创新研究小课题_研究报告范例

圆柱在抽动纸张上运动规律的探究

李权赵敏（同济大学物理科学与工程学院物理演示实验室上海200092）

摘要：本文介绍开展研究型学习的一个实例。通过定性实验现象，激发学生探究兴趣；通过开展现象的物理分析，培养学生理论分析能力；通过半定量实验测量，提升学生的实验研究能力。

关键词：抽动纸张，运动规律

水平桌面上有一张纸，放一个圆柱形物体在纸上。快速抽出纸张，观察并研究圆柱体在静止前的运动情况。显而易见，圆柱体的运动为两种方式的结合，一为平动，一为滚动。但是，在静止前，圆柱体会向抽纸的方向运动、还是向相反方向运动？是滚动还是平动？滚动的方向与平动的方向一致吗？要解答这些问题，关键在于了解运动的不同阶段中，圆柱体所受的摩擦力作用。下面，我们将从动力学角度，来深入探究圆柱体的运动过程及其影响因素，并详细探讨其在静止前的运动情况。

一．理论分析

通过粗略实验，可以观察到，圆柱体离开纸面后，在桌面上移动时，有三种运动方式，分别为圆柱体平动先停（图1）、圆柱体滚动先停（图2）、圆柱体平动与滚动同时停止（图3）。为方便研究，我们将圆柱体平动与滚动分开探讨，并规定向右抽纸的方向为平动速度v正方向，圆柱体逆时针滚动的方向为滚动角速度 正方向。

图1 圆柱体在桌面上平动先停

图2 圆柱体在桌面上滚动先停

图3 圆柱体在桌面上平动与滚动同时停止

假设圆柱体在运动过程中，只受滑动摩擦力与滚动摩擦力作用，如图4所示，忽略空气阻力、以及纸面与桌面交界处的能量损失。由于整个过程中，圆柱与纸面间的滑动摩擦力和滚动摩擦力，圆柱与桌面间的滑动摩擦力和滚动摩擦力，只与圆柱体质量m 、圆柱体转动惯量I 、纸面与圆柱之间的滑动摩擦系数

纸μ、纸面与圆柱之间的滚动摩擦系数纸K 、桌面与圆柱之间的滑动摩擦系数桌μ、桌面与圆柱之间的滚

动摩擦系数桌K 有关，且这些物理量均可近似为定值，所以圆柱体在每个运动阶段的受力均近似认为是恒力。故上图中不同阶段的v-t 图像均为直线，只是斜率不同而已。

图4 圆柱体受力分析图

引入圆柱体在纸面上的平动加速度1a 与角加速度1β、圆柱体在桌面上的平动加速度2a 与角加速度

2β。设圆柱体在纸张上运动的时间为1t ，1t 时刻的平动速度为1v ，角速度为1ω。设圆柱体脱离纸面后在

桌面上运动的时间为2t （2t 从圆柱脱离纸面时刻开始计时），2t 时的平动速度为2v ，角速度为2ω。令圆柱质心平动速度为0时，平动停止t t =2。

当圆柱在纸面上运动时，根据运动学公式和牛顿第二定律[1]

，有圆柱所受的滑动摩擦力满足：

1ma mg N f ===纸纸纸μμ （1）

则圆柱在纸面上的平动速度

1111gt t a v 纸μ== （2）

圆柱所受的滚动摩擦力矩满足

1βI NK r f =-纸纸 （3）

圆柱在纸面上的滚动速度

I

t K r m g t 1

111)(纸纸-=

=μβω （4）

在桌面上运动时，有圆柱所受的滑动摩擦力满足：

2ma mg N f ===-桌桌桌μμ （5）

圆柱在桌面上的平动速度

)(2211212t t m

N

t m

f v v μμ-=

-

=桌 （6） 圆柱所受的滚动摩擦力矩满足

2βI NK r f =+-桌桌 （7）

圆柱在桌面上的滚动速度

])(-)([)(2112t K r t K r I

mg

I

t

K r N 桌桌纸纸桌桌--=

--

=μμμωω （8） 当圆柱质心速度为0时，平动停止，此时对应时间12t t t 桌

纸平动停止

μμ==，相应的圆柱转动角速度为 ][][1

1桌纸纸桌桌

纸桌纸桌平动停止μμμμμωK K I mgt K K I Nt -=-=

（9） 由（9）式可知圆柱静止前的运动情况。若0>平动停止ω，这说明转动方向尚未改变，也就是说圆柱的平动比转动先停；同理，若0<平动停止ω，则圆柱的滚动先停止；若0=平动停止ω，则圆柱的平动与滚动同时停止。也就是说，桌纸纸桌μμK K -的大小直接影响了圆柱体静止前的运动状态。 二．实验验证

为了解以上理论分析的正确与否，我们分别实验测量了纸μ、桌μ、纸K 、桌K 四个物理量，并通过高速相机观察圆柱整个运动过程，进行实验验证。

首先来看塑料圆柱在抽动纸面上的运动。实验得到纸面与塑料圆柱之间的滑动摩擦系数38.0=纸μ，桌面与塑料圆柱之间的滑动摩擦系数

25.0=桌μ，纸面与塑料圆柱之间的滚动摩擦系数

0.08742m

=纸K ，桌面与塑料圆柱之间的滚动摩擦系数0.03854m =桌K 。计算可得，对于塑料圆柱，

有0007403.0<-=-m K K 纸桌桌纸μμ。根据（9）式可知，0<平动停止ω，即圆柱的滚动先停止，然后其质心平动才停止。这与图5中的塑料圆柱在抽动纸面上的运动现象完全相符。

然后来看木质圆柱在抽动纸面上的运动。实验得到纸面与木质圆柱之间的滑动摩擦系数

4286.0=纸μ，桌面与木质圆柱之间的滑动摩擦系数381.0=桌μ，纸面与木质圆柱之间的滚动摩擦系数

0.0013m

=纸K ，桌面与木质圆柱之间的滚动摩擦系数0.001m =桌K 。计算可得，对于木质圆柱，有00000647.0<-=-m K K 纸桌桌纸μμ。仍然是圆柱的滚动先停止，然后其质心平动才停止。这与图6中

的木质圆柱在抽动纸面上的运动现象也十分相符。

三． 总结

通过以上的讨论可知，圆柱体在抽纸后的运动过程，与它和纸张、桌面的滑动摩擦系数和滚动摩擦系数有关。若0>-桌纸纸桌μμK K ，则圆柱体的平动先停止，随后滚动才停止；若0<-桌纸纸桌μμK K ，则圆柱体的滚动先停止，随后圆柱体质心停止平动；若0=-桌纸纸桌μμK K ，则圆柱体的平动与滚动两种运动形式同时停止。

（感谢同济大学物理演示实验室在本题目的探究过程中，在实验装置及理论分析方面给予的有力指导。）

参考文献 [1]漆安慎 等.力学.北京：高等教育出版社.1996：305