2020年中考数学压轴题-专题27 几何证明综合复习(判定四边形形状-矩形)(解析版)

专题27 几何证明综合复习（判定四边形形状-矩形）
教学重难点
1.培养学生通过探索和证明，发展推理意识和能力
2.通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，并掌握规范表达的格式；了解证明之前进行分析的基本思路；
3.体会用“分析综合法”探求解题思路；
4.学习添置辅助线的基本方法，会添置常见的辅助线；
5.会用文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言进行证明说理。

【说明】：本部分为知识点方法总结性梳理，目的在于让学生能从题目条件和所证明结论，去寻找证明思路，用时大概5-8分钟左右。

【知识点、方法总结】：中考几何题证明思路总结
几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的"因为"、"所以"逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。

这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。

所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。

一、证明两线段相等
1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

11.等于同一线段的两条线段相等。

二、证明两角相等
1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等；
7.相似三角形的对应角相等；
8.等于同一角的两个角相等。

三、证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

四、证明两直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。

11.利用半圆上的圆周角是直角。

五、证明线段的和、差、倍、分
1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

六、证明角的和、差、倍、分
1.作两个角的和，证明与第三角相等。

2.作两个角的差，证明余下部分等于第三角。

3.利用角平分线的定义。

4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

七、证明两线段不等
1.同一三角形中，大角对大边。

2.垂线段最短。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。

5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。

八、证明两角不等
1.同一三角形中，大边对大角。

2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。

4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。

九、证明比例式或等积式
1.利用相似三角形对应线段成比例。

2.利用内外角平分线定理。

3.平行线截线段成比例。

4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

5.与圆有关的比例定理--相交弦定理、切割线定理及其推论。

6.利用比利式或等积式化得。

以上九项是中考几何证明题中最常出现的内容，只要掌握了对应的方法，再根据题目中的条件进行合理选择，攻克难题不再是梦想！
1.（2018•金山区二模）如图，已知AD是ABC
AE BC，CM的
∆的中线，M是AD的中点，过A点作//
延长线与AE相交于点E，与AB相交于点F．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）如果3
=，求证四边形AEBD是矩形．
AC AF
【整体分析】
（1）先判定AEM DCM
==，
∆的中线，即可得到AD CD BD ∆≅∆，可得AE CD
=，再根据AD是ABC
依据//
AE BD，即可得出四边形AEBD是平行四边形；
（2）先判定AEF BCF
=，可得AB AC
=，根据AD是ABC
AC AF
∆∆∆
=，依据3
∽，即可得到3
AB AF
的中线，可得AD BC
⊥，进而得出四边形AEBD是矩形．
【满分解答】
证明：（1）M
Q是AD的中点，AM DM
∴=，
//
AE BC
Q，
AEM DCM
∴∠=∠，
又AME DMC
∠=∠
Q，
AEM DCM
∴∆≅∆，
AE CD
∴=，
又AD
Q是ABC
∆的中线，
AD CD BD
∴==，
又//
AE BD
Q，
∴四边形AEBD是平行四边形；
（2）//
AE BC
Q，
AEF BCF
∴∆∆
∽，
∴
1
2
AF AE
BF BC
==，即2
BF AF
=，3
AB AF
∴=，
又3
AC AF
=
Q，
AB AC
∴=，
又AD
Q是ABC
∆的中线，
AD BC
∴⊥，
又Q四边形AEBD是平行四边形，∴四边形AEBD是矩形．
2.（2019•普陀区二模）如图，ABCD Y 的对角线AC 、BD 交于点O ，顺次连接ABCD Y 各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC BD ⊥；②ABO CBO C C ∆∆=；③DAO CBO ∠=∠；
④DAO BAO ∠=∠，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【整体分析】
根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．
【满分解答】
解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．
①AC BD ⊥Q ，∴新的四边形成为矩形，符合条件；
②Q 四边形ABCD 是平行四边形，AO OC ∴=，BO DO =．
ABO CBO C C ∆∆=Q ，AB BC ∴=． 根据等腰三角形的性质可知BO AC ⊥，BD AC ∴⊥．所以新的四边形成为矩形，符合条件；
③Q 四边形ABCD 是平行四边形，CBO ADO ∴∠=∠．
DAO CBO ∠=∠Q ，ADO DAO ∴∠=∠．
AO OD ∴=．
AC BD ∴=，∴四边形ABCD 是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；
④DAO BAO ∠=∠Q ，BO DO =，
AO BD ∴⊥，即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直，
∴新四边形是矩形．符合条件．
所以①②④符合条件．
故选：C ．
3.（2018•上海）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1)，那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅
锤方向的边长称为该图形的高．如图2，菱形ABCD 的边长为1，边AB 水平放置．如果该菱形的高是矩形的宽的2
3，那么矩形的宽的值是 ．
【整体分析】
先根据要求画图，设矩形的宽AF x =，则2
3CF x =，根据勾股定理列方程可得结论．
【满分解答】
解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC ，
设AF x =，则2
3CF x =，
在Rt CBF ∆中，1CB =，1BF x =-，
由勾股定理得：222BC BF CF =+，
222
21(1)()3x x =-+， 解得：18
13x =或0（舍)， 即它的宽的值是18
13， 故答案为：18
13．
4.（2018•上海）已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(
) A ．A B ∠=∠ B ．A C ∠=∠ C ．AC BD = D ．AB BC ⊥
【整体分析】
由矩形的判定方法即可得出答案．
【满分解答】
解：A 、A B ∠=∠，180A B ∠+∠=︒，所以90A B ∠=∠=︒，可以判定这个平行四边形为矩形，正确； B 、A C ∠=∠不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
C 、AC B
D =，对角线相等，可推出平行四边形ABCD 是矩形，故正确；
D 、AB BC ⊥，所以90B ∠=︒，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
故选：B ．
5.已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 、G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于点H 。

求证：（1）四边形FBGH 是平行四边形；
（2）四边形ABCH 是平行四边形。

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.边的关系：AD DB =、BE EC =、AF FG GC ==
二.证明四边形FBGH 是平行四边形：用边之比证明DF //BG 和 GH // BF 可得。

三.证明四边形ABCH 是平行四边形：联结BH ，交FG 于点O ；证明OB =OH 和OA =OC 可得。

【满分解答】
证明：（1）∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴F 、G 分别是AG 、CF 的中点，
∵点D 是AB 的中点，∴DF //BG ，即FH //BG ．
同理： GH // BF ．
∴四边形FBGH 是平行四边形．
（2）联结BH ，交FG 于点O ，
∵四边形FBGH 是平行四边形，∴OB =OH ，OF =OG ．
∵AF =CG ，∴OA =OC ．
∴四边形ABCH 是平行四边形．
6.如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连结BF 。

（1） 求证：BD =CD ；
（2） 如果AB =AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论。

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.边的关系：AE ED =，AF BC ∥，AF =BD 。

二.求证BD =CD ：证明△AEF ≌△DEC 得到AF CD =即可。

三.判断四边形AFBD 的形状：
1.由AF BD =，四边形是平行四边形；
2.结合AB =AC 得，则四边形是矩形。

【满分解答】
证明：（1）， 是的中点，．
又∵∠AEF=∠DEC ，∴△AEF ≌△DEC
（2）四边形是矩形
，是的中点 ，
，四边形是平行四边形
又 四边形是矩形
AF BC ∥AFBD 90ADB =o
∠AFBD AF BC Q ∥AFE DCE ∴=∠∠E Q AD AE DE ∴=AF DC ∴=AF BD =Q BD CD ∴=AFBD AB AC =Q D BC AD BC ∴⊥90ADB ∴=o ∠AF BD =Q AF BC ∥∴AFBD 90ADB =o
∠∴AFBD
7.如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、AD 边上且AE =CG ，AH =CF 。

（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；
（2）如果AB =AD ，且AH =AE ，求证：四边形EFGH 是矩形。

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.边的关系：AE =CG ，AH =CF 。

二.求证四边形EFGH 是平行四边形：
1.由△AEH ≌△CGF 得EH GF =，由△BEF ≌△DGH 得GH EF =；
2.所以四边形EFGH 是平行四边形。

三.证明四边形EFGH 是矩形：利用角度关系证明∠EHG =180︒-DHG ∠-∠AHE 90︒=可得。

【满分解答】
证明：在平行四边形ABCD 中，∠A =∠C ，
又∵AE =CG ，AH =CF ，
∴△AEH ≌△CGF ．
∴EH GF =．
在平行四边形ABCD 中，AB =CD ，AD =BC ，
∴AB AE CD CG -=-，AD AH BC CF -=-，
即BE DG =，DH BF =．
又∵在平行四边形ABCD 中，∠B =∠D ，∴△BEF ≌△DGH ．
∴GH EF =．
∴四边形EFGH 是平行四边形．
（2）解法一：在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD ．
设A α∠=，则180D α︒∠=-．
∵AE =AH ，∴∠AHE =∠AEH =1809022
αα︒︒-=-． ∵AD =AB =CD ，AH = AE = CG ，
∴AD AH CD CG -=-，即DH DG =．
∴∠DHG =∠DGH =180(180)22
αα︒︒--=． ∴∠EHG =180︒-DHG ∠-∠AHE 90︒=．
又∵四边形EFGH 是平行四边形，
∴四边形EFGH 是矩形．
解法二：联结BD ，AC ．
∵AH =AE ，AD = AB ， ∴AH AE AD AB
=，∴HE ∥BD ， 同理可证，GH ∥AC ，
∵四边形ABCD 是平行四边形且AB =AD ，
∴平行四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，∴∠EHG 90︒=．
又∵四边形EFGH 是平行四边形，
∴四边形EFGH 是矩形
8. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，并延长DE 至F ，使EF ＝DE 。

联结BF 、CD 、AC 。

（1）求证：四边形ABFC 是平行四边形；
（2）如果DE 2＝BE ·CE ，求证四边形ABFC 是矩形。

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.边的关系：AD //BC ，AB ＝DC ，DE ⊥BC ，EF ＝DE 。

二.求证四边形ABFC 是平行四边形：证明AB =CF 和AB CF ∥即可；
三.求证四边形ABFC 是矩形：用比例式DE 2＝BE ·CE ，证明90BDC ∠=o ，
又因为CAB BDC ∠=∠，则可得。

【满分解答】
(1) 等腰梯形ABCD 中，AB =DC ，∠B =∠DCB ，
∵ △DFC 是等腰三角形，∴ ∠DCB =∠FCE ，
DC =CF ，所以∠B =∠FCE ，AB =CF ，易证四边形ABFC 是平行四边形。

(2) 提示：射影定理的逆定理不能直接在中考中使用，必须通过相似三角形来证明，内角为90︒。

1．（2017•上海）已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )
A ．BAC DCA ∠=∠
B ．BA
C DAC ∠=∠
C ．BAC AB
D ∠=∠ D ．BAC ADB ∠=∠
【分析】
由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．
【解答】
解：A 、BAC DCA ∠=∠，不能判断四边形ABCD 是矩形； B 、BAC DAC ∠=∠，能判定四边形ABCD 是菱形；不能判断四边形ABCD 是矩形；
C 、BAC AB
D ∠=∠，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD 是矩形；
D 、BAC ADB ∠=∠，不能判断四边形ABCD 是矩形；
故选：C ．
2．（2019•杨浦区三模）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，90BAD ∠=︒，BO DO =，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD 是矩形的是( )
A ．90ABC ∠=︒
B ．90BCD ∠=︒
C ．AB C
D = D ．//AB CD
【分析】
根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．
【解答】
解：A 、90BAD ∠=︒Q ，BO DO =，
OA OB OD ∴==，
90ABC ∠=︒Q ， AO OB OD OC ∴===，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD 为矩形，正确；
B 、90BAD ∠=︒Q ，BO DO =，
OA OB OD ∴==，90BCD ∠=︒Q ，
AO OB OD OC ∴===，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD 为矩形，正确；
C 、90BA
D ∠=︒Q ，BO DO =，AB CD =，
无法得出ABO DCO ∆≅∆，
故无法得出四边形ABCD 是平行四边形，
进而无法得出四边形ABCD 是矩形，错误；
D 、||AB CD Q ，90BAD ∠=︒，
90ADC ∴∠=︒，
BO DO =Q ，
OA OB OD ∴==，
DAO ADO ∴∠=∠，
BAO ODC ∴∠=∠，
AOB DOC ∠=∠Q ，
AOB DOC ∴∆≅∆，
AB CD ∴=，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
90BAD ∠=︒Q ，
ABCD ∴Y 是矩形，正确；
故选：C ．
3. 已知：如图，在ABC △中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交与BE 的延长线于点F ，且DC AF =,联结CF 。

（1）求证：D 是BC 的中点；
（2）如果AC AB =，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论。

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.边的关系：AE ED =，AF BE ∥，DC AF =。

二.求证D 是BC 的中点：证明AFE DBE ∆≅∆得AF BD =，再结合DC AF =得。

三.判断四边形ADCF 的形状：
1.由AF DC =，DC AF // 得到四边形ADCF 是平行四边形；
2.再结合090=∠ADC 得平行四边形ADCF 是矩形。

【满分解答】
（1）证明：E Θ是AD 的中点，DE AE =∴
BD AF //ΘDBE AFE BDE FAE ∠=∠∠=∠∴,
AFE DBE ∴∆≅∆
BD AF =∴
ΘDC AF =DC BD =∴
即：D 是BC 的中点；
（2）DC AF =Θ，DC AF //
∴四边形ADCF 是平行四边形
DC BD AC,AB ==Θ
BC AD ⊥∴即090=∠ADC
∴平行四边形ADCF 是矩形。

4.在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 是边BC 上的两点，且BE ＝FC ，DE 与AF 相交于梯形ABCD 内一点O 。

（★★★）
(1) 求证：OE ＝OF ；
(2) 当EF ＝AD 时，联结AE 、DF ，先判断四边形AEFD 是怎样的四边形，再证明你的结论。

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1. 边的关系：AD ∥BC ，BE ＝FC 。

二.求证OE ＝OF ：证明△ABF ≌△D C E 可得。

三.判断四边形AEFD 的形状：
1.由EF ＝AD 且 EF ∥AD ，得四边形AEFD 是平行四边形；
2.再结合AF=DE 得四边形AEFD 是矩形。

【满分解答】
（1）∵四边形ABCD 是等腰梯形，
∴CD AB C B =∠=∠,
∵BE=FC ，
∴BF=EC
∴△ABF ≌△D C E
∴AFB DEF ∠=∠
O
F E D
C B A
∴OE=OF
(2)四边形AEFD 是矩形
∵EF ＝AD 且 EF ∥AD ，
∴四边形AEFD 是平行四边形
由（1）有△ABF ≌△D C E
∴AF=DE
∴四边形AEFD 是矩形。

5.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =。

点E ，F ，G 分别在边AB ，BC ，CD 上，AE GF GC ==。

（1）求证：四边形AEFG 是平行四边形；
（2）当2FGC EFB =∠∠时，求证：四边形AEFG 是矩形。

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.边的关系：AD BC ∥，AB DC =，AE GF GC ==。

二.求证四边形AEFG 是平行四边形：用角度关系证明AE GF ∥，结合AE GF =可得。

三.求证四边形AEFG 是矩形：通过角度关系证明90EFG =o ∠。

【满分解答】
证明：（1）Q 在梯形ABCD 中，AB DC =，B C ∴=∠∠．
GF GC =Q ，C GFC ∴=∠∠．
B GF
C ∴=∠∠，AB GF ∴∥，即AE GF ∥．
AE GF =Q ，∴四边形AEFG 是平行四边形．
（2）过点G 作GH FC ⊥，垂足为H ．
GF GC =Q ，12
FGH FGC ∴=∠∠．
∠∠．
2
Q∠∠，FGH EFB
∴=
FGC EFB
=
∴+=o
∠∠．
EFB GFH
+=o
Q∠∠，90
90
FGH GFH
∠．
∴=o
90
EFG
Q四边形AEFG是平行四边形，∴四边形AEFG是矩形．。