物理实验的不确定度表示和计算方法

物理实验的不确定度表示和计算方法
摘要本文在分析物理实验中引入不确定度必要性的基础上, 介绍了不确定度的有关概念, 提出了不确定度的表示和计算方法。

关键词物理实验; 不确定度; 置信概率
0 引言
在物理实验中总是通过各种测量方法和测量仪器对各个物理量进行测量, 但如何对测量结果的可靠性进行评价, 一直是测量和数据处理环节的重要问题。

过去的传统方法是用测量误差来评定测量结果的可靠性, 而测量误差定义为测量值与真值之差, 由于真值是永远也测不到的, 所以测量误差也是一个不可知量, 即用测量误差来评定测量结果的可靠性是不科学的。

1980 年国际计量局提出了关于实验不确定度表示的建议书《R ecomm endation INC-1C19980》, 1992 年发表了《测量不确定度表示法指南》, 在世界范围内开展了用不确定度来评价测量结果的推广和使用。

在此基础上, 国际理论与应用物理联合会与国际标准化组织( ISO) 等7 个国际组织联合颁发了
《国际通用计量学基本术语》)之后,对物理教学中
有关误差分析和数据处理方法提出了新的要求。

在于某一个量值范围内的评定, 它反映了可能存在的误差分布范围, 其大小给出了测量结果可信程度的高低。

不确定度实际上具有非常明确的含义, 它具有确定的量值, 其量纲与被测量的量纲相同, 但通常总是联系于一定的概率。

不确定度一般含有多个分量, 但按其数值的评定方法可归并成两类:
A 类分量: 由测量列的统计分析评定的不确定度分量, 即随机误差分量, 用△表示。

B 类分量: 由非统计方法评定的不确定度分量, 即未定系统误差分量, 用△表示。

合成不确定度: 为A 类分量和B 类分量按方差合成原理进行合成, 用u 表示可写为
u=∑△+∑△(1)
总不确定度 ( 展伸不确定度) : 将合成不确定度u 乘以一个与置信概率有关的包含因子K , 则得总不确定度, 用U 表示, U = K u。

2 不确定度的表示
2. 1 平均值是测量值的最佳值
一般情况下, 单位误差间隔内出现某误差值的概率密度函数f ( x ) 可表示为
f ( x ) = 1 ·e- ∞< X < ∞
1991年我国推出了《国家计量技术规范JJ G1027-912no
( 2)
测量误差及数据处理》,规定测量结果的最终表示形
式用总不确定度或用其相对值相对不确度表示。

至此, 推广与使用不确定度表示是物理学研究和教学式中o=
∑( X -
X )
n
n→∞
n 中的必然趋势, 掌握不确定度的基本概念和简单的
称为标准差, 反映一列测量数据的离散程度。

计算方法, 是对理工科物理实验教学的基本要求。

1 不确定度的概念
由于
lim
1 ∑
n
( X - X
) = 0 ( 3)
不确定度概念表示被测量的真值以较大概率存
固有
X = li m 1
∑X = X - ( 4) 即在系统误差忽略的情况下, 测量的平均值
等 于真值。

但实际测量不可能是无限次, 既使是有限 次的测量, 测量值的平均值最接近真值, 即平均值
是测量值的最佳值。

=
1
ex p - 1
2. 2 平均偏差和标准偏差
2no 2
o
由于物理量的真值 X 是不可知的, 不能用上 式计算标准误差, 而采用平均值代替真值, 各测量
= 0. 683 ( 10)
如对 ( 9) 式在区间 〔µ-2o , µ+ 2o 〕积分, 则有
值与平均值之差 ( v = X - X - ) 称残差, 用残差计算
P =
F ( x )
的平均偏差是平均误差的最佳描述, 其公式为
1
- 1 2
∑ ( X - X - ) 2no
测量列平均偏差 t =
n ( n - 1)
( 5)
= 0. 955
( 11)
对 ( 9) 式在区间 〔µ- 3o , µ+ 3o 〕积分, 得
∑ ( X - X - ) P =
F ( x ) 平均值的平均偏差 t=
n n - 1
( 6)
1
=
ex p
- 1 用残差计算的标准偏差是标准误差的最佳描述, 其 2no
2
o
公式为
测量列的标准偏差 S =
∑
∑
( X - X - )
n - 1
(
7)
( X - X - )
= 0. 997 ( 12)
( 10) 、( 11) 和 ( 12) 式分别表示, 当一组测
量值的 标准偏差为 o 时, 则这一组测量值中任一次测量值 X 的偏差 V 落在 µ±o 的区间的可能性
为 68. 3% , 落在 µ±2o 区间的可能性是 95. 5% , 落在 µ±o 区 间的可能性是 99. 7%, 这三个百分数就是我们常用 平均值的标准偏差 S =
n ( n -
1)
(
8)
=
S= \ ( x -
的三个置信概率。

究竟是采用平均偏差还是标准偏差来估算误差更为合适, 主要根据国家计量规范的要求和数值计算的方便性, 计算结果在表征测量列离散程度的有效性、精密性等综
对于物理实验中的有限次测量, 一般为5—10次, 这时测量结果偏离正态分布, 而服从t 分布。

A
类不确定度可由贝塞尔公式求出
-
合考虑, 结果表明, 用标准偏差估算误差更为合
适。

2. 3 A 类不确定度
A 类不确定度为随机误差分量, 是由随机变量的概率分布决定。

当随机变量呈离散型时, 其概率分布是多种多样的, 最主要的有二项分布、多项分布、泊松分布、均匀分布、x 分布、F 分布、正态
n-
1
考虑到在一组等精度测量值中, 算术平均值比任何一次测量值的可靠性都高, 为测量值的最佳值, 由误差理论可知, 算术平均值的偏差S与一组测量值的标准偏差S有如下关系:
-
分布和t 分布, 每种分布都有自己的概率密度函数,
彼此相差很大。

但当随机变量呈连续型时, 即测量S=
S
=
n
\ ( x -
x )
n ( n-
1)
( 13)
次数趋于无穷, 则这些分布都趋向于正态分布( 高
斯分布) , 所以我们可以认为大量的测量误差接近正态分布。

由于正态分布理论完善, 计算公式简便, 在再考虑到t 分布当n→∞时的极限是正态分布而采取的适当修正, 即
6= tS=
t
S ( 14)
n
多种分布规律中最具典型性, 是误差理论中运用最
多的具体分布规律, 所以我们可以采用正态分布加修正的方法来表示A 类不确定度。

对于正态分布的分布函数F ( x ) 有式中t为置信因子, 与置信概率有关。

为了与世界上大多数工业化国家所广泛采用的约定概率一致, 我国国家计量规范亦取约定概率p
=0.95,则可取t/n≈1(见下表),
即有
F ( x ) =
1
2no d x
(
9)
6= S ( p = 0. 95)
式中µ为x 的期待值 ( 实数) , o 为标准差( 大于0 的实数) , x 为随机变量分布区间
e
如对 ( 9) 式在区 间 〔µ- o , µ+ o 〕积分, 则有
表 p = 0. 95 时的因子 ( t / n )
P = F ( x )
测量次数 n 4 5 6 7 8 9 10 15 20 ∞
t / n
1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1.
n
6≤n ≤10 时,
n ≥10 时,
近似值
1. 1.
t n t n n
U = d U ,
其中 U = S + 6 6x
36 长 春 大 学
学 报 第 9 卷
2. 4 B 类不确定度
B 类不确定度为未定系统误差分量, 不能够
用
佳值—算术平均值
y
-= f ( x -) 统计方法评定, 一般可根据经验和其它信息进行估 而测量结果的不确定度为 计, 在物理实验中, 只考虑由仪器误差所带来的 B
类分量。

如 B 类分量的误差限为 6 , 则 B 类不确定
度由下式得出
d x
当 y = f ( x , x , x ) 时, 测量结果的总不6= K
6
( 15)
C
式中 K 为与置信概率有关的置信因子, C 为置信
U =
6U
6x U +
6U 6x
U + + 6U U
系数。

K 在 p = 0. 95 置信概率时, 通
常取
K = 1. 95≈2
其中 U = S + 6, U =
S + 6,
其结果表达式为
对于 C 值的选取, 如仪器误差服从均匀分布,
C 值取 3 ; 如仪器误差服从正态分布, C 值取
3, 物
4 结 论
y = -y ±U
理 实验教学中仪器误差分布一般不 知道, C 可取
3 , 这时
6= 26/ 3 ≈6 ( p = 0. 95) 2. 5 总不确定度 ( 展伸不确定度)
将 A 类不确定度分量和 B 类不确定分量在高 置信概率 p = 0. 95 条件下进行方和根合成, 即得总 不确定度
U =
6+ 6= S + 6
对于受多个误差来源影响的直接测量量, 其测 量结果的总不确定度, 用下式表示:
引入不确定度表示是物理实验教学内容改革的重要方面, 不确定度概念和体系的发展也是计量科学的一个重要进展, 是测量结果评定和表示国际标准化和规范化的重要体现。

不确定度的概念和体系是在现代误差理论发展的基础上建立和完善的。

不确定度和误差是两个不同的概念, 又都是由于测量过程的不完善性引起的。

不确定度是对测量结果可信度的合理的、科学的评定。

习惯上仍用误差来定性地描述理论和概念, 当要评定测量结果的精确度和计量器具的精度时, 就应当采用不确定度来描述。

U=∑S+∑6
测量结果的表达式为
参考文献
1 朱鹤年. 物理实验研究. 北京: 清华大学出版社,
1990.
X=X-±U
3 间接测量结果的不确定度计算方法
在间接测量中, 测量量y 是直接测量量x 的函数。

即y = f ( x ) , 首先仍是求出间接测量量y 的最
12～43
2 朱永生. 实验物理中的概率和统计. 北京: 科学出版社,
1991. 109
3 李惕碚. 实验的数学处理. 北京: 科学出版社, 1980. 39
Expression and Calculation of uncertainty in physical
experiments
Zhu L i H an Ye Zhou J ing Zhang Baolin Faculty o f Basic science Studies, Chang chun University, Changchun 130022
Abstract T his paper explains the fact that it is necessary to intro duce uncertainty in physical ex periments, presents the rele- vant concepts of uncertaint y, and puts forward the ex pression and calculatio n of uncertaint y.
Key words uncertainty; physical experiment; confidence level。