ ２ ｆ ２ 子 ： Ｂ， Ｂ 使得 “ Ｂ，Ｔ ＝上 （ ） ＋Ｌ （， ） 其 中：Ｕ 一 ） ∈ ｕ 『ａｘｕ － ｘ ｆ ， ＝（△ 为紧正算子．从而 ： Ｂ为 Ｂ
常数 ｃ ０ ＞ ，使得对于任意 （ ， ） Ｑ× ，有０ （， ） ． ｘ ｕ∈ Ｒ ｆ ｘ ｃ
， ． 、
…
的可解性 ．其中 ：ＱＣＲ 为有界光滑域 ；ａ ） （ ） （ ∈ｃ－ ，且 ａｘ ０ ｆ ｘ ｕ 关于各变元连续．假设存在 ６ （） ： （， ）
２ 主 要 结 果 及证 明
第 ３ 卷 第 ２ Ｏ 期
２ ０ 正 ０１
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｏ ｃ ｅ ｃ ｆ Ｔ ａ ｈ ｒ Ｃｏ ｌｇ ｎ Ｕｎ ｖ ｒｉｙ ｏ ｒ ａ ｆ Ｓ ｉ ｎ ｅ ｏ ｅ ｃ ｅ ｓ ｌｅ ｅ ａ ｄ ｉ ｅ ｓｔ
Ｖｏ ． Ｏ Ｎ ． １ ３ ｏ２
采 证法 满足 理的 ． 不满 理的 件， 存在 ｃ［ ｌ ｃ （ ＝，， ， 用反 证明 引 条件 若 足引 条 则 ） ０ ｌ ｎ １２…） ， Ｂ
＝悯 ，使 得
“ ＝ｔＴ ｕ ） ． － （ ） ＋ｆＬ （ ， ｎ ． （ ＝ｔＬ ｘ ｕ －ｆ ｘ Ｕ ） ａ （ ２）
作 者简 介 ：金启胜 （ ９２ ，男 ，安徽 桐城 人 ，讲师 ，硕 士 ，从 事微分 方程研 究 ．Ｅ ｍａ ：ｊ ｑｓｅｇ０ ８ ａｏ．ｌ １７一） － ｉ ｉ ｉ ｎ２０ Ｃ ｈｏ ｒ ｌ ｎ ｈ ￣ Ｃ
第 ２期
金 启 胜 ：一 类 半 线 性 椭 圆型 方 程 边 值 问 题 的 可 解 性
收 稿 日期 ：２ ０ — １ ２ ０ ９ １－７
∈ 边 上后 Ｑ 积 ，利 格第公 推 两 乘 “在 上 分 并用 林一 式 出
ＩＩ ， 为 Ｄ 因
Ｉｌ ： 以 ， 用Ｐｎｒ不 式 ｔｌ ｒ ） 。 。 ｒ （ ｚ 利 ０。 等 得Ｌ＇ ｉｅ ￣ ｌ ｕ 】
￣ｌ Ｒ ｌ ． ｕ ｌ Ｉ
定 １ ＩＩ 贝程值题 理 若（ ｍ以Ｉ， 边问｛ ＝ｘ） ０ ａ ＜ 方 ）。 ｌ （ ：
中： 为 Ｄｒ ｈ ｔ ｉｃｌ 条件下 一 ｉ ｅ Ａ算子在 Ｑ里的第一特征值．
（【 ） 零． ｒ，只 解 ∈１ 有 其Leabharlann ０ 】证 程 明方 ｛ ：
［ 讨 了 题“ １ 论 问 ｛ｕ ］ 中 － Ａ ： 。 正 的 在 与 存 性 文 ［ 研 了题 解 存 性 不 在 ． 献］ 究 问 ２ 中 ｛。 。 “ ｘｆ的在．文用动理探半性圆方 Ａ ＋ 。 ｓ “ ＝ ∈ 解存性本利不点论讨线椭型程 ｕ ： ＋ Ｑ ｔ ？ ）
１Ａ＝ｘ ＋（“ ＸＱ Ｉ ｕａ） ｆ ， ∈ “： —０ （ｕ ｘ ） ∈
５ ｌ
） ， Ｉ ｌｘ ０ ｌ ＜ 所以 Ｄ ＝ ．于是对于任意 Ｑ，Ｄ ＝ ， “ｄ ∈ “ ０ 结合“ ０ 所以方程边值问题 ｌ ，
｛ ：
紧正算子．
“
［ ） 零． ０只解 ， 有 １ ］
证・ 毕
定 理２ ￣ｌｘＩ 则问 （ ） 一 界正 ｔ ） ， 题 １ 存在 个有 解． ａ ｌ （ ≤
引 理 （ 动 点 定 理 ） 设 Ｘ 是 一 个 Ｂ ｎ ｃ 不 。 “ ａ ａｈ空 Ｉ Ｂ是 Ｘ 的 一 个 Ｊ 于 集 ，看 Ｔ是 Ｂ刽 Ｂ 的一 个 映 司， 划凸
射 ，Ｒ９－＋￣ －
， 使得对于满足 ＝Ｒ的任意 ∈ Ｂ， “ ｉ （）０ １， 有 ≠ ｕ（ ｆ ） 则 有一个不动点 ∈ ｆ Ｂ，
显然 ， 以 ） ｒ （ 为线 性算 子 ，取 （ ，由 （ － ９ ＝ ２）得 ｌＩ ｕ１
：
￣（ ） ＋ｆ ａｘ ｏ ９ ｎ
ｌ ｎｌ ｌ ｌ “
（ ３）
因。 为
ｃ 以 ， 所
， ｚ
又 （为 正 性 子且 紧 线 算 ， ）
所 以
ｎ ）
为 集， 列紧 必要的 过取 话通 子列， 得ｆ ｔ ［ １ 使得 （） 收 所以 可 。 ０ 】 ａ ｏ 敛． Ｃ ∈ 且 ‰ｌ１对 ∈，， ｘ９ Ｏ 曰 ｌ． 。 ＝ 式 （） 取 得 ＝ Ｌａ ）。 故 。 ， ３ 两边 极限 －（ ｃ ， ０ 这与Ｊ Ｉ１ 盾． ｘｏ ｌ ｌ 矛 所以Ｔ 足引 条 ＝ 满 理的 件． 由于 满足引理的条件 ，所以Ｔ有一个不动点 Ｂ，且 ｌ （ ∈ ｕ Ｒ Ｒ为ｉ 常数 ） ｌ Ｉ Ｆ ＿ ，即
Ｍａ ． ｒ ２Ｏｌ Ｏ
３月
文章 编号 ：１０ — ９ ３ ２ １ ）０ — ０ ０ ０ ０ ７ １８ １（ ０ ０ ２ ０ ５ — ３
一
类半线性椭 圆型方程边值 问题 的可解 性
金 启 胜
（ 安庆职 业技 术学 院 数学 教研室 ，安 徽 安庆 ２６ ０ ） ４０ ３
摘 要 ：在 自然科 学、社 会科 学 方面 出现 的很 多问题 能够 用半缌 ｝椭 圆型 方程描述 ，利 用不动 点理 生
关键词：椭圆型方程 ；不动点；零解 ；有界正解；算子 中 图分类 号 ：０ ７ ． 文 献标识 码 ：Ａ １５２ ５ ｄ ｉ ０ ９ ９ ．ｓ． ０ — ８１ ０ ０ ２ １ ｏ：１． ６￣ｉ ｎ１ ７ ９ ３． １． ． ４ ３ ｓ ０ ２ ００
１ 引言及预备知识
最 近几 年 ，在生 物学 、生态学 、燃 烧理 论 、人 口动态 方 面出现 的很多 现象 能够用 半线性 椭 圆型 方程描
述， 许多数学工作者对拟线性椭圆型方程 （ ） 组 特别是非线性的具有一定奇异的椭圆型方程 （ ） 组 的解 （ 弱 解） 的存在性与不存在性、唯一性 、多解性、正则性、部分正则性以及解 的其它性态进行 了研究“ ．文献
证明 设 Ｘ：ｃ一） （ ，Ｘ 中所有非负 ，且在 Ｏ 上为零的函数构成正锥 Ｂ，且 Ｂ为 Ｘ的闭凸集．作算 ｆ ２ ｆ ２ 子 ： Ｂ， Ｂ 使得 “ Ｂ，Ｔ ＝上 （ ） ＋Ｌ （， ） 其 中：Ｕ 一 ） ∈ ｕ 『ａｘｕ － ｘ ｆ ， ＝（△ 为紧正算子．从而 ： Ｂ为 Ｂ
常数 ｃ ０ ＞ ，使得对于任意 （ ， ） Ｑ× ，有０ （， ） ． ｘ ｕ∈ Ｒ ｆ ｘ ｃ
， ． 、
…
的可解性 ．其中 ：ＱＣＲ 为有界光滑域 ；ａ ） （ ） （ ∈ｃ－ ，且 ａｘ ０ ｆ ｘ ｕ 关于各变元连续．假设存在 ６ （） ： （， ）
２ 主 要 结 果 及证 明
第 ３ 卷 第 ２ Ｏ 期
２ ０ 正 ０１
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｏ ｃ ｅ ｃ ｆ Ｔ ａ ｈ ｒ Ｃｏ ｌｇ ｎ Ｕｎ ｖ ｒｉｙ ｏ ｒ ａ ｆ Ｓ ｉ ｎ ｅ ｏ ｅ ｃ ｅ ｓ ｌｅ ｅ ａ ｄ ｉ ｅ ｓｔ
Ｖｏ ． Ｏ Ｎ ． １ ３ ｏ２
采 证法 满足 理的 ． 不满 理的 件， 存在 ｃ［ ｌ ｃ （ ＝，， ， 用反 证明 引 条件 若 足引 条 则 ） ０ ｌ ｎ １２…） ， Ｂ
＝悯 ，使 得
“ ＝ｔＴ ｕ ） ． － （ ） ＋ｆＬ （ ， ｎ ． （ ＝ｔＬ ｘ ｕ －ｆ ｘ Ｕ ） ａ （ ２）
作 者简 介 ：金启胜 （ ９２ ，男 ，安徽 桐城 人 ，讲师 ，硕 士 ，从 事微分 方程研 究 ．Ｅ ｍａ ：ｊ ｑｓｅｇ０ ８ ａｏ．ｌ １７一） － ｉ ｉ ｉ ｎ２０ Ｃ ｈｏ ｒ ｌ ｎ ｈ ￣ Ｃ
第 ２期
金 启 胜 ：一 类 半 线 性 椭 圆型 方 程 边 值 问 题 的 可 解 性
收 稿 日期 ：２ ０ — １ ２ ０ ９ １－７
∈ 边 上后 Ｑ 积 ，利 格第公 推 两 乘 “在 上 分 并用 林一 式 出
ＩＩ ， 为 Ｄ 因
Ｉｌ ： 以 ， 用Ｐｎｒ不 式 ｔｌ ｒ ） 。 。 ｒ （ ｚ 利 ０。 等 得Ｌ＇ ｉｅ ￣ ｌ ｕ 】
￣ｌ Ｒ ｌ ． ｕ ｌ Ｉ
定 １ ＩＩ 贝程值题 理 若（ ｍ以Ｉ， 边问｛ ＝ｘ） ０ ａ ＜ 方 ）。 ｌ （ ：
中： 为 Ｄｒ ｈ ｔ ｉｃｌ 条件下 一 ｉ ｅ Ａ算子在 Ｑ里的第一特征值．
（【 ） 零． ｒ，只 解 ∈１ 有 其Leabharlann ０ 】证 程 明方 ｛ ：
［ 讨 了 题“ １ 论 问 ｛ｕ ］ 中 － Ａ ： 。 正 的 在 与 存 性 文 ［ 研 了题 解 存 性 不 在 ． 献］ 究 问 ２ 中 ｛。 。 “ ｘｆ的在．文用动理探半性圆方 Ａ ＋ 。 ｓ “ ＝ ∈ 解存性本利不点论讨线椭型程 ｕ ： ＋ Ｑ ｔ ？ ）
１Ａ＝ｘ ＋（“ ＸＱ Ｉ ｕａ） ｆ ， ∈ “： —０ （ｕ ｘ ） ∈
５ ｌ
） ， Ｉ ｌｘ ０ ｌ ＜ 所以 Ｄ ＝ ．于是对于任意 Ｑ，Ｄ ＝ ， “ｄ ∈ “ ０ 结合“ ０ 所以方程边值问题 ｌ ，
｛ ：
紧正算子．
“
［ ） 零． ０只解 ， 有 １ ］
证・ 毕
定 理２ ￣ｌｘＩ 则问 （ ） 一 界正 ｔ ） ， 题 １ 存在 个有 解． ａ ｌ （ ≤
引 理 （ 动 点 定 理 ） 设 Ｘ 是 一 个 Ｂ ｎ ｃ 不 。 “ ａ ａｈ空 Ｉ Ｂ是 Ｘ 的 一 个 Ｊ 于 集 ，看 Ｔ是 Ｂ刽 Ｂ 的一 个 映 司， 划凸
射 ，Ｒ９－＋￣ －
， 使得对于满足 ＝Ｒ的任意 ∈ Ｂ， “ ｉ （）０ １， 有 ≠ ｕ（ ｆ ） 则 有一个不动点 ∈ ｆ Ｂ，
显然 ， 以 ） ｒ （ 为线 性算 子 ，取 （ ，由 （ － ９ ＝ ２）得 ｌＩ ｕ１
：
￣（ ） ＋ｆ ａｘ ｏ ９ ｎ
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（ ３）
因。 为
ｃ 以 ， 所
， ｚ
又 （为 正 性 子且 紧 线 算 ， ）
所 以
ｎ ）
为 集， 列紧 必要的 过取 话通 子列， 得ｆ ｔ ［ １ 使得 （） 收 所以 可 。 ０ 】 ａ ｏ 敛． Ｃ ∈ 且 ‰ｌ１对 ∈，， ｘ９ Ｏ 曰 ｌ． 。 ＝ 式 （） 取 得 ＝ Ｌａ ）。 故 。 ， ３ 两边 极限 －（ ｃ ， ０ 这与Ｊ Ｉ１ 盾． ｘｏ ｌ ｌ 矛 所以Ｔ 足引 条 ＝ 满 理的 件． 由于 满足引理的条件 ，所以Ｔ有一个不动点 Ｂ，且 ｌ （ ∈ ｕ Ｒ Ｒ为ｉ 常数 ） ｌ Ｉ Ｆ ＿ ，即
Ｍａ ． ｒ ２Ｏｌ Ｏ
３月
文章 编号 ：１０ — ９ ３ ２ １ ）０ — ０ ０ ０ ０ ７ １８ １（ ０ ０ ２ ０ ５ — ３
一
类半线性椭 圆型方程边值 问题 的可解 性
金 启 胜
（ 安庆职 业技 术学 院 数学 教研室 ，安 徽 安庆 ２６ ０ ） ４０ ３
摘 要 ：在 自然科 学、社 会科 学 方面 出现 的很 多问题 能够 用半缌 ｝椭 圆型 方程描述 ，利 用不动 点理 生