基本不等式综合运用(3)

. .
5.已知x 0, y 0, xy x y 3 求xy和x+y的取值
范围
课堂小结
1 1 1 1 2y x 3 2 （2） 2 y ( x 2 y)( ) (3 ) x 2 x y 2 x y 2
变式训练
当点( x, y )在直线x 3 y 2 0上移动时，求 y 3x 27 y 1的最小值.
解：y 3 27 1 3 3 1
【当堂检测】
4 1 1.函数y 2 x . x 的最小值为 2x 1 2 2.已知2 x 3 y 12 x 0, y 0 , 则xy的最大值为 1 1 3.已知x, y为正数, 且x 2 y 1, 则 的最小值为 x y 2 x2 4.设x 5, 则 的最小值为 x2 .
的值域
在4, 上单调递增， 不能取等号时 要利用函数单 调性
练习. （1）求
1 y x 1 2 x 0 x 2
的最大值
(2)已知x＞ 最值
5 4
, 求函数
1 y= 4x 2 的 4x 5
二
ax 2 bx c y mx n
类型函数求最值
3 1 tan x . 2 2 tan x π x (0, ), tan x 0, 2 3 1 3 1 tan x 2 tan x 3, 2 2 tan x 2 2 tan x 3 当且仅当 tan x 时“ ”成立， 故最小值为 3. 3
三 二元函数的条件最值
x1
当且仅当 号 即当 x
5 x1 即x 5 1 时取“=” x1
5 1时,函数的最小值为
2 55
习题练习
x2 x 4 1.求函数y x 1的最小值. y x 变为求 x 1
x 1 x 1的最大值呢？ 2 x4
若改为x ≥ 4呢
2.求函数
6 x2 1 y 的最大值 2 x 4
6 x 1
2
6 x2 1 6 x2 1 解： y 2 2 x 4 ( x 1) 3
3 x2 1
∵
x 1
2
3 x2 1
2 3
y
6 2 3
2
3
3 x2 1 即x 2 2, x 2 时取得最大值
已知ax+by=m 常值代换
x 例3 （1)已知 , y 0 且
2 1 x y 1 ，求 的最小值. x y
1 1 2 x y
（2）已知正数 x, y满足 最小值.
2 1 (1)原式=( x y )( x y)
，求 x 2 y的
x 2y 3 2 2 3 y x
基本不等式的应用
我 思 ， 故 我 在
来自百度文库
ab ab (a, b 0) 2
新沂市第三中学 张树康
一、知识梳理 一.知识梳理 1.重要的不等式
重要不 等式
ab ab 2
a 2 b 2 2ab
应用 条件
a, b R

“＝”何 时取得
ab ab
作用
变形
ab ab 2
当且仅当 x 1
3.（2010·南通模拟）设
π 则函数 x (0, ), 2 2 2 sin x 1 的最小值为 3 . y
sin 2 x
解析
2 sin 2 x 1 2 sin 2 x sin 2 x cos2 x y sin 2 x 2 sin x cos x
先变形再利用基本不等式求最值: 例2.求函数
x 3x 1 f ( x) ( x 1) x 1
2
的最小值.
5 x 2 3x 1 (x 1)2 5(x 1) 5 x 1 5 解: f (x) x1 x1 x1
x 1 x 1 0 又 x 1 5 5 2 5 5
解：因为x, y , z为正实数 x y 2z 0 x 2z y y2 x 2z xz xz x 2 4 xz 4 z 2 xz x 4z 4 z x
2
消元
2 448 x 4z 时 z x 即x 2 z时等号成立 当且仅当 y2 所以 8 xz min
一
A y mg ( x) g ( x)
类型函数求最值
例1.（1）求 （2）求
（3）求 解： （3） 值域为 17 ,
4
( x 0)的值域
2,
1 y x ( x 0) x
1 y x ( x 4) x
y x 1 x
的值域 (, 2]
2
和积
平方和 积
a, b R
a2 b2 ab 2
二.基本不等式求最值 ①和定积最大 ②积定和最小
ab ab 2
2
a b 2 ab
注：一正、二定、三相等 ⅰ)函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常 数； ⅲ)等号成立条件必须存在.
x y x 3y
2 3 3
x
3y
1 2 3
x 3 y
1
2 3 1 7 当且仅当3x =33 y 即x 3 y时取得等号 1 此时x 1, y 最小值为7 3
利用 基本 不等 式， 整体 解决
y2 3.已知x, y, z为正实数, 满足x y 2 z 0, 求 的最小值. xz