瞬时无功功率与传统功率理论的统一数学描述及物理意义

教授, 博士生导师, 主要从事电力电子技术和工业自动化领域的研究与教学工作, 发表论文约 70 篇, 专著、译著各一部。
第 13 卷第 6 期
刘进军等 瞬时无功功率与传统功率理论的统一数学描述及物理意义 7
iΑ iΒ
功率和无功功率等概念向瞬时值概念的自然扩展, 因而易于理解, 各物理量之间的关系清晰, 物理意义 明确。 为了说明问题, 文中将首先对赤木泰文等人的 三相电路瞬时无功功率理论作简单回顾, 并推导出 其在不同情况下的功率表达式。
va = vb = vc =
2
kv
∑
= 1
V V V
kv
sin (k v Ξt + Υ kv ) sin (k v Ξt + Υ ± kv sin (k v Ξt + Υ ki
( 15a ) 2Π ) ( 15b ) 3 2Π ) ( 15c) 3
∞
2
kv
∑
= 1
kv
∞
2
kv
∑
= 1
kv
2Π ) 3 2Π ) ic = 2 I 1 sin ( Ξt + Υ 1i + 3 分别代入式 ( 1) 和 ( 2) 可得
q= 3
∑
hV
kv
= ki
kv
I k i± sin ( Υ - Υ kv ki ) +
3
kv
∑ g hV
≠k i
I k i sin [ (k v
- g k i ) Ξt + Υ - gΥ kv ki ] ( 16b )
代入式 ( 3) 和 ( 6) , 得 p = 3V 1 I 1 co s ( Υ Υ 1v li ) q = 3V 1 I 1 sin ( Υ Υ 1v 1i )
vΑ= vΒ = iΑ = iΒ = -
同样可推得瞬时实功率和瞬时虚功率分别为
p = 3
kv
∑
kv
V
kv
= ki
I k i co s ( Υ kv
- Υ + ki
3
kv
∑ gV
≠k i
kv
I k i co s[ (k v
- g k i ) Ξt + Υ - gΥ kv ki ] ( 16a )
3 V 1 sin ( Ξt + Υ 1v ) 3 V 1 co s ( Ξt + Υ 1v ) 3 I 1 sin ( Ξt + Υ 1i ) 3 I lco s ( Ξt + Υ 1i ) ( 12a ) ( 12b )
=
2 3
3 2 1 1 2 0 3
vc ia ib
( 2)
瞬时有功、无功电流和瞬时有功、无功功率, 得到与 式 ( 9) 类似的关系式。
2 2 如图 1 所示, 在 Α 、 v Β 和 iΑ 、 2Β 平面上, 矢量 v Α
iΒ 可分别进一步合成电压矢量 v 和电流矢量 i。实际
-
ic
上 vΑ 、 v Β 和 iΑ 、 i Β 分别是 v 和 i 在 Α轴、Β 轴上的投影。 在Α 2Β 坐标系中, 两相总的瞬时功率为 p = v ΑiΑ + v ΒiΒ 赤木将之写成点积的形式并定义为瞬时实功率 p = iΑ・v Α+ iΒ・v Β 定义瞬时虚功率矢量 q 为 q = iΑ×v Β+ iΒ×vΑ 合, 定义 q 在 Χ轴上的投影 q 为瞬时虚功率3 q = v ΒiΑ - v ΑiΒ 将式 ( 3) 和 ( 6) 写成矩阵形式
设Α 2Β2Χ 为相互垂直的右手坐标系, 则 q 与 Χ 轴重
( 6)
=
( 7)
将其写成反变换形式并分解如下
3 赤木原文中称为瞬时实功率和瞬时虚功率, 文献 [ 3 ～ 5 ] 称之为瞬时有功功率和瞬时无功功率。另外, 赤木原文定义
q = vΒ× iΑ+ vΑ× iΒ, 故其 q 的定义式与本文式 (6) 符号相反, 作者将另文说明按本文式 (5) 和 (6) 的定义更符合普遍的
1 引言
近年来, 谐波和无功功率的补偿问题日益受到 重视。 在要求对变化的谐波或无功功率进行快速的 动态跟踪补偿的场合, 建立在平均值基础上的传统 功率理论已经难以适用。 80 年代初, 日本学者赤木泰 文 (H. A kagi) 等人提出了建立在瞬时值基础上的
三相电路瞬时无功功率理论 [1, 2 ] , 引起了诸多学者的 跟踪研究, 并成功地应用于实际 [3～ 5 ]。但是, 该理论 与传统功率理论的关系一直没有得到清晰透彻的分 析。 本文试图深入分析三相电路瞬时无功功率理论 与传统功率理论的关系, 建立二者的统一数学描述, 揭示瞬时无功率的物理意义。 这种分析和统一数学 描述是基于将传统功率理论中有效值、 相位差、 有功
习惯。
8
电工技术学报
∞
1998 年 12 月
各相之间相互传递”这一点。
212 各种情况下功率表达式的推导
3V
1
下面给出各种情况下基于瞬时无功功率理论的 具体功率表达式, 以便下文对照。
21211 电压和电流均为对称正弦时
k i2= 12 k Leabharlann Baidu+ = 2+
∑
I k i sin [ (k i ± 1) Ξt + Υ ±Υ ki 1v ]
vΑ vΒ
系, 可得 [1, 2 ] p Α = p Αp + p Αq p Β = p Βp + p Βq p Αp + p Βp = p p Αq + p Β q = 0
( 9a ) ( 9b ) ( 9c) ( 9d )
可见各相的瞬时无功功率对总的瞬时功率 ( 瞬 时实功率) 没有任何贡献, 而是在各相之间相互传
瞬时有功电流、瞬时无功电流。定义 Α相和 Β 相的瞬 时有功功率、 瞬时无功功率分别为该相瞬时电压与 瞬时有功电流、 瞬时无功电流的乘积, 并分别记为
pΑ pΑ p Βp、 p Βq。考察其与各相瞬时功率 p Α 、 p Β 的关 p、 q、
功率表达式推导
211 赤木瞬时无功功率理论的有关定义
瞬时无功功率理论的核心是赤木提出的有关瞬 时无功功率的定义 [1, 2 ]。设三相电路的瞬时电压和瞬 时电流分别为 v a、 v b、 v c 和 ia、 ib、 ic。为简明起见, 下文 中均只考虑电压和电流中不含零序分量的情况。 将 它们分别变换到两相正交的 Α 2Β 坐标系上, 可得两 相瞬时电压 v Α 、 v Β 和两相瞬时电流 iΑ 、 iΒ 如下
( 1)
=
2 3
1 0
1 2
1 2 3 2 1 2 3
va vb
递。 这也正是赤木给出瞬时实功率、 瞬时虚功率及各 相瞬时无功功率、 瞬时有功功率定义的依据。 类似 地, 由式 ( 8) 以及与式 ( 2) 相对应的反变换 ( 并注 意到电流中不含零序分量) 可以定义 a、b、c 各相的
iΑ iΒ
式中, k v = k i 表示二者的次数和相序均相同, 而
h= g=
1 当电压取正序分量时 - 1 当电压取负序分量时 1 当电压和电流取相同相序时 - 1 当电压和电流取不同相序时
21212 电压为对称正弦而电流有畸变或不对称时
此时电压仍如式 ( 10) 所示, 而畸变的电流中每 个频率的分量都可能含有正序和负序成分, 可表示 如下
Abstract
T h is p ap er m akes deta il ana lysis on the rela tion sh ip betw een in stan taneou s reactive pow er the2
o ry and conven tiona l pow er theo ry in th ree 2 p ha se circu its. T he ana lysis is ba sed on the na tu ra l ex 2 ten sion of the concep ts in conven tiona l pow er theo ry, such a s effective va lue, p ha se angle differ2 ence, active pow er and reactive pow er, to the concep ts of in stan taneou s va lue. T h rough th is ex ten 2 sion, the un ifo rm m a them a tica l descrip tion of the in stan taneou s reactive pow er and conven tiona l pow er is estab lished. T he p hysica l m ean ing of the in stan taneou s reactive pow er theo ry is exp licitly exp la ined, and the rela tion sh ip betw een the tw o pow er theo ries is clea rly revea led, bo th in the a id of a p rofound understanding of the un ifo rm m a them a tica l descrip tion. Keywords: R eactive pow er Pow er theo ry H a rm on ics
p q v Α v Β v Β 2v Α iΑ iΒ
3
( 3) ( 4)
图 1 赤木提出的在 Α 2Β2Χ坐标系中的功率定义
( 5)
这里, 瞬时实功率和瞬时虚功率与传统功率定 义中三相电路的有功功率和无功功率是什么关系, 各相的瞬时有功功率和瞬时无功功率与传统功率定 义中单相电路的有功功率和无功功率是什么关系, 瞬时虚功率与各相瞬时无功功率又是什么关系, 这 些问题在已有文献中都没有深入分析, 使得瞬时无 功功率理论的物理意义很模糊, 而且局限于 “各相的 瞬时无功功率对总的瞬时实功率没有贡献, 而是在
第 13 卷第 6 期
电工技术学报
1998 年 12 月
瞬时无功功率与传统功率理论的统一 数学描述及物理意义
Un iform M a thema tica l D escr iption of In stan taneous Reactive Power Theory and Conven tiona l Power Theory and Its Phys ica l M ean ing
国家自然科学基金资助项目。 199621024 收到初稿, 199827210 收到修改稿。
刘进军 男, 1970 年生, 1997 年毕业于西安交通大学电气工程学院, 获工学博士学位, 现为该校工业自动化教研室讲师,
研究方向为谐波的分析和抑制, 无功功率补偿等, 已发表论文 20 余篇。
王兆安 男, 1945 年生, 西安交通大学电气系毕业, 于日本人阪大学获博士学位, 现为西安交通大学电气工程学院院长,
刘进军 王兆安 ( 西安交通大学)
an J iao tong U n iversity ) L iu J in jun W ang Zhaoan (X i′
摘 要 基于将传统功率理论中有效值、 相位差、 有功功率和无功功率等概念向瞬时值概念的自然扩 展, 建立了三相电路瞬时无功功率理论与传统功率理论的统一数学描述, 深入分析了二者之间的关 系, 揭示了瞬时无功功率理论的物理意义。 叙词: 无功功率 功率 理论 谐波
=
v Α v Β v Β 2v Α v Α v Β
21
p q o
= =
v Α v Β v Β 2v Α iΑ p
21
p
0
iΑ q
21
+
v Β 2v Α q iΒp iΒq 式中 iΑp、 iΑ i Βp、 iΒq 分别被定义为 Α相和 Β 相的 q、
+
( 8)
2 瞬时无功功率理论简述及各种情况下的
( 14b
21213 电压和电流均畸变或不对称时
此时电流如式 ( 13) 所示, 电压的表达式形式类 似, 如下所示
∞
此时三相电压和电流可表示如下 v a = v b = v c = ia = ib =
2 V 1 sin ( Ξt + Υ 1v ) 2Π ) 3 2Π ) 2 V 1 sin ( Ξt + Υ 1v + 3 2 V 1 sin ( Ξt + Υ 1v 2 I 1 sin ( Ξt + Υ 1i ) 2 I 1 sin ( Ξt + Υ 1i ( 10a ) ( 10b ) ( 10c) ( 11a ) ( 11b ) ( 11c)