自然数之数学归纳法

皮亚诺公理
1.1是一个自然数. 2.在自然数集合中, 每个自然数a有一个确定的"直接后继"数a'. 3.a' 1(表示:1不是任何自然数的"直接后继"数). 4.由a' b' a b(表示: 每一自然数只能是另唯一自然数的
"直接后继"数). 5.设M是自然数的一个集合, 如果它具有下列性质:
i自. 然数1 M , ii.如果自然数a M ,那么它的一个"直接后继"数a' M , 则集合M包含一切自然数.
其中的第5条公理又叫做归纳公理,它是数学归纳法的依据.
最小数定理
• 自然数的任何非空集合A必有一个最小数,即这个数小 于集合A中所有其他的数.
证明:由于A不是空集,其中必含有一个自然数.我们在A中任取一 个数m,因为从1到m共有m个自然数,所以在A中不大于m的数最多只 有m个.显然在这有限个数中存在着最小的数,我们用l来代表它.那么,l 就是A中最小的数.事实上,l对于A中不大于m的数来说,它是最小的;而 A中其余的数都比m大,因而更比l大,所以l就是A中最小的数.
跳跃数学归纳法: 设P(n)是关于自然数n的命题,若 1o P(1), P(2), , P(l)成立(奠基); 2o 假设P(k)成立,可以推出P(k l)成立(归纳), 则P(n)对一切自然数n都成立.
第二数学归纳法: 设P(n)是关于自然数n的命题,若 1o P(1)成立(奠基); 2o 假设n k(k为任意自然数)时, P(n)(1 n k)成立,可以推出P(k l)成立(归纳),
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1.数学归纳法的基本形式
第一数学归纳法: 设P(n)是关于自然数n的命题,若 1o P(1)成立(奠基); 2o 假设P(k)成立,可以推出P(k 1)成立(归纳), 则P(n)对一切自然数n都成立.
如果P(n)定义在集合N \{0,1, , r 1}上,则1o中"P(1)成立"应由"P(r)成立" 取代.第一数学归纳法有如下"变着":
自然数之数学归纳法
源自文库
0.数学归纳法的背景
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则P(n)对一切自然数n都成立.
2.数学归纳法的证题技巧
(1)"起点前移"或"起点后移": 有些关于自然数n的命题P(n),验证P(1)比较 困难,或者P(1), P(2), , P(r 1)不能统一到"归纳"的过程中去,这时可考虑到将 起点前移至P(0)(如果有意义),或将起点后移至P(r)(这时P(1), P(2), , P(r 1) 应另行证明).