函数与导数综合(小题)
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函数与导数的简单应用(小题)
热点一 导数的几何意义与定积分
例1 (1)在二项式⎝
⎛⎭⎫x 2＋a 2x 6的展开式中，其常数项是15.如图所示，阴影部分是由曲线y ＝x 2和圆x 2＋y 2＝a 及x 轴在第一象限围成的封闭图形，则封闭图形的面积为( )
A . π4＋16 B. π4－16 C. π4 D. 16
(2)已知a >0，曲线f (x )＝3x 2－4ax 与g (x )＝2a 2ln x －b 有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数b 的最小值为( )
A.0
B.－1e 2
C.－2e 2
D.－4e
2
跟踪演练1 (1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
－x ＋2，x ≤2，
1－(x －3)2，2 (2)直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切，则a 等于( ) A.e B.2e C.1 D.2 热点二 利用导数研究函数的单调性 例2 (1)(2019·武邑质检)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若2f (x )＋f ′(x )>2，f (0)＝5，则不等式f (x )－4e －2x >1的解集为( ) A.(1，＋∞) B.(－∞，0) C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(0，＋∞) (2)已知f (x )＝()x 2＋2ax ln x －12 x 2－2ax 在(0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A.{1} B.{－1} C.(0,1] D.[－1, 跟踪演练2 (1)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈(0，π)，有f ′(x )sin x >f (x )cos x ，且f (x )＋f (－x )＝0，设a ＝2f ⎝⎛⎭⎫π6，b ＝2f ⎝⎛⎭⎫π4，c ＝－f ⎝⎛⎭ ⎫－π2，则( ) A.a B.b C.a D.c (2)函数f (x )＝12 ax 2－2ax ＋ln x 在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是( ) A.a ∈⎝ ⎛⎭⎫－∞，－12 B.a ∈⎝⎛⎭⎫－12，16 C.a ∈⎝⎛⎭⎫16，12 D.a ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 热点三 利用导数研究函数的极值、最值 例3 (1)若函数f (x )＝e x －ax 2在区间(0，＋∞)上有两个极值点x 1，x 2(0 A.a ≤e 2 B.a >e C.a ≤e D.a >e 2 (2)已知点M 在圆C ：x 2＋y 2－4y ＋3＝0上，点N 在曲线y ＝1＋ln x 上，则线段MN 的长度的最小值为________. 跟踪演练3 (1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＝0，f ′(1)＝0，但x ＝1不是函数的极值点，则abc 的值为________. (2)已知a >0，f (x )＝x e x e x ＋a ，若f (x )的最小值为－1，则a 等于( ) A.1e 2 B.1e C.e D.e 2 真题体验 1.(2017·全国Ⅱ，理，11)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为 ( ) A.－1 B.－2e －3 C.5e －3 D.1 2.(2019·全国Ⅰ，理，13)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________. 3.(2018·全国Ⅰ，理，16)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________. 押题预测 1.已知⎝⎛⎭⎫a x －x 6展开式的常数项为15，则() 21d a a x x x -+-⎰等于( ) A.π B.2＋π C.π2 D.2＋π2 2.已知奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x >0时，xf ′(x )＋f (x )>0，若a ＝f (1)，b ＝1e f ⎝⎛⎭ ⎫1e ， c ＝－e f (－e)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a