第五章：3最小维观测器

− − C1 1 −C1 1C2 Iq 0 y ˆ x = Ez + My = = Iq G 2 In −q z 0 − − − C1 1[(Iq − C2G 2 )y − C2z ] −C1 1C2 C1 1[(Iq − C2G 2 ) = y z + G2 z + G 2y I
将其写成观测器的标准形式，并与Kx观测器(5-29) 相比较：
6 74 4E 8 6447444 4M 8 − − −C1 1C2 C1 1(Iq − C2G2 ) ˆ x =w = z + y G2 In −q
(5 − 46)
15
64 744 4F 8 64 744 4N 8 & z = ( A 22 − G 2 A12 ) z + (B 2 − G 2 B1 ) u + [( A 21 − G 2 A11 ) + ( A 22 − G 2 A12 )G 2 ] y 144444424444443
G CT −1
21
(3)N = PB= −G 2
I n − q TB= −G 2
B1 I n−q ； B 2
P -1 0 I -G 2 I (4) EP+MC= [ E M ] =T T=I I 0 q C I G2 4 3 1 24
引理 若（A，C）可观测，则
( A 22 ,A12 ) 也可观测。
证明：考虑下列PBH检验矩阵：
A11 − sI A12 A-sI A22 − sI = A21 C I 0 q
对任意的s，它列满秩的充要条件是后n−q列也满秩。 但
n − q列 }
K=EP + MC = [ E
P M] = In C
其中P是r×n阵，且满足PA－FP=GC。要使上式 有解，应有 P ran k ≥ n C 而已知 rank C = q 所以 故P的最小维数 rmin=n−q
rank P ≥ n − q
又因为Pr×n的行数与观测器的维数 r 必须一致，故知 证完。 r=n−q 这就是观测器的最小维数。 证完。 注：定理5-12的证明中没有用到 (A, C) 可观测的假 设。但下面的分析将表明，只有 (A, C)可观测方可 保证所设计的状态观测器之（F, E)可观测。 2. 最小维数状态观测器的构造 不妨假定C=[C1 C2]，这里C1,C2分别是q×q和 q×(n−q)矩阵，而且rankC1=q。 分以下几个步骤来具体建立最小维数的状态观 测器。
& x 2 = A 22x 2 + A 21y + B 2u & y = A11y + A12x 2 + B1u
记
y ： y − A11y − B1u =&
则 于是我们得到
y = A12x 2
& x 2 = A22x 2 + (A21y + B2u ) y = A12x 2
(5-44)
或者进一步写成 如下n−q 维系统：
u
(B 2 − G 2 B1 )
& z
∫
( A 22 − G 2 A12 )
z
N
F
Σ0
− −C1 1C2 I n −q
ˆ w= x
E
z = F z + N u + G y ∈ R n−q & : n ˆ w = x = Ez + M y ∈ R
(5 − 2 9 )
n-q 维(最小维）状态观测器结构图 最小维）
进而，可以验证式（5-45）及式（5-46）的系数 矩阵满足定理5-12的条件（5-32）： 定理5-12 若（A, B）可控，（F, E）可观测，则 定理
Σ0 z& = F r × r z + N r × p u + G : w = E l ×r z + M l ×q y
六、最小维状态观测器
上一节研究了Kx观测器的一般形式：
Σ0 z = Fr×r z + N r× p u + G & : w = E l× r z + M l× q y
r×q
y
(5 − 2 9 )
根据定理(5-12)，存在r×n 矩阵P , (5-12) × P ,使得 K=EP+MC 根据定义5-1，K=I 时称（5-29）为状态观测器。
I n − q T 。则
Px = −G 2 In −q T x = −G 2 144 244 3
P
In −q x = −G 2y +x 2
所以：
ˆ ˆ Px -z = −G 2y +x 2 -(x 2 − G 2y ) = x 2 − x 2 → 0
(1) F = ( A 22 − G 2 A 12 )稳定(因为（ A 22， A 12）可观测）；
1）取等价变换 x = T x ，变换矩阵 T 定义为@p14 ）
T
−1 − C1 1 = 0 − C1 −C1 1C 2 ⇒T= In−q 0
C2 I n−q
显然T是满秩的。这时（5—42）式可化为 T 5—42
& x1 A11 & = x 2 A 21
其中包括了y 的微分。为了避免经微分将 y 中的噪 声放大，故有以上变换。 b）令 则容易验证
ˆ % x 2 := x 2 − x 2
& % % x 2 = ( A 22 − G 2 A12 )x 2
故只要设计G2，使得上述系统矩阵所有特征值有 负实部，就有
ˆ % x 2 := x 2 − x 2 → 0
2
若假定rankC=q，那么输出y实际上已经给出了部 分状态变量的估计。显然，为了估计全部状态， 只须用一个低阶的观测器估计出其余的状态变量 就可以了，也就是说，状态观测器的维数显然可 比n低。 定理5-17 若系统（A, B, C）可控可观测，且 定理 rankC=q 状态观测器的最小维数是 则系统的状态观测器 状态观测器 n −q 证明 根据观测器的结构条件（参见定义5-1和定 理5-12），对于状态观测器要求
(2)验证：PA − FP=GC：
为此，考虑
（PA − FP）T−1 =PT−1TAT−1 − FPT−1
= −G 2 A 11 I n−q A 21 A12 − ( A 22 − G 2 A12 ) −G 2 A 22 I n−q
= [−G 2 A11 + A 21
P −1 C T
⇒ K=I
其中，用到了
ˆ x1 ˆ x=T x =T ˆ x2
−G 2 A12 + A 22 ] − ( A 22 − G 2 A12 ) −G 2
I n−q
= [−G 2 A11 + A 21 + ( A 22 − G 2 A12 )G 2 0] = GCT−1 = G[ I n − q 0] 1444444 2444444 3 1 24 4 3
A12 A 22 − s I 0 I A12 rank = rank = rank I 0 A 22 − s I A 22 − s I A12
即
( A 22 ,A12 )
可观测。证完。 证完。 证完
3）建立n−q 维系统的全维（n−q）状态观测器 ）
& x 2 = A 22x 2 + [A 21 y = A12x 2
y B 2 ] x = Ax + Bu & % u ⇒ y = Cx
根据全维状态观测器的一般方程，可立即写 出它的观测器方程为：
& ˆ x 2 = ( A 22
644Bu% 744 8 y ˆ − G 2 A12 )x 2 + A 21 B 2 + G 2y u
ˆ 4）最后，求状态 x 的估计 x ： ）
根据前面的分析，我们有@p12
ˆ x 1 = x 1 = y ˆ x 2 = z + G 2y
ˆ 0 y x1 Iq ˆ = G I x 2 2 n −q z
这就是x的估计，其中y =x1 ,事实上无须估计。再由 ˆ ˆ ˆ ˆ x = T−1 x，可知T−1 x 给出了x的估计x： @p6
r ×q y
(5 − 2 9 )
成为（A, B, C）的 Kx 观测器的充要条件为存在 r×n 矩阵P，使得下列条件满足
(1) Re l i ( F ) < 0 (2) PA − FP = GC (3) N = PB (4) K = EP + MC (i = 1, 2,L , r )
为此，取 P = − G 2
G
(5 − 45)
我们看到，这是一个状态观测器，但不是一个n维 状态观测器，而是一个n−q维的状态观测器，因为
z ∈ R n − q。
注意： 注意：讲义中
− − C1 1 − C1 1C 2 I q ˆ x = Iq 0 G 2 1442443 T −1
0 y I n −q z
& 将 y = y − A11 y − B1u 代入上式，得到
& ˆ ˆ x 2 = ( A 2 2 − G 2 A 1 2 ) x 2 + A 2 1y + B 2 u & + G 2 ( y − A 1 1y − B 1u ) 1 4 42 4 43
A 12x 2
或：
& ˆ ˆ & x 2 − G 2y = ( A 22 − G 2 A12 )x 2 + A 21y + B 2u + G 2 ( A11y − B1u )
A12 x1 B1 + u A 22 x 2 B 2
0]x = x1
(5 − 43)
百度文库
y = Cx = CT−1Tx = CT−1x = [Iq
特点： 特点：经变换后，有 y = x1， 显然输出 y 直接给出 了 x 1 ，状态估计的问题就化为只需对n−q维向量 x 2 进行估计就可达到状态重构的 目的。 2）导出关于 x2 的状态方程和输出方程，为进一步 ） 构造状态观测器作准备。为此，将(5-43)重新写成：
1.状态观测器的维数 现在提出的问题是：状态观测器的维数 r 是否 可以降低？可能的最小值是多少？因为维数的降低， 意味着观测器可具有较为简单的形式，从而使工程 实现更加方便。因此研究降维状态观测器以及最小 维状态观测器的设计问题就成为观测器理论的重要 课题之一。 考虑 n 维线性时不变动态方程
& x = Ax + Bu y = Cx
& x 2 = A 22x 2 + [A 21 y = A12x 2
y B 2 ] x = Ax + Bu & % u ⇒ y = Cx
8
因此，我们只要构造上述系统的观测器就可以了。 立即会产生的问题是：
( A 22 , A12 )
是否可观测？因为根据定理5-10，这是上述系统全维 观测器存在并可任意配置极点的充要条件。我们有
记@p14
得到
ˆ z = x 2 − G 2y
& z = ( A 22 − G 2 A12 )z + (B 2 − G 2 B1 )u + [( A 21 − G 2 A11 ) + ( A 22 − G 2 A12 )G 2 ]y （5 − 45）
12
讨论： 讨论： a）因为
y ： y − A11y − B1u =&
也可以写成
− C1 1 ˆ x = 0 − − C1 1C 2 0 Iq I n −q
Iq z G 2 y
y
G
( A 21 − G 2 A11 ) + ( A 22 − G 2 A12 )G 2 ]
M
C−1(Iq −CG2) 1 2 G2