浙江省高考数学(理科)考前必考题型过关练：专题三+函数与导数(13份)专题3 第19练

第19练 定积分问题

题型一 微积分基本定理的直接应用

例1 (2013·江西)若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211x

d x ，S 3＝ʃ21

e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1

B ．S 2

C ．S 2

D ．S 3

破题切入点 先利用微积分基本定理求出这三个定积分的值，然后比较它们的大小． 答案 B

解析 S 1＝ʃ21x 2d x ＝13x 3|21＝13×23－13＝73

， S 2＝ʃ211x

d x ＝ln x |21＝ln 2， S 3＝ʃ21

e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)，

ln 2

<2.5

题型二 定积分的应用

例2 (2013·北京)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )

A.43 B ．2 C.83 D.1623

破题切入点 求出抛物线的焦点坐标，确定直线l 的方程，画出图形，确定被积函数及积分的上、下限，用定积分表示所求图形的面积，然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可． 答案 C

解析 ∵抛物线方程为x 2＝4y ，

∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1.

如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数

y ＝14

x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，

即S ＝4－2ʃ20x 24d x ＝ ⎪⎪4－2·x 31220＝4－43＝83

. 题型三 不规则积分区间的问题

例3 由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2

所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)的面积是( )

A ．1

B.π4

C.223 D ．22－2

破题切入点 先求出曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 在(0，π2)内交点的横坐标为π4

，然后利用定积分的几何意义分两段表示阴影部分的面积，最后求和即可；也可根据图形的对称性用其中一部分面积的2倍来表示．

答案 D

解析 方法一 由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，得x ＝π4

. 故所求阴影部分的面积S ＝ (cos x －sin x )d x ＋ (sin x －cos x )d x

＝(sin x ＋cos x )＋(－cos x －sin x )

＝sin π4＋cos π4－sin 0－cos 0＋[(－cos π2－sin π2)－(－cos π4－sin π4

)] ＝22－2.

故选D.

方法二 由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，得x ＝π4

. 根据图象的对称性，可知所求阴影部分的面积S ＝2 (cos x －sin x )d x

＝2(sin x ＋cos x )

＝2(sin π4＋cos π4

－sin 0－cos 0) ＝22－2.

故选D.

总结提高 (1)利用定积分求解曲边梯形的面积关键是把握住两点：一是准确确定被积函数，一般是“上”减“下”；二是准确确定积分的上下限．

(2)对于不规则图形的定积分求法，一般是将其分割后求解，注意区分定积分的几何意义与利用定积分计算曲线与x 轴所围成图形的面积的不同．

(3)解决此部分问题注意把握一种方法即根据曲边梯形的结构特征，灵活利用定积分表示曲边图形区域的面积．

1．已知自由落体运动的速率v ＝gt ，则落体运动从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( )

A.gt 203 B ．gt 20 C.gt 202 D.gt 2

06

答案 C

解析 由题意，可知所走路程为＝

＝12gt 2＝12gt 20.

2．(2014·山东)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )

A ．2 2

B ．4 2

C ．2

D ．4

答案 D

解析 令4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝±2，

∴S ＝ʃ20(4x －x 3)＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x 2－x

4420＝8－4＝4，故选D.

3．(2014·湖南)已知函数f (x )＝sin(x －φ)，且f (x )d x ＝0，则函数f (x )的图象的一条对称轴是(

) A ．x ＝5π6 B ．x ＝7π12

C ．x ＝π3

D ．x ＝π6

答案 A

解析 ∵sin(x －φ)d x ＝－cos(x －φ)＝0，

∴－cos(2π3－φ)＋cos φ＝0.

∴cos(2π3－φ)－cos φ＝0. ∴3

2sin φ－3

2cos φ＝0.

∴3sin(φ－π

3)＝0.

∴φ－π

3＝k 1π(k 1∈Z )．

∴φ＝k 1π＋π3(k 1∈Z )．

∴f (x )＝sin(x －k 1π－π3)(k 1∈Z )．

由x －k 1π－π3＝k 2π＋π2(k 1，k 2∈Z )得x ＝(k 1＋k 2)π＋56π(k 1，k 2∈Z )，

∴f (x )的对称轴方程为x ＝(k 1＋k 2)π＋56π(k 1，k 2∈Z )．

故x ＝5π6为函数f (x )的一条对称轴．

4．(2014·江西)若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于( )

A ．－1

B ．－13

C.13 D ．1

答案 B

解析 ∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，

∴ʃ10f (x )d x ＝(13x 3＋2x ʃ10f (x )d x )|10

＝13＋2ʃ10f (x )d x ，

∴ʃ10f (x )d x ＝－13.

5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝ʃ30(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30为(

) A ．15 B ．20 C ．25 D ．30

答案 A

解析 由已知得S 10＝ʃ30(1＋2x )d x ＝12，

据等差数列性质可得S 10＝12，S 20－S 10＝5，S 30－S 20＝S 30－17亦成等差数列，

故有12＋S 30－17＝10⇒S 30＝15.

6．设n ＝4sin x d x ，则二项式(x －1x )n 的展开式的常数项是( )

A ．12

B ．6

C ．4

D ．1

答案 B

解析 由定积分得n ＝－4cos x ＝4，

二项式的通项公式为T k ＋1＝C k 4x 4－k (－1x )k