最新《数理金融学》题库(含)答案

《数理金融学》题库（含）答案

第一章练习及参考答案

1. 假设1期有两个概率相等的状态a 和b 。1期的两个可能状态的状态价格分别为a φ和b φ。考虑一个参与者，他的禀赋为(011;;a b e e e )。其效用函数是对数形式

0110111(;;)log (log log )2

a b a b U c c c c c c =++ 问：他的最优消费／组合选择是什么？

解答：给定状态价格和他的禀赋，他的总财富是011a a b b w e e e φφ=++。他的最优化问题是

011011,,0110111max

log (log log )2s.t.()0,,0

a b a b c c c a a b b a b c c c w c c c c c c φφ++-++=≥

其一阶条件为：

00

110111/1(1/)2

1(1/)2

0,0,,a a a b b b a a b b i i c c c c c c w

c i a b

λμλφμλφμφφμ=+=+=+++=== 给定效用函数的形式，当消费水平趋近于0时，边际效用趋近于无穷。因此，参与者选择的最优消费在每一时期每一状态都严格为正，即所有状态价格严格为正。在这种情况下，我们可以在一阶条件中去掉这些约束(以及对应的乘子)而直接求解最优。因此，0(0,,)i i c i a b μ==。对于c 我们立即得到如下解：

1c λ=, 11112a a c λφ=, 21112b b

c λφ= 把c 的解代人预算约束，我们可以得到λ的解：

2

λω=

最后，我们有

1

2c w =, 114a a w c φ=, 114b a

w c φ= 可以看出，参与者把一半财富用作现在的消费，把另外一半财富作为未来的消费。某一状态下的消费与对应的状态价格负相关。状态价格高的状态下的消费更昂贵。结果，参与者在这些状态下选择较低的消费。

2. 考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态a 和b 。经济的参与者有1和2，他们具有的禀赋分别为：

10:1000

e --- ，2200:050e --- 两个参与者都具有如下形式的对数效用函数：

01()log (log log )2

a b U c c c c =++ 在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。因为有两个状态，因而只有两个状态或有证券。试分析这个经济的均衡。

解答：考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态a 和b 。经济中 有参与者1和2，他们具有的禀赋分别为：

10:1000

e --- 2200:050e ---

两个参与者都具有如下形式的对数效用函数：

01()log (log log )2

a b U c c c c =++

在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。因为有两个状态，因而只有两个状态或有证券。

现在我们开始分析这个经济的均衡。从给定交易证券价格下参与者的最优化问题开始。记[;]a a φφφ=为状态价格(向量)，即两个状态或有

证券的价格。我们可以定义每个参与者的财富为$T w e φ=，这里$[1;]φφ=；而e 是他的禀赋。这时，最优化问题变成了：

001max log (log log )2

s.t.a b c a a b b c c c c c c w

φφ++++= 该问题的解为

,01

2k k c w =, ,14k k a a w c φ=, ,14k k b a

w c φ= 这里1100w =而220050a b w φφ=+。

均衡由市场出清决定。有两个交易证券，每一市场都应该出清：

1,2,1,2,20050110012004420050110015044a b a a a a a b b b b b c c c c φφφφφφφφ++=+=++=+=

均衡价格的解为1/4a φ=和1b φ=。参与者2的财富为2200(1/4)(50)(1)100w =+=。因此，参与者2和参与者1的财富相同，尽管他们的禀赋非常不同。均衡配置是12[50;[100;25]]c c ==。这并不奇怪。给定他们具有相同的偏好和财富，他们的消费计划也应该相同。

现在让我们来看看均衡配置。对于每个参与者，他的相对边际效

用为

,,00,0,1(1/)()/22()(1/)22/(4)1/4,1,k w k w k k k k k k k w k w w c c U c w U c c c w a b

φωφω∂===∂=⎧==⎨=⎩

这对于两个参与者来说是一样的。

3．一个投资者有本金x ，可以投资的钱数在0到x 之间，如果投资了y ，则会以概率p 获益y ，以1p -损失y 。如果12p >，投资者的效用函数是对数的，则投资者应该投入多少？

解：设投入金额是ax ，01a ≤≤，投资者的投资结果记为X ，它等于x ax +或x ax -，出现这两种结果的概率分别是p ，1p -，它们的期望效用为：

log((1))(1)log((1))p a x p a x ++--

log(1)log()(1)log(1)(1)log()p a p x p a p x =+++--+-

log()log(1)(1)log(1)x p a p a =+++--。

为求出a 的最优值，对上式关于a 求导

log(1)(1)log(1)p a p a ++--

得：

1(log(1)(1)log(1))11d p p p a p a da a a

-++--=-+-。 令上式等于0，得：

1p ap p a ap -=-+- 或 21a p =-。

所以投资者每次都应投资他现有财富的100(21)%p -。例如，如果