加权网络

对于相似权：l ik
1 1 wij 1 w jk
2.最短路径：两点之间所有连通的路径中距离之和最小的一条或几条路径。
无权网：边数最少的路径
最短路径
加权网：因为距离不满足三角不等式，所以两边距离之和不一定大于第三边. 边数最少的路径 最短路径
网络的其他全局统计量，如介数，可以在加权最短路径的基础上进行计算
jN i
[
wij Si
] 2 表示与i相连的边权分布的离散程度。
拥有相同点权与单位权的两个节点相比，差异性越大，离散程度越大。 点强度分布P（s）与度分布的作用类似，主要是考察节点具有点强度s的 概率。
边权分布P（w）代表一条边具有权重w的概率。
结论2：差异性 Yi 与度 k的关系
如果与顶点i关联的边的权重值差别不大，则 Yi 与
无标度加权网络模型特点：
p(k ) k 3 拓扑结构与BA模型相同，故度分布
p( s) s rs 其中指数与参数 点权分布符合幂律分布：
m有关。 边权分布
ZTZH模型
在WSF模型的基础上进行推广，赋边权时综合考虑节点的度和适应度。 适应度 i ：反应节点i本身的性质，假设其服从[0,1]上的均匀分布.(当不知道随机变 量取值的特点时,假设其服从某一区间上的均匀分布)

j i

ki kl
l
（2）赋边权(基于两个假设:权重Wij正比于节点i的度;所有新节点有相同的点权) 新节点与已存在节点之间的每一条连接j i, 被赋予一定的权重 wij ，权 重的多少取决于被连接节点i的度 w k i ji k i
i
{i‘}代表新节点j所要连接的点的集合。这时新节点j的点权为1
当 时，具有较大权重的边倾向于连接具有较小度值的点 w 所以，对于相互作用强度（权重）给定的边， k nn,i 表明它与具有不同度值的顶 点之间的亲和力。
• 最短路径
1.加权网络中两点之间的距离与权重的关系： 距离是权重的某种函数，这时需要看权重是相似权还是相异权。 相异权：定义两点之间的距离 l ij wij 1 l ij 相似权：令 wij 假设顶点i和k分别通过两条权重分别为 wij 和 w jk 的边相连，现求i与k之 间的距离。 对于相异权： lik wij w jk
8.2 加权网络的演化模型
研究的意义是什么?
ห้องสมุดไป่ตู้
• 边权固定模型 • 边权演化模型 • 应用
例:某一新思想的在一个学术领域 的产生传播过程中，随着时间的 推移,可能会有更多的科学家介入 (增长)，同时随着新思想影响程 度的加深，已有交流的科学家之 间的相互作用强度也会发生变化 (权值改变)。静态网络显然已经 不能揭示加权网络的演化行为， 因此在这里研究网络拓扑结构和 权重分布的耦合演化机制，来描 述新思想传播过程。
这时必须考虑赋边权,表示相联系的强度.
另外,我们希望在同一个网络中研究这三个层次的相互作用,还应该考虑 加权的方式.
当系统中包含同一属性的不同层次的关系的时候,必须仔细研究加权方 式.
加权的方式:
根据相关的物理量(例如:电阻网络边上的权值代表电 阻值,邮递员问题中的距离) 根据相互作用的某种属性(例如:科学家通过文献相互 作用,把引文的次数作为权重) 边权按照意义划分: 相异权: 权值越大,两点之间的距离越大,关系越疏 远.(例:邮递员问题中的距离) 相似权: 权值越大,两点之间的距离越小,关系越亲 密.(例:科学家合作网中,把次数作为权重,得到相似 权) 注意: 在计算两点间的距离和聚类系数时,边权的意 义不同,计算方式也不同.
p i
p
• 3.技术网络 在一些基础设施网络中，例如Internet,铁路网和航空网中， 运输过程中的流量可以转化为权重，Barrat等人分析了全 球航空网络，把两机场i和j之间的航班的有效座位数作为 ij 机场间的权重 ，而李炜等人在研究中国航空网时， 把两机场间的航班数作为机场间的权重。在对不同数据进 行研究时，发现这些网络具有小世界网络和无标度网络的 特征。特别是度分布表现为如下形式： p(k ) k f (k / k x ) ，其中 2.0 ，且 f (k / k ) 是指数截 断函数。与一个机场能够运作的最大航线数有关。点强度 分布呈现出幂律尾，并且边权和度具有一定的相关性：平 均来讲，边权与边的两端顶点的度值的函数关系为 ij ~ ( k i k j ) 其中 0.5 。点强度和度之间的关系服从 幂律函数关系 s(k ) Ak ，其中 1.5 ，这说明机场越大， 处理交通流量的能力就越强。
集聚系数
节点i的聚类系数 C i 反映了该节点邻点的联系的程度。 C i 越大，说明 该点的邻接点之间的联系越紧密。 加权网络中的聚类系数有多种定义方式; Barat 定义： wij w jk 1 w CB 2 aij a jk a ki si (k i 1) j ,k 分母上为单位权乘以最大可能的三角形的数目，分子上是实际三角形数 目乘以与i相连的边的权重的平均值 Onnela 定义：
第八讲 加权网络
2010.11.13 李凯凯
主要内容: • 8.1 加权网络的统计性质 • 8.2 加权网络的演化模型
• 8.3 权重对网络结构性质的影响
8.1加权网络的统计性质
1. 加权网络的加权的必要性与方式 2. 加权网络上的统计量
1. 网络加权的必要性与赋权方式
网络加权的必要性:
例:为研究某一新思想的在一个学术领域的产生传播,研究科学家之间通 过文献相互作用的网络。相互作用分为三个层次:合作,引文,致谢 (无权 网中能体现相互作用的三个层次吗?) 。 我们可以根据不同的作用关系做三个网络:合作网络,引文网络,致谢网络. 但即便对于同一个网络比如引文网络,引文次数不同所代表的相互作用 关系不同。(无权网中能表现相互作用的强度吗?)
k nn (k )
k nn,i
1 ki
1 kj k jN i i
a k
jV ij
j
k nn,i
在加权网络中：
k
定义节点的加权平均近邻度 考虑权与度的相关性
当
w k nn,i k nn,i
w k nn,i k nn,i
w nn,i
1 Si
jN j
a
ij
wij k j
时，具有较大权重的边倾向于连接具有较大度值的点
ij
• 直观上说，次数越多关系越亲密，但是随着次数 的增加，，新事件对亲密程度的贡献越来越小， 即新事件对亲密程度的贡献具有边际递减效应。 因此采用具有饱和效应的tanh函数将次数转化为 权重，来刻画次数和亲密程度的非线性效应。假 定三种相互作用对权重的贡献也是不同的，用参 数 表示。在研究经济物理学科学家合作网时， 1 , 2 , 3 分别取值为0.7，0.2，0.1。
• 边权固定模型
1.无标度加权网络模型（WSF） 2001年，Yook和Barabasi提出了类似于BA模型的加权网络生成模型。
其定义如下：
（1）网络拓扑结构的演化（同BA模型） 增长：初始时有n0个节点，每个时间间隔加入一个新节点j，并使新节点j 与m个已经存在的点连接（m≤ n0 ） 择优连接：新加入的点与网络中已经存在的点的连接不是等概率的，而是 以一种择优的方式选择与自己连接的点。新节点j与节点i连接的概率:
x
• 经济物理学科学家合作网络的建立和统计分析 科学家之间的合作有多个层次，若希望通过网络分析挖掘 科学家在科学研究上的内在关联就必须考虑不同层次的相 互作用的贡献，而网络连接权重就就需要综合考虑层次和 强度两个方面。考虑科学家交流的三个层次：合著，引用 和致谢，记录为 ( S1 , S 2 , x, y, z ) ，作者 S1 S 2 合作x次， 与 S2 S1 引用作者 的文章y次，并且在 的文章致谢里感谢 S2 z次。事实上，可以把整个数据看做三个不同的网络，合 著网络，引用网络和致谢网络，把这三种关系综合在一起 考虑，看做一个网络，采用以下赋权方式： wij wij ，其中 可以取{1，2，3} 分别对应合著， 引用和致谢关系， w 是三种关系所对应的权重，定义 为：wij tanh( Tij )
Watts-Strogatz 定义的聚类系数:
C (i )
a
j ,k j ,k
ij
a jk a ki
ij
a
a ki
加权网的聚类系数：
w CH
w
j ,k
ij
w jk wki
j ,k
max ij wij wij wik
一些加权网络的实证结果
• 1.生物网络 Almaas等人将酵母中的新陈代谢反应看作加权网络进行 研究，把从代谢物i到j的流量看作边权 ，观察到流量具有 高度非均匀性，在理想的培养下条件下，边权的分布符合 幂律分布 p( )(0 ) 其中 0.0003 ， 1.5 此外还发现给定两端度值的边的权重平均值和两个端点的 ij ~ ( k i k j ) ，其中 0.5。除了全局流量 度值的关系为 分布的非均匀性外，计算边权差异性 Yi 还可以观察到在 单个代谢物的层面上边权分布的非均匀性。在此网络上对 出度和入度相同的顶点计算边权差异性，发现它们都服从 Yi ~ k 0.27 这是一种介于Y (k ) const 和 Y (k ) ~ k 1 之间的中间 状态，说明一个代谢物参与的化学反应越多，其中的某一 个化学反应携带主要流量的可能性就越高。??
1 ki
成正比。
Yi
jN i
[
wij Si
]2 [
wij w ki
]2 k i
wij
2
2 2

w ki
1 ki
如果权值相差较大，那么只有一条边的权重起主要作用，则
Yi 1
2.相关性分析 加权网络需要进行 度相关性分析 点权相关性分析 权与度相关性分析 度相关性分析：因为对网络加权不改变节点的度的性质，所以度相关性 分析与无权网络中分析相同。 在无权网络中： 定义节点i的近邻平均度 k nn,i ，得到度为 k 的所有节点的近邻平均度 显然 Knn（k） 是 k 的函数。那么度相关性可以通过函数 Knn（k） 的单调性得到： 如果 Knn（k） 是无单调性，那么该网络没有度相关性。 如果 Knn（k）是增函数，那么该网络是同向匹配网络。（度大的节点倾 向于与度大的节点相连） 如果 Knn（k） 是减函数，那么该网络是负向匹配网络。
1 C (i ) ( wij w jk wki ) ki ( ki 1) j , k
w o
1 3
wij
其中 wij 为网络中经最大权重标准化后的数值
Petter Holme 分析加权网络的聚类系数，指出它应该满足以下几条要求：
1.
C w [0,1]
2.加权网退化为无权网时，聚类系数应与Watts-Strogatz定义的聚类系数的计 算结果一致。 3.权值为0表示该边不存在。 4.包含节点i的三角形中三条边对 C w (i) 的贡献应与边的权重成正比。
2.加权网络上的统计量
权相关性 最短路径 集聚系数
权相关性
1.基本概念： 点权：无权网中节点度的自然推广
点权 S i 的近邻集合）
S ki

jN i
w
ij
，即与节点i关联的边权之和。（ 其中 N i 是节点i i
单位权： U i i, 顶点连接的平均权重.
Y 权重分布的差异性：i
(1)网络结构拓扑演化同WSF网络
(2)赋边权:设定一参数p 以概率p按公式
w ji ki k i
i
赋边权
以概率1-p按公式
w ji
i i
i
赋边权
当p=1时, ZTZH模型=WSF模型
当p=1时,边权的赋予完全由节点的适应度决定. ZTZH模型的点强度分布也符合幂律分布 p ( s ) s r 数p，随着p的增加， s 从3连续下降。

0
• 2.社会网络 以科学家合作网为例，Newman定义了科学家合 ij p i p jp /(n p 1) ，其中p包括数据 作网的权重 库中的所有文章，如果i是文章p的作者之一， p 1，否则 i 0 则 ， n 表示文章p中作者 的数目。从平均效果来看，合作者较少时作者之 间的相互关系更加紧密。