2018年高考物理热点问题复习讲义：曲线运动—恒力与变力

【热点问题2】 曲线运动—恒力与变力
【导读】
当物体所受合外力与速度不在同一直线时，物体将做曲线运动。

在恒力和变力作用下，曲线运动的性质也不相同。

典型的曲线运动有抛体运动、圆周运动和摆线运动，不同曲线运动的规律及其研究方法各异。

抛体运动、圆周运动等是近几年高考的热点，且多数与电场力、洛伦兹力联系起来综合考查；由于航天技术、人造地球卫星属于现代科技发展的重要领域，有关人造卫星的曲线运动问题也是高考命题的热点，考查内容以万有引力定律和向心力公式为核心，分析计算天文学、航天技术领域的实际问题。

【真题】
例1（恒力作用）（2015全国Ⅰ-18）一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。

水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h 。

发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h 。

不计空气的作用，重力加速度大小为g 。

若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是(
)
A.L 12g
6h ＜v ＜L 1g 6h
B.L 14
g
h ＜v ＜
(4L 21＋L 2
2)g
6h
C.L 1
2g 6h ＜v ＜12(4L 21＋L 22)g
6h
D.L 14
g h ＜v ＜12
(4L 21＋L 22)g
6h
答案 D
解析 发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动。

当速度v 最小时，球沿中线恰好过网，有： 3h －h ＝12gt 12
① 1
2L 1＝v 1t 1
②
联立①②两式，得v 1＝L 1
4
g h
当速度v 最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有
(L 22)2＋L 21＝v 2t 2
③ 3h ＝12gt 22
④
联立③④两式，得v 2＝12(4L 2
1＋L 2
2)g 6h
所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v 的
最大取值范围为L 14g h ＜v ＜
1
2
(4L 21＋L 2
2)g
6h
，选项D
正确。

例2（变力作用）（2012全国Ⅰ-25）如图，一半径为R 的圆表示一柱形区域的横截面（纸面）。

在柱形区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场，一质量为m 、电荷量为q 的粒子沿图中直线在圆上的a 点射入柱形区域，在圆上的b 点离开该区域，离开时速度方向与直
线垂直。

圆心O 到直线的距离为3
5R 。

现将磁场换为平行于纸面且垂直
于直线的匀强电场，同一
粒子以同样速度沿直线在a 点射入柱形区域，也在b 点离开该区域。

若磁感应强度大小为B ，不计重力，求电场强度的大小。

答案：2
145qRB E m
=
解析：粒子在磁场中做圆周运动。

设圆周的半径为r ，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得
2
q B m r
=v v
①
式中v 为粒子在a 点的速度。

过b 点和O 点作直线的垂线，分别与直线交于c 和d 点。

由几何关系知，线段ac 、bc 和过a 、b 两点的轨迹圆弧的两条半径（未画出）围成一正方形。

因此
ac bc r ==
② 设cd x =，由几何关系得
4
ac 5
R x =
+
③
3
bc 5
R =+
④
联立②③④式得
75
r R =
⑤
再考虑粒子在电场中的运动。

设电场强度的大小为E ，粒子在电场中做类平抛运动。

设其加速度大小为a ，由牛顿第二定律和带电粒子在电场中的受力公式得
qE ma =
⑥
粒子在电场方向和直线方向所走的距离均为r ，由运动学公式得
21
2
r at = ⑦ r t =v
⑧
式中t 是粒子在电场中运动的时间。

联立①⑤⑥⑦⑧式得
2
145qRB E m
=
⑨
【点拨】
分析物体做曲线运动问题时，要先对物体进行受力分析，如果物体受恒力作用，则物体做抛体运动，运动性质为匀变速曲线运动，一般利用化曲为直的思想方法，把运动分解为匀速直线运动和匀变速直线运动，再结合题设条件及问题进行处理。

当物体做的
曲线运动为匀速圆周运动时，则物体所受的合外力为变力，方向始终指向圆心提供向心力，此类问题要利用牛顿第二定律和向心力公式进行分析。

对于带电粒子在匀强磁场中的圆周运动，则要从“找圆心、求半径”入手进行分析，由洛伦兹力提供向心力列式求
解。

【巩固】
1．发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气的影响）。

速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网；其原因是
A. 速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B. 速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C. 速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D. 速度较大的球在下降相同时间间隔内下降的距离较大
2．现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定。

质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。

若某种一价正离子在入口处从静止
开始被同一加速
磁场
电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。

此离子和质子的质量比约为 A.11 B.12 C.121 D.144 3．如图，两个质量均为m 的小木块a 和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO ′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ．木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g 。

若圆盘从静止开始
绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是
A ．b 一定比a 先开始滑动
B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等
C ．ω=l kg
2是b 开始滑动的临界角速度
D ．当ω=l
kg
32时，a 所受摩擦力的大小为kmg
4．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为
A. 1h
B. 4h
C. 8h
D. 16h 5．如图甲，空间存在一范围足够大的垂直于xOy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。

让质量为m ，电量为q （q <0）的粒子从坐标原点O 沿xOy 平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中。

不计重力和粒子间的影响。

⑴若粒子以初速度v 1沿y 轴正向入射，恰好能经过x 轴上的A(a ，0)点，求v 1的大小；
⑵已知一粒子的初速度大小为v （v >v 1），为使该粒子能经过A(a ，0)点，其入射角θ（粒子初速度与x 轴正向的夹角）有几个？并求出对应的sin θ值；
⑶如图乙，若在此空间再加入沿y 轴正向、大小为E 的匀强电场，一粒子从O 点以初速度v 0沿x 轴正向发射。

研究表明：粒子在xOy 平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x 分量v x 与其所在位置的y 坐标成正比，比例系数与场强大小E 无关。

求该粒子运动过程中的最大速度值v m 。

O
O
【巩固】答案与解析 1. 【答案】C
【解析】由题意可知，速度大的先过网，即同样的时间速度大的水平位移大，或者同样的水平距离速度大的用时少，故C 正确。

2.【答案】D
【解析】设质子的质量数和电荷数分别为1m 、
1q ，一价正离子的质量数和电荷数为2m 、2q ，
对于任意粒子，在加速电场中，由动能定理得：
21
02
qU mv =-
得v =
①
在磁场中应满足2
v qvB m r
= ②
由题意，由于两种粒子从同一入口垂直进入磁场，从同一出口垂直离开磁场，故在磁场中做匀速圆周运动的半径应相同．
由①②式联立求解得
匀速圆周运动的半径r =由于加速电压不变，
故
122111
r B r B = 其中211212B B q q ==，，可得
121144
m m = 故一价正离子与质子的质量比约为
144。

3. 【答案】 AC
【解析】小木块都随圆盘做匀速圆周运动时，在发生相对滑动之前，角速度相等，静摩擦力提供向心力，即F 静=mω2
r ，由于r a =l ，r b =2l ，所以发生相对滑动前木块b 的静摩擦力大， B 错误；随着角速度的增大，当静摩擦力等
于最大静摩擦力，木块将开始滑动，即kmg =mω2r
，ω=
，带入两个木块的半径，小木块a 开始滑动时的角速度大于木块b 开始滑动时的角速度。

A 、C
正确；又
ω=
<
所以木块 a 未达到临界状态，摩擦力还没有达到最大静摩擦力，所以选项D 错误。

4．【答案】B
【解析】地球自转周期变小，卫星要与地球
保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，
由2
224πMm G mr r T
=
可得
T =
则卫星离地球的高度应变小，要实
现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出右图。

由几何关系得，卫星的轨道半径为
2sin30R
r R =
=︒
①
由开普勒第三定律33
122212
r r T T =，代入题中数据，
得
33
222
(6.6)24R r T = ②
由①②解得24T h ≈ 5. 【答案】⑴
2Bqa m （2
）E B +【解析】(1)带电粒子以速率v 在匀强磁场B 中做匀速圆周运动，半径为R ，有
2
v qvB m R
= ①
卫星
当粒子沿y 轴正向入射，转过半个圆周至A 点，该圆周的半径为R 1，有
12
a
R =
②
由②代入①式得
12Bqa
v m
=
③ ⑵如图。

O 、A 两点处于同一圆周上，且圆心在x=a/2的直线上，半径为R 。

当确定一个初速率v 时，有2个入射
角，分别在第1、2象限， 有
sin sin 2a
R
θθ'==
④
由①④解得sin 2aqB
mv
θ= ⑤
⑶粒子在运动过程中仅有电场力做功，因此在轨道的最高点处速率最大，用y m 表示其y 坐标，由动能定理，有
22
m 01122
m qEy mv mv =
- ⑥ 由题意，有 v m =ky m ⑦
若E =0时，粒子以初速度v 0沿y 轴正向入射，有
20
00
v qv B m R =
⑧
v 0=kR 0 ⑨
由⑥⑦⑧⑨
式解得m E v B
=。