《向量的概念及表示》
向量的概念及运算
b
)
MD
1 2
(b
a
)
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
a4
a5
a3 s
a2 a1
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 :
总之:
a a
运算律 : 结合律 ( a ) ( a) a
分配律
可见 1a a
1a a ;
(a b) a b
则有单位向量 ea
“ ” 已知 b＝ a , 则
b＝0 a , b 同向 a , b 反向
a∥b
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
D
C
b a BD2 MBbM源自MA1 2(
a
b)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
B
MC
1 2
(
a
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a , 或 a .
向量的模 : 向量的大小,
自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 记作 e 或e . 零向量: 模为 0 的向量,
向量基本概念及坐标表示
向量基本概念及坐标表示1、向量：既有大小，又有方向的量.零向量：长度为0的向量.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量.2、 (1)向量既有大小又有方向的量。
(2)向量的模一一有向线段的长度，|a|(3)单位向量|a o| 1, a o —|a|(4)零向量0 , |0| 0在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变3、共线向量(平行向量) 方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
(5)相等的向量长度相等方向相同b // a (b 0) 存在唯一实数，使b aOA OB OC OA OB BA3.与向量 d （12,5）平行的单位向量为 （）12 A.占,5) 13 C( 12 5、十 / 12 5 C.(一，)或(，B.D ・( 12 513' 1312 513' 13 5、平面向量基本定理（向量的分解定理）e i , e 2是平面内的两个不共线向量，a 为该平面任一向量，则存在唯一实数对1、 2，使得a 1e i2e 2 ， e i 、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
6向量的坐标表示i ，j 是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数 x ，y ，使得a x i y j ，称（x , y ）为向量a 的坐标，记作：a x ，y ，即为向量的坐标 表示。
设 a x 1， y 1， b X 2， y 2贝 y a b x 1，y 1y 1, y 2 x1y 1， X 2 y 2aX" y 1X 1, y 1若A x 1，y 1，B x 2，y 2则 AB X 2 X 1，y Y 1练习题：1.将—[2(2 a 8b) 4(4 a12A. 2a bB.C. a b D .2.如图 1所示，向量OA,OB,C ）C 的终点A, B ，C 在一条直线上，且nnOAp ，mu OBq ，O C r ，则以下等式中成立的是（A. r3 312q B.r p 2qc. r尹 2qD.2p2b ）］化简成最简式为（2b ab a f图IuurACUUU 3CB ，设4. 已知向量a (2,3),b(1,2)，若ma nb 与a 2b 共线，则m等于()n11A. 1B.2C.丄 D.-2225 •已知非零向量 u 和e 2不共线，欲使te i e 2和◎ t e ?共线，则实数t 的值为 _______ •6•平行四边形ABCD 中，M 为DC 中点，N 为BC 的中点•设AB a ， AD b ，,BJUD则MN _____________ (用a ， b 表示).7. 已知向量 a (3,1),b (1,3),c (k,7)，若(a c)//b,则k _____________ 8. 设向量a (1,2),b (2,3)，若向量 a b 与向量C (4,7)共线，则 = ______9. 两个非零向量厲，e 2不共线.ujuuur ium,「「八(1) 若 AB ee 2，BC2e 1 8e 2，CD3(©e 2)，求证：A B ，D 三点共线;(2) 求实数k ，使k e 1 e 2与2e k e ：共线.uuu10 .已知Y ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OAUUU UUU UULTUUUb 分别表示向量OC ，OD ，DC ，BC .错误!未找到引用源若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.11、设0(2是两个不共线的向量,AB 2ei ke 2 ,CB e 13e 2, CD 2e 1e 2，uuua ，OBb ，用向量a ，12.已知向量 a ( 3,2),b (2,1),c (3, 1),t R.若a tb与c共线，求实数t.。
新课标[原创]向量的 概念及表示
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（1）错 （4）对
（2）错 （5）对
（3）错
例2：已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中 所标出的向量中：
（ 1 ）试找出与FE共线的向量；
（2）确定与FE相等的向量；
（3） OA与BC相等吗？
解：（ 1 ） OA, BC (2) BC (3)因为方向相反，所以不 相等。
E
D
F A
O
B
C
例3：在4 5达到方格中有一个向量 AB,以图中 的格点为起点和终点作 向量，其中与AB相等的
1.向量的概念: 2.向量的表示: 3.零向量: 仅对向量的大小明确规定，而 没有对向量的方向明确规定 4.单位向量: 5.平行向量: 仅对向量的方向明确规定，而 没有对向量的大小明确规定 6.共线向量: 7. 相等向量: 对向量的大小和方向都明确规定
练习:
1.下列说法正确的是 ( B ) A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.
数量：距离、身高、质量、时间、面积等 向量：位移、力、速度、加速度、电场强度等 数量可比较大小，可纯代数运算 向量不可比较大小，不可纯代数进行运算
向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量
本书中我们研究平面向量，在立体几何中我们将研究空间向量
二、向量的几何表示
用有向线段表示向量，长度表示向量的大 小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量有多少个？与 AB长度相等的共线向量有 多少个？
B
相等的有 7个
长度相等 的有15个
例4：思考下列问题：
1、向量就是有向线段吗？ 2、下列命题正确的是 （1）共线向量都相等
（2）单位向量都相等
向量的概念及表示
√ (5)若a = b ，b = c，则a = c ; √ 若 则 √
变式1:非零向量 变式 非零向量a、b、c ,若a // b ，b // c，则a // c 非零向量 若 变式2: 变式 若a // b ，b // c，则a // c 反例： 反例：b = 0
x
如图， 为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出 的中心， 例2.如图，已知 为正六边形 如图 已知O为正六边形 的中心 向量中： 向量中： 共线的向量； （1）试找出与 共线的向量； ）试找出与FE共线的向量 相等的向量； （2）确定与 相等的向量； ）确定与FE相等的向量 相等吗？ （3）OA与BC相等吗？ ） 与 相等吗 共线的向量有BC和 解：（1）与FE共线的向量有 和OA; ：（ ） 共线的向量有
BF DE、CO、BF 、 、
. .
的模相等的向量有________ （3）与AO的模相等的向量有________个. 的模相等的向量有________个 7 （4）向量AO与CO是否相等？答 向量 与 是否相等？ 是否相等
不是
.
E
A
B
F O D C
3.如图是中国象棋的半个棋盘，“相走田” 如图是中国象棋的半个棋盘， 相走田” 如图是中国象棋的半个棋盘 是象棋中相的走法.如相可以从A飞到 飞到A 是象棋中相的走法.如相可以从 飞到 1,也可 以飞到A 问相在棋盘中何处飞法最多？ 以飞到 2，问相在棋盘中何处飞法最多？试 在图中用向量表示. 在图中用向量表示.
E
D
F
O
C
A
B
长度相等且方向相同， （2）与FE长度相等且方向相同，故BC=FE ; ） 长度相等且方向相同 但方向相反， （3）虽然 ）虽然OA//BC, 且 OA = BC ,但方向相反， 但方向相反 故这两个向量不相等. 故这两个向量不相等
向量的概念及表示(1)
| 0 | 0
单位向量: 长度为1个单位长度的向量.
3.向量之间的关系：
平行向量 : 方向相同或相反的 非零向量.
a
b c
记作：a // b // c
我们规定, 零向量 与任一向量 平行. 共线向量 : 任一组平行向量 都可平移到同一直线上. 即平行向量 也叫做共线向量 .
(注:若 ,则与起点位置无关.) 记作： a b a b
猫能捉住老鼠吗?
老鼠由A向东北方向以每秒6米的 速度逃窜,而猫由B向东南方向每 秒10米的速度追. 问猫能否抓到 老鼠?
速度是既有大小又有方向的
量!
学习目标
1 了解向量的实际背景,会用字母表示向量,理解 向量的几何表示. 2 理解零向量,单位向量,平行向量,共线向量,相 等向量等概念.
自学指导
二.向量的表示
1. 几何法:用有向线段表示 A B 其中有向线段的长度表示向量的大小，
箭头所指的方向表示向量的方向
2. 代数法:用字母表示
AB,
或 aBiblioteka 三. 向量的有关概念1.向量的长度(模): 向量
AB 的大小
记作：| AB |
2.两个基本向量：
零向量: 长度为零的向量(方向任意).
记作： 0,
1 位移和距离有什么不同? 2 什么是向量?向量的表示方法有哪些? 3 零向量,单位向量,平行向量,共线向量,相等向量 是怎样定义的?
自主检测
P 59
练习
1
2
问题1.判断下列命题的真假 : ( 假 )(1)两个非零向量长度相等 则这两个向量相等. , ( 假 )(2)若两个向量共线, 则这两个向量相等. ( 真 )(3)若两个向量相等, 则这两个向量平行. ( 真 )(4)零向量与任一个非零向 量共线. ( 假 )(5)任意两个单位向量相等 . ( 假 )(6)若两个向量方向相同 且有相同的起点, 则这 , 两个向量的终点相同 . ( 真 )(7 )若两个向量相等, 且有相同的起点, 则这两个 向量的终点相同.
向量的概念及表示
- ( - a) = ？
a = -c
三：向量之间的关系
5.共线向量与平行向量的关系：
a// b// c
a,b,c为 共 线向量
c bc
b
a
a
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
平行向量就是共线向量
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心， 在图中所标出的向量中： E
0 c =____ 2.若|a|>|b| ，则a > b 注:向量不能比较大小
BACK
（no）
练习：
1.与非零向量 a 平行的向量中，
2 不相等的单位向量有_____个.
BACK
小结:
定义 几何表示法：有向线段
表示
符号表示法：
a ，b
AB
向量
向量的有关概念
长度（模）
零向量 特殊向量
单位向量
向量间 的关系 平行（共线） 相等
OA BC
练习：
1、单位向量是否一定相等？
不一定
2、单位向量的大小是否一定相等？
一定
BACK
练习：
1、平行向量是否一定方向相同？
不一定
2、不相等的向量一定不平行吗？
不一定
BACK
练习
1、与零向量相等的向量一定是什么向量？
零向量
2、与任意向量都平行的向量是什么向量？
练习:
1.设O为正△ABC的中心,则向量AO,BO,CO是 ( B )
A.相等向量 C.共线向量 C A B.模相等的向量 D.共起点的向量
Oபைடு நூலகம்
B
练习:
1. 命题：“│a│=│b│”成立，则“ a = b ”一定成
向量的概念及表示教案
向量的概念及表示一、教学目标：1. 让学生理解向量的概念，知道向量是有大小和方向的量。
2. 让学生掌握向量的表示方法，包括字母表示和坐标表示。
3. 让学生学会向量的加减法和数乘运算。
二、教学内容：1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量，可以用来表示物体的位移、速度等。
2. 向量的表示方法：（1）字母表示：用大写字母表示向量，如\( \vec{a} \)，\( \vec{b} \) 等。
（2）坐标表示：用小写字母加上坐标轴上的坐标表示，如\( \vec{a} = (a_x, a_y) \)，\( \vec{b} = (b_x, b_y) \) 等。
3. 向量的加减法：（1）向量加法：\( \vec{a} + \vec{b} = (\vec{a}_x + \vec{b}_x, \vec{a}_y + \vec{b}_y) \)。
（2）向量减法：\( \vec{a} \vec{b} = (\vec{a}_x \vec{b}_x, \vec{a}_y \vec{b}_y) \)。
4. 向量的数乘：（1）数乘向量：\( k\vec{a} = (ka_x, ka_y) \)，其中\( k \) 是实数。
三、教学重点与难点：1. 重点：向量的概念、表示方法以及向量的加减法和数乘运算。
2. 难点：向量的坐标表示以及向量的加减法和数乘运算的坐标表示。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解向量的概念和表示方法。
2. 采用练习法，让学生通过例题和练习掌握向量的加减法和数乘运算。
3. 采用提问法，检查学生对向量知识的理解和掌握程度。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，如物体位移、速度等，引入向量的概念。
2. 讲解向量的概念，引导学生理解向量有大小和方向。
3. 讲解向量的表示方法，包括字母表示和坐标表示。
4. 讲解向量的加减法，让学生掌握向量加减法的运算规则。
5. 讲解向量的数乘，让学生掌握向量数乘的运算规则。
向量的概念及表示(公开课)
向量
向量
向量的表示
向量的大小 (模)
向量的方向
平行向量 共线向量) (共线向量)
零向量
单位向量
课堂小结
向量及向量符号的由来
向量最初被应用于物理学, 向量最初被应用于物理学,被称为矢 很多物理量,如力,速度,位移, 量.很多物理量,如力,速度,位移,电 场强度,磁场强度等都是向量. 场强度,磁场强度等都是向量. 大约公元前350 350年 大约公元前350年,古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向 向量一词来自力学, 量.向量一词来自力学,解析几何中的有 向线段 向线段. 最先使用有向线段表示向量的是英国 大科学家牛顿 学家牛顿. 大科学家牛顿.
共线向量: 平行向量也叫做共线向量. 共线向量: 平行向量也叫做共线向量. 相反向量 : 长度相等 且方向相反的向量 叫做相反向量. 记作: 叫做相反向量. 记作: a
思考: 思考:
1,若两个向量相等,则它们的起点和终点 ,若两个向量相等, 分别重合吗? 分别重合吗? 2,向量 AB 与 CD 是共线向量,则A,B, 是共线向量, , , , C,D四点必在一直线上吗 C,D四点必在一直线上吗? 四点必在一直线上吗? 3,平行于同一个向量的两个向量平行吗? ,平行于同一个向量的两个向量平行吗? 4,若四边形 若四边形ABCD是平行四边形,则有 是平行四边形, 是平行四边形 A AB = DC 吗? B
学生活动
a
(1),如上图,设图中小正方形的边长为1,则| a |= ),如上图 设图中小正方形的边长为1 如上图,
.
(2),请在上图中画出与| a |相等的向量(要求所画向量的 请在上图中画出与| |相等的向量 相等的向量( ),请在上图中画出与 起点和终点在方格的格点处,以下要求不变). 起点和终点在方格的格点处,以下要求不变). (3),请在上图中画出模为| a |的2倍的向量. 请在上图中画出模为| |的 倍的向量. ),请在上图中画出模为 思考:观察上图中的向量,我们可将其分为模为 2 和 2 2 思考:观察上图中的向量, 两类;你能否将这些向量按照" 进行分类? 两类;你能否将这些向量按照"方向"进行分类?
向量的概念及表示教案
向量的概念及表示教学目标：1. 了解向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 能够运用向量表示物体在空间中的位置和运动。
3. 掌握向量的加法、减法和数乘运算。
教学内容：第一章：向量的概念1.1 向量的定义1.2 向量的性质1.3 向量的表示方法第二章：向量的加法和减法2.1 向量加法的定义和性质2.2 向量减法的定义和性质2.3 三角形法则和平行四边形法则第三章：向量的数乘3.1 向量数乘的定义和性质3.2 向量数乘的意义和应用3.3 向量的长度和方向第四章：向量的几何应用4.1 向量在直角坐标系中的应用4.2 向量在几何图形中的应用4.3 向量在物体运动中的应用第五章：向量的线性组合5.1 向量的线性组合定义和性质5.2 向量线性组合的意义和应用5.3 向量空间和基底的概念教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来理解向量的概念和表示方法。
2. 利用图形和实物模型，直观地展示向量的几何意义和应用。
3. 通过例题和练习题，让学生掌握向量的运算规则和应用技巧。
教学评价：1. 课堂讲解和讨论的参与度。
2. 作业和练习题的正确率和完成情况。
3. 期末考试的成绩和表现。
教学资源：1. 教学PPT和幻灯片。
2. 图形和实物模型。
3. 练习题和测试题。
教学计划：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：2课时4. 第四章：3课时5. 第五章：2课时教学步骤：1. 引入向量的概念，引导学生思考向量的定义和性质。
2. 讲解向量的表示方法，如箭头表示法和坐标表示法。
3. 通过图形和实物模型，展示向量的几何意义和应用。
4. 讲解向量的加法和减法运算，引导学生掌握三角形法则和平行四边形法则。
5. 讲解向量的数乘运算，引导学生理解向量数乘的意义和应用。
6. 通过例题和练习题，让学生巩固向量的运算规则和应用技巧。
7. 引导学生思考向量的线性组合的概念和性质。
8. 讲解向量的线性组合的意义和应用，如基底的概念。
向量的概念及几何表示
记作：a = b
D
C
规定：0 = 0
A
B
A
B
D
a b
.
o
相等向量一定是平行向量吗?
向量相等 平行向量一定是相等向量吗?
C
向量平行
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中
与向量OA相等的向量。 OA = DO = CB
变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？ 11个
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
AF、ED、MC
F
E
M
（2）FB、AF、MC
B
D
C
BACK
四、小结：
向量的概念； 本 节向量的表示方法； 内向量的模, 容
零向量、单位向量； 平行向量、共线向量、相等向量。
五、作业：
课本77页 练习第3题 课本78页 习题第6题
(×)
2.下面几个命题：
（1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b |a|=|b|
（4）两个向量a、b相等的充要条件是 a ∥b
（5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
其中正确的个数是(
B（终点）
有向线段：在线段AB的两个端点
中，规定一个顺序，假设A为起点，
B为终点，我们就说线段AB具有方
A（起点）
向。具有方向的线段叫做有向线段。
有向线段的三个要素：起点、方向、长度
1、向量的几何表示：用有向线段表示。
向量AB的大小，也就是向量AB的长度 （或称模），记作|AB|。
向量的概念及向量的表示
向量模的计算
定义
向量$vec{a}$的模定义为 $|vec{a}| = sqrt{sum_{i=1}^{n} a_i^2}$，其中$n$是向量的维 数，$a_i$是向量的分量。
向量坐标的运算
总结词
向量的坐标运算包括加法、数乘、向量的模等基本运算。
详细描述
设两个平面向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1}, y_{1})$和 $overset{longrightarrow}{b} = (x_{2}, y_{2})$，则它们的和向量 $overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})$；数乘运算中， $koverset{longrightarrow}{a} = (kx_{1}, ky_{1})$；向量 $overset{longrightarrow}{a}$的模为$left| overset{longrightarrow}{a} right| = sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$。
计算方法
根据定义，可以通过计算向量 的分量平方和，然后取平方根 得到向量的模。
特殊情况
当向量模为0时，表示该向量 是零向量；当向量模为无穷大 时，表示该向量不存在。
向量模的应用
80%
向量长度
向量的模可以用来表示向量的长 度或大小。
向量的概念及向量的表示
空间向量基本定理及应用
空间向量基本定理
如果三个向量 a、b、c 不共面，则对 空间任一向量 p，存在一个唯一的有 序实数组 x、y、z，使得 p = xa + yb + zc。
应用
空间向量基本定理是空间向量坐标表 示的基础，它说明空间中的任一向量 都可以表示为其他三个不共面向量的 线性组合。
向量在解析几何中作用
线性组合与线性方程组的解
线性方程组可以表示为一系列向量的线性组合等于零向量的形式。线性方程组的解与这些 向量的线性相关性密切相关。当且仅当这些向量线性无关时，方程组有唯一解；否则，方 程组有无穷多解或无解。
04 向量运算及应用
加法运算及物理意义
向量加法的定义
两个向量相加，即将它们的对应 分量相加得到新的向量。
磁场强度
磁场强度是描述磁场中某点磁场力作用强弱和方向的物理量，也是一个矢量。在电磁学中，磁场强度 用向量表示，其大小等于单位电流元在该点所受磁场力的大小与电流元方向之间的夹角的正弦值的乘 积，方向遵循右手定则。
波动现象中波矢描述
• 波矢：波矢是描述波动现象中波的传播方向和波长的物理量， 是一个矢量。在波动现象中，波矢用向量表示，其大小等于波 的角频率与光速的比值，方向指向波的传播方向。波矢在波动 现象的研究中具有重要意义，例如在光的干涉、衍射等现象中 需要用到波矢的概念。
到新的向量。
几何意义
02
数乘运算在几何上表现为向量的缩放，即改变向量的长度而不
改变其方向。
物理意义
03
在物理学中，数乘运算用于描述力的缩放或速度的变化，如一
个力的大小可以通过数乘运算进行调整。
点积、叉积运算及应用
点积运算的定义
两个向量的点积是将它们的对应分量相乘后相加 得到的标量。
向量的概念及表示优秀教案
向量的概念及表示执教:张亮点评:孔凡海【教学目标】一、通过对实例的引入，了解向量概念产生的实际背景；二、理解平面向量和向量相等的概念；三、掌握向量的几何表示；四、了解向量的长度、零向量、单位向量、平行向量等概念。
【重点难点】重点：向量的概念和向量的几何表示；难点：向量概念的理解【点评】知识技能，数学思考，问题解决，情感态度。
目标明确有效，重点突出。
为组织、引导学生开展有效学习活动奠定了方向。
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何的工具。
向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。
向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质。
由于向量的几何性质，以及向量、点、序偶之间的对应关系，于是，可以把图形的基本结构转化为向量运算，把图形的基本性质转化为向量的运算律，这就是几何问题代数化处理。
这样，几何中添线、补图等技巧让位于代数中的通法，也就是作为思辩数学的几何问题让位于作为算法数学的代数问题。
【教学过程】一、设置情境情景在如图所示的情景中，猫能否追上老鼠？合作探究看下面哪些量是与众不同的：（1）线段的长度（2）物体的质量（3）物体的体积（4）物体所受重力（前三个都是数量，即只有大小，而物体所受重力是矢量，既有大小又有方向）【点评】根据学生的生活经验，通过问题、设疑来创设思维的情境，引起认识的需要；通过揭露矛盾来引发思考，激发学习的兴趣。
通过学生活动，感知数学，进行意义建构。
物理中的力、速度、加速度以及几何中的有向线段等概念是向量概念的原型。
由物理上的位移、速度等引入向量概念，贴近学生已有的经验，比较自然，也体现了“最近发展区”原理的运用。
二、探索研究问题一情景中向我们呈现了一个新的量，那么我们怎样用数学的形式对这一量进行描述呢？1．向量的定义既有大小又有方向的量叫向量。
师：你还能举出一些向量的例子吗？师：在这一概念中你认为关键词有哪些？板书向量的二要素大小和方向师：我们怎样用符号来表示向量呢？重力加速度是一个向量，那么在物理中我们是用什么表示它的呢？2．向量的表示方法①几何表示法——向量常用有向线段表示师：那么有向线段是怎样表示向量的大小和方向呢？有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量的概念及表示
在你学过的量中，哪些是数量，哪些 是向量？
问题情境 • 如图所示，用100N的力，按照不同的
方向拉一辆车，效果一样吗？
30º
建构数学
一．向量的相关概念
1、既有大小又有方向的量叫做向量。 (矢量) 2、只有大小没有方向的量叫做数量（。标量）
1、数量与向量的区别？ 2、在你学过的量中，哪些是数量，哪些 是向量？
学生活动
• 例1:质量、加速度、身高、体 重、面积、体积、力、温度、 路程、位移、密度、数轴这些 量中，哪些是数量？哪些是向 量？
向量的2个要素:“大小”和“方向”
建构数学 2、向量的表示 Ｎ f
几何表示
向量常用一条有向线段来表示.
Ｇ
①有向线段:带有方向的线段。
②有向线段的3要素：起点、方向、长度
问题情境
• 如果要找一个物理量来刻画从学校到东 榆镇政府的位置变化，应该用哪个量？
• “位移”和“路程”这两个物理量一样 吗？
建构数学
一．向量的相关概念
1、只有大小没有方向的量叫做数量。
2、既有大小又有方向的量叫做向量。
路程
只有大小没有方向 数标量量
（只需用一个实数就可以表示的量）
位移
既有大小又有方向 向矢量
2、向量 AB 与向量 BA表示同一个向量。
3、共线向量一定在一条直线上。
4、不相等的两个向量一定不平行。
5、零向量没有方向。
6、任何两个单位向量都是平行向量。
7、起点相同终点不同的两个向量一定不共线。
8、向量就是有向线段。
向有但量向并与线非有段说向是向线向 量段的量就区的是别有形？向象线表段示，。
• 大约公元前３５０年，古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向 量．向量一词来自力学、解析几何中的有 向线段。
向量的概念及其运算
坐标,记为 OA = x, y .
注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
3.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量
a 与 b 相等,记为 a b .
课堂练习:
4.正方形 PQRS 对角线交点为 M，坐标原点 O 不在正方形内部，
A 且
OP
=（0，3），
OS
=（4，0），则
RM
=(
)
(A)（ 7 , 1 ） (B)（ 7 , 1 ） (C)（7，4） (D)（ 7 , 7 ）
22
22
22
5.已 知 a (1，2)，b x，1 ,且 a 2b 与 2a b 平 行,则 x 等 于
OA AB OB
实数与 向量的 乘积
三角形法则
两个向 量的数 量积
AB =λ a
λ ∈R
记 a =(x,y)
则 a =(λ x,λ y)
ab a b cos a,b 记 a (x1, y1),b (x2, y2)
则 a · b =x1x2+y1y2
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量 的数量积运算.
当基底 i, j 是两个互相垂直的单位向量时,
就建立了平面直角坐标系.如图
a xi y j 一一对应(x, y)
⑴当向量起点在原点时,定义向量坐标
为终点坐标,即若 A(x，y),则 OA =（x,y）;
⑵当向量起点不在原点时,向量 AB 坐标为终点坐标减
苏教版向量的概念及表示
2．下列物理量：①质量；②速
①⑥⑦⑧ [一个量是不是向量，
度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路 就是看它是否同时具备向量的两个
程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的 要素：大小和方向．由于速度、位移、
有______(填序号)．
力、加速度都是由大小和方向确定
的，所以是向量；而质量、路程、密
度、功只有大小而没有方向，所以不
第2章 平面向量
2.1 向量的概念及表示
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学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.了解向量的实际背景，理解平面向
量的概念．(重点)
2．理解零向量、单位向量、相等向 通过学习本节内容提升学生的数学
量、共线(平行)向量、相反向量的含 抽象和直观想象核心素养.
义．(重点、难点)
3．理解向量的几何表示．(重点)
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思考 3：已知 A，B 为平面上不同两点，那么向量A→B和向量B→A相等吗？
它们共线吗？ [提示] 因为向量A→B和向量B→A方向不同，所以二者不相等．又表示它
们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线．
思考 4：向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同
吗？ [提示] 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任
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[解] (1)如图：
(2) 由题意，易知A→B与C→D方向相反，故A→B与C→D共线，即 AB∥CD. 又∵|A→B|＝|C→D|，∴在四边形 ABCD 中，AB 綊 CD，
∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∴|A→D|＝|B→C|＝200(千米)．
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用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模 的大小确定向量的终点.必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方 向或长度模，选择合适的比例关系作出向量.
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2、向量 AB 和 BA 同一个向量吗？为什么？
不是，方向a 不同
8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
说明2： 有向线段与向量的区别：
有向线段：有固定起点、大小、方向
向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有
方向。
B
D
B
D
A
C
A
C
有向线段AB、CD是 不同的。
向量 AB、CD 是同一个向量。
a
9
说明3：两个特殊向量
1、零向量 ：长度为 0 的向量。记作 0
m=20kg
(1)
F=20N
(2)
V =20km/h
(3)
（2）（3）都是有大小和方向的量
a
5
靖江市刘国钧中学瞿竞泓
19.05.2020 5:49:03
a
6
一、向量的定义 既有大小又有方向的量
向量的模
向量的长度
二、向量的表示方法
①几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的 长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方 向。以A为起点、B为终点的向量记为：ＡＢ。
向量是什么向量？
共线向量 或者说平行向量
2、共线向量一定在一条直线上吗？ 不一定
BACK
a
22
练习： 在质量、重力、速度、加速度、 身高、面积、体积这些量中，哪 些是数量？哪些是向量？
数量有：质量、身高、面积、体积
向量有：重力、速度、加速度
BACK
a
23
在下列结论中，哪些是正确的？ （1）如果两个向量相等，那么它们的起点和终
点分别重合； （2）模相等的两个平行向量是相等的向量； （3）如果两个向量是单位向量，那么它们相等； （4）两个相等向量的模相等。
正确的有：（4）
a
24
练习:
记 作 ： ABD C
B
C
s
相反向量的定义：向 我 量 们 叫 把 做 与 a r a的 长 相 度 反 相 向 等 量 ， . 方 记 向 做 相 反 ：-的 ar
r a
r rr r
r c
c=-a a = -c
r
r
-(-a)=？
b
a
12
三：向量之间的关系
5.共线向量与平行向量的关系：
rrr a// b// c
分别以图中的格点为起点和终点作向量，
（1）其中与 AB 相等的向量有多少个？
（2）与 AB长度相等的共线向量有多少个？
（ AB 除外）
B
u u u r
( 1 ) 共 有 7 个 向 量 与 A B 相 等
u u u r
A
( 2 ) 共 有 1 5 个 向 量 与 A B 共 线
a
15
合作探究：
如图：以1× 1方格纸中的格点为起点和 终点的所有向量中，可得到多少种不同 的模？有多少种不同的向量？
共有2种不同的模 共有8种不同的向量
a
16
若改为1×2的方格纸中的格点为起点 和终点的所有向量中，可得到多少种 不同的模？多少种不同的向量呢？
共有4种不同的模
共有14种不同的向量
a
17
欢迎来到： 过关竞技场
★题：
1
2
3
4
5
6
★★题：
7
8
9
10
★★★题：
11
12
a
18
练习：
1、单位向量是否一定相等？
➢我r 们规定零向量与任一向量平行
ra b
r 记 做 ： a r//br//cr
c
r e
ur f
ru r 那 么 e 与 f 之 间 是 什 么 关 系 ？
两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别？
a
11
三：向量之间的关系
4.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量
A
D
uuu r uuu r
不一定
2、单位向量的大小是否一定相等？
一定
BACK
a
19
练习：
1、平行向量是否一定方向相同？
不一定
2、不相等的向量一定不平行吗？
不一定
BACK
a
20
练习 1、与零向量相等的向量一定是什么向量？
零向量
2、与任意向量都平行的向量是什么向量？
零向量
a
BACK
21
练习 1、若两个向量在同一直线上，则这两个
2、单位向量 ：长度为 1 个单位长度的向量。 0 向量大小为0，方向
不确定的。可以是任意方向 单位向量大小为1，方向 不一定相同。 单位向量可以有无数多个
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量
它们的终点的轨迹是什么图形？
a
10
三：向量之间的关系
3.平行向量的定义：
➢方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
1200公里
a
3
湖面上有三个景点O,A,B,
（如图）一游艇将游客从
景点O送至景点A,半小时 后，游艇再将游客送至景
o
点B.从景点O到景点A有
一个位移，从景点A到景
B
点B也有一个位移。
位移和距离这两个量有 什么不同？
位移既有大小又有方向，
A
距离只有大小没有方向
a
4
合作探究：
观察下述三个量有什么区别？
a r,b r,c r为 共 线 向 量
r a r b
r c
rr r bc a
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
平行向量就是共线向量
两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否一样？
为什么？
说明：在平行向量、共线向量、相等向量
的概念中应注意a零向量的特殊性
13
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，
在图中所标u 出u u r的向量中：
E
( 1 ) 试 找 出 与 F u E u r 共 线 的 向 量 ；
（ 2 ） 确 定 与 F E 相 等 的 向 量 ；
u u r u u u r （ 3） OA 与 B C 相 等 吗 ？
O F
D C
若 不 相 等 ， 则 之 间 有 什 么 关 系 ？
解：（1） Buuuu Crr， O uuAuruuur
大小记着：│AB│
Ｂ
A
a
②也可以表示： a b c d ….
a
大小记为┃a┃
7
说明1：
我们现在研究的向量，与起点无关，用有向线段 表示向量时，起点可以取任意位置。所以数学中 的向量也叫 自由向量
如图：他们都表示 a
a
同一个向量。
1、温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为
什么？ 不是，温度只有大小，没有方向。
A
B
（ 2） BCFE
u u r u u u r u u r u u r
（ 3 ） 虽 然 O A //B C ， 且 | O A | = | B C | ，
但 是 它 们 方 向 相 反 ， 故 这 两 个 向 量 不 相 等 .
uuur uuur
OABCa
14
例2：在图中的4×5方格纸中有一个向量 AB ，
a
1
金钱豹以5m/s的速度追赶一只以2m/s逃跑的小狗……
请问：金钱豹 能追上小狗吗？为什么？
a
2
美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处获得信息：伊拉 克的军事目标距“小鹰”号1200公里。试问只知道这一信 息导弹是否能击中目标？
答案：不能，因为 没有给定发射的方向.
1200公里
1200公里
1200公里