结构稳定理论与设计-5修改

由此得挠曲线函数：y 构件最大弯矩：
28.12 EI 1 P / PE
Ql 1 0.053P / PE 3 1 P / PE
Ql 3 sin x / l
M max Ql / 3 Pv
Ql / 3 1 P / PE
与静力平衡法得到的精确解相同！
能量法是求解稳定承载力的一种近似方法。用能量法 求解临界荷载的途径主要有势能驻值原理。势能驻值原 理和平衡方程是等价的，可以解决复杂结构的弹性稳定 问题。 通常需要给出（假定）构件挠曲线形状，通过 =0求 解。 若假定的挠曲线方程仅满足几何边界条件，里兹法（ Ritz法）； 若假定的挠曲线方程不仅满足几何边界条件，而且满 足力学条件（自然边界条件），迦辽金法（Galerkin法） 。
则可得到以a（或a1、a2）为待定参数的齐次方程
组，由此可解得临界力的最小值分别为
0.864 2 EI 2 和 0.735 2 EI 2 Pcr Pcr 2 l l2 0.65 2 EI 2 精确解： Pcr l2
例3：用瑞利—里兹法确定如图两端简支压弯构件的最大挠度
和最大弯矩。 解：假定构件的挠曲线为：
令虚位移引起的内力功增量的负值为体系弹性势能增量
U，即：
Wi = U 因此有 We Wi = (V +U)=0 V+U= 为体系的总势能， =0 表明连续变形体的平衡 条件为虚位移所引起的势能改变量为零（总势能的一阶变分 为零）。随遇平衡为平衡状态之一，因而可通过=0求解临
8l
EI
4 2
32l
3
2 EI
4l
2

精确解
讨论：
（1）若挠曲线既满足几何边界条件又满足力学边界条件，
可得到精确解。
（2）当仅满足几何边界条件，Pcr 只能接近精确解，视假设 挠曲线的方程而定，如上例中的第1 和第2 种情况，虽满足几 何边界条件，但不满足自由端弯矩为零的力学边界条件。 表明：若不满足力学边界条件，求得的临界力较精确解 高，因为相当于增加了附加约束。
2 l M M2 U dx dx 0 2 EI l2 2 EI 2 1 I2 l P2v2 l2 l l2 4 EI 2 I1 l2
I2 l2 1 sin I l 1
2 P l 2 Pv2 外力势能： V y dx 2 0 8l 2
y v sin
z
l
EI U 2
y
0
l
2
dx
4 EIv 2
4l 3
P l 2 Pv 2 l 2 x 2 V y dx 2Qyl / 3 cos d x 2 Qv sin 220 2 2l 2 0 l 3 Pv 1.732Qv 4l 4 EIv2 2 Pv2 U V 1.732Qv 3 4l 4l
5.3 RAYLEIGH-RITZ(瑞利—里兹 )法
由前例可看出，挠曲线的假设直接关系到临界力的精确性，
对多项式而言，一般项数越多，精确度越高。
瑞利—里兹法实质仍为近似挠曲线法，假设挠曲线由n个 连续的独立坐标函数组成，其特点是可以用于解决具有三向 位移的结构稳定问题。若假设结构屈曲时在x、y、z三个方 向的位移分别是u、v、w，则他们的挠曲线可分别表示为
sin
0
l
2 x
2l
dx
2 Pv2
16l
U V l2 2 Pv 2 I2 l I2 P2v2 l2 l l2 1 sin 4 EI 2 I1 I1 l 16l
由势能驻值定理 (V +U)= =0
3z y a sin a2 sin 和 y a1 sin 时的解。 l l l l4 l2 内力功 U EI ( y) 2 dz EI ( y) 2
z
来自百度文库
z

0
1

l4
2
外力功
1 l V P( y) 2 dz 2 0 代入总势能 的表达式内，由 =(V+U)=0，
得:
1 l 1 l 2 2 EI ( y) dz P ( y) dz 2 0 2 0
Pcr
EI ( y) 2 dz
0
l

l
0
( y) 2 dz
可通过假设挠曲线法求近似解。 例：一端固定一端自由柱 y
( y) dz;
2 0
l

l
0
EI ( y) 2 dz
42 EI 3l 3 2 EI 3 3l
由于在行列式中含有荷载项，因而用里兹法求得的不是位
移函数而是屈曲荷载，由此可解得临界力的最小值。
例1：一端固定一端自由的变截面变轴力柱 设近似挠曲线为 y v(1 cos
z
2l
)
符合边界条件： y(0) 0 y 0 0 y(l ) v 任一截面弯矩： M P v y 应变势能：
后，总势能 成为a1、a2、… an（如对第1式）的函数，由势 能驻值定理 (V +U)= =0，则可得到：
ai有非零解，只有方程组中的系数行列式等于零。
ai 0 ai 有 0；（i 1、 2、 .....n） ai 0 ; 否则 u 0; ai 由 0 可得出一组以ai为待定参数的齐次方程组，若要 ai

1
I2 l2 1 sin I l 1
y v(1 cos
z
2l
)
2 P l 2 Pv2 外力势能： V y dx 2 0 8l 2
sin
0
l
2 x
2l
dx
2 Pv2
16l
U V l2 2 Pv 2 I2 l I2 P2v2 l2 l l2 1 sin 4 EI 2 I1 I1 l 16l
5.4 Galerkin (迦辽金)法
里兹法的解题思路：
1. 假设构件挠曲线形状（位移函数） 2. 首先写出在外力作用下结构的总势能 3. 再由一阶变分为零的条件引出一组联立方程 4. 直接讨论平衡微分方程，得到待定参数的齐次方程组 5. 待定参数的齐次方程组行列式为零 解得临界力的最小值
u ai i ( x, y, z ); v bi i ( x, y, z ); w cii ( x, y, z )
z l
2
4 2 3l 122 10l
12 EI Pcr 4l 2 10 EI Pcr 4l 2
Pcr
误差21.6%
2 3 z z 3 2 l l z (1 cos ) 2l

误差1.3%
2 2
由势能驻值条件 =0 得到：
例3：用瑞利—里兹法确定如图两端简支压弯构件的最大挠度
和最大弯矩。 解：假定构件的挠曲线为：
y v sin
z
l
23Ql 3 Ql 3 v 4 EI 1 P / PE 28.12EI 1 P / PE Ql 3 v 28.17 EI 1 P / PE
We= V= P（当外力为轴向力P 时）；
轴向压缩
V= M（当外力为力矩M 时）。
转角
两端铰接轴压杆，构件处于随遇平衡状态时，若上下端相对
位移为，微段dz的缩短量为dz( 1- cos )，cos可用级数表示 1 2 1 4 cos 1 2 24 是微小量，可仅取前两项 1 2 1 2 cos 1 dz (1 cos ) dz 2 2 l 1 l 2 1 l 2 (1 cos )dz dz ( y) dz 0 2 0 2 0 1 l 2 We V P P ( y) dz 2 0 平衡状态内外虚功相等，即U= V ，
研究生课程
结构稳定理论与设计
东南大学土木工程学院
舒赣平 教授
结构稳定理论与设计
第 5章 稳定分析的近似计算方法
静力法 能量法 动力法
实际工程中的构件，各种缺陷因素几乎同时存在， 而通过内外弯矩的平衡关系建立轴压杆微分方程组 的解析方法只适用于弹性、等刚度、荷载沿杆长为 常量、缺陷因素单独作用等情况（否则微分方程成 为变系数），因而需要采用数值方法。
i 1 i 1 i 1
n
n
n
5.4 Galerkin (迦辽金)法
如图示杆件，压杆屈曲时的高阶微分方程： （1） 由弯矩、剪力和荷载的微分关系有：
EIy Py 0
qz 2 （弯矩平衡） EIy Py Vz 2 （剪力平衡） EIy Py qz V （横向力系） EIy Py q
当l1=l2=l/2，I2=2I1时

( l )2 l2 l2 l2 I 2 1 I 2 2 1 1 sin l l I1 I1 l
Pcr
例2：两端铰支的变截面柱
如果l2=l/2、I1=I2/4，可比较当分别设近似挠曲线为
Pcr
2 EI 2
4l
2
l2 l2 l2 I 2 1 I 2 1 1 sin l l I1 I1 l 应变势能：
2 l M M2 U dx dx 0 2 EI l2 2 EI 2 1 I2 l P2v2 l2 l l2 4 EI 2 I1 l2
主要分两大类
1. 直接对微分方程求解（可用解微分方程的数值方法）： （1）数值积分法 （2）有限差分法 2. 能量法—总势能驻值原理： （1）近似挠曲线法 （2）瑞利—里兹法 （3）有限单元法 （4）伽辽金法
5.1 势能驻值定理（虚功原理）
令虚位移引起的外功增量为位移的改变量V，即：
We= V
i 1 i 1 i 1
n
n
n
5.4 Galerkin (迦辽金)法
迦辽金法的解题思路：
迦辽金法则是直接考虑体系的能量，利用势能驻值条件建 立平衡微分方程，不再需要写出总势能。
前提
位移函数必须既满足几何边界条件， 又满足力学条件（自然边界条件）
u ai i ( x, y, z ); v bi i ( x, y, z ); w cii ( x, y, z )
由势能驻值定理 (V +U)= =0
Pcr
2 EI 2
4l
2

1 l2 l2 l2 I 2 1 I 2 1 1 sin l l I1 I1 l
误差1% y v(1 cos z ) 2l
EI 2 Pcr 2.088 2 l 精确解： Pcr 2.067 EI 2 l2 进一步得通式： 2 EI 2
界荷载。
5.2 近似挠曲线方法
压杆的临界力是杆件保持微弯平衡状态下的最小压力，
此时应有内、外力对此连续变形体所作内外虚功相等。
长度为l 的压杆当由平直转变到单向弯曲状态时，内力 按比例增加，略去轴向应变，只计弯曲应变能：
l 1 l M2 1 Wi U dz ，以 M EIy代入后，即 U EI ( y) 2 dz 2 0 EI 2 0 当构件由平直转变到弯曲状态时，外力没有发生变化，故
u ai i ( x, y, z ); v bi i ( x, y, z ); w cii ( x, y, z )
式中i、i、i为挠曲线函数，须至少满足几何边界条件； ai、bi、ci为参变数。
i 1 i 1 i 1
n
n
n
将以上近似挠曲线，代入总势能 的表达式内，经过积分