2.1拉氏变换的概念.

s
s 被称为是Laplace算子，它是一个复数变量，即有
j
s j
这个平面就被我 们称为是S域或
复数域


典型机电控制系统
＋１
典型机电控制系统
【例2-1】 求单位阶跃函数(Unit Step Function)1(t)的象函数。
在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当一个开关的闭合 (或断开)。 在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义式：
拉普拉斯变换及其应用
——拉氏变换的概念
拉氏变换的特点（The Laplace Transform）
典型机电控制系统
Laplace变换又称拉氏变换，是工程数学中常用的一种积分变换。 拉氏变换是一个线性变换，可将一个有引数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个引 数为复数s的函数。与线性常微分方程的经典求解方法相比，Laplace变换有如下 两个显著的特点： •只需一步运算就可以得到微分方程的通解和特解。 •微分方程通过Laplace变换转化成含有s的一代数方程，然后运用简单的代数法 则就可以得到代数方程在s域上的解，而只要再作一次Laplace反变换就可以得到 最终我们所需的时域上的解。

lim
0
(t
)
d 1(t ) dt

(t )
1(t ) (t )dt
单位阶跃函数对时间的导数即为单位脉冲函数 单位脉冲函数对时间的积分即为单位阶跃函数
常用函数的拉氏变换对照
序号 原函数������ ������
象函数F ������
1
������ ������
1
2
1 ������
3
������−������������
4
������������
5
������������−������������
1 ������ 1 ������ + ������ ������! ������������+1
1 (������ + ������)2
序号 6
原函数������ ������ ������ ������ ������ −������������
Laplace（拉氏）变换的定义
典型机电控制系统
已知有实（含实变量������ ）函数������ ������ ，其Laplace变换为：
将实函数乘以指数函数������−������������，（其中s = σ + ������������，是一个复变量）再在0~∞之间对������进
行积分，即得拉式变换式������[������ ������ ]：
单位脉冲函数δ（t）定义为：
(t )
0 (t 0)
1


(0

t

)
特点：
0 (t )

(t )dt
0


(t )dt
0

1t 0
1
(t )

lim
0
(t
)
对时间的积分为1！！


(t )dt
lim 0
(t )dt
������! (������ + ������)������+1
������ ������2 + ������2
������ ������2 + ������2
������2 ������(������2 + ������2)
������2 ������(������ + ������)2
7
������������������������������
8
������������������������������
9
1 − ������������������������������
10 1 − ������−������������(1 + ������������)
典型机电控制系统
象函数F ������
F(s ) L[f(t )] f(t )e stdt 0
条件：式中等号右边的积分存在(收敛)。
������(������)称为������ ������ 的象函数； ������ ������ 称为������(������) 的原函数，二者具有一一对应关系。
如何从已知原函数求取对应象函数？
0


1
s
e st



1
s
e s

(
1
s
e s 0 )

1
s
0
积分运算依据：‫׬‬
������������������������
=
������������ ������������������
+
������
(������ > 0, ������ ≠ 1)
典型机电控制系统
【例2-2】 求单位脉冲函数(Unit Pulse Function)������(������)的象函数。
x 0
x

1
零


lim(
0
0
1 e stdt )

lim(
0
1
s
e st

)
0Baidu Nhomakorabea

lim
0
1 e s s
1
单位脉冲函数和单位阶跃函数的关系
典型机电控制系统
区间（0，）中：d
1(t dt
)

1

(t )
lim d 1(t ) 0 dt
0 (t
1 (t

0) 0)
1(t)
如何求拉普
1
拉斯变换式？
0
t
1(t)的拉氏式
典型机电控制系统
在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作用信号。它的拉氏式由 拉普拉斯定义式有：


F(s ) L[1(t )] 1 e stdt (1 e s )tdt
0
1������(t)
0
(������ < 0)
1
1������ t =
1 ������ ������
(0 ≤ ������ ≤ ������)
1
(������ > ������)
0 ������
t
典型机电控制系统 1(t)
单位阶跃函数1（t）定义为：
1(t )

lim
0
1(t
)
1(t )
1
0
0
如何求拉普 拉斯变换式？
典型机电控制系统
在自动控制系统中，单位脉冲函数相当一个瞬时的扰动信号。它的拉氏式由定义
式有：
F(s )

L[(t )]


(t )e stdt
0


lim[ 0
(t )e stdt
(t )e stdt]
0

参考公式：
lim e x 1