中考数学阅读理解型问题

阅读理解型问题

一、中考专题诠释

阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.

二、解题策略与解法精讲

解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.

考点一： 阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题

例1 （2013•六盘水）阅读材料：

关于三角函数还有如下的公式：

sin （α±β）=sinαcosβ±cosasinβ；

tan （α±β）=tan tan 1tan tan αβαβ

±m 。 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值． 例：tan15°=tan （45°-30°）=tan 45-tan 301tan 45tan 30︒︒

+︒︒g =

3

1(33)(33)1263363(33)(33)13-

---==+-+=2-3 根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题

（1）计算：sin15°；

（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A 距离7米的C 处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC 为 1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据3=1.732， 2=1.414）

1．分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；

（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．

探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．

②

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∵AE=BF，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∴OE=OB，

∴△AOE和△AOB是友好三角形．

（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，

∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=1

2

AD=3，

∵△AOB与△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE．

∵△AOE≌△FOB，

∴S△AOE=S△FOB，

∴S△AOD=S△ABF，

∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2×1

2

×4×3=12．

探究：

解：分为两种情况：①如图1，

∵S △ACD =S △BCD ．

∴AD=BD=12

AB ， ∵沿CD 折叠A 和A′重合， ∴AD=A′D=12AB=12

×4=2， ∵△A′CD 与△ABC 重合部分的面积等于△ABC 面积的

14， ∴S △DOC =14S △ABC =12S △BDC =12S △ADC =12

S △A′DC ， ∴DO=OB ，A′O=CO ，

∴四边形A′DCB 是平行四边形，

∴BC=A′D=2，

过B 作BM ⊥AC 于M ，

∵AB=4，∠BAC=30°，

∴BM=12

AB=2=BC ， 即C 和M 重合，

∴∠ACB=90°，

由勾股定理得：AC=2242 =23，

∴△ABC 的面积是

12×BC×AC=12

×2×23=23； ②如图2，

售价（元/部） 4300 3000

该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后可获毛利润共2.1万元． （毛利润=（售价-进价）×销售量）

（1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？

（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．

2．解：（1）设商场计划购进甲种手机x 部，乙种手机y 部，由题意，得

0.40.2515.50.030.05 2.1

x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：2030

x y =⎧⎨=⎩，

答：商场计划购进甲种手机20部，乙种手机30部；

（2）设甲种手机减少a 部，则乙种手机增加2a 部，由题意，得

0.4（20-a ）+0.25（30+2a ）≤16，

解得：a≤5．

设全部销售后获得的毛利润为W 元，由题意，得

W=0.03（20-a ）+0.05（30+2a ）

=0.07a+2.1

∵k=0.07＞0，

∴W 随a 的增大而增大，

∴当a=5时，W 最大=2.45．

答：当该商场购进甲种手机15部，乙种手机40部时，全部销售后获利最大．最大毛利润为2.45万元．

考点三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论

例3 （2013•连云港）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究： 问题情境：如图1，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 为DC 边的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，求证：S 四边形ABCD =S △ABF （S 表示面积）

问题迁移：如图2：在已知锐角∠AOB 内有一个定点P ．过点P 任意作一条直线MN ，分别交射线OA 、OB 于点M 、N ．小明将直线MN 绕着点P 旋转的过程中发现，△MON 的面积存在最小值，请问当直线MN 在什么位置时，△MON 的面积最小，并说明理由．