高中数学：均值不等式的应用

高中数学：均值不等式的应用
均值不等式是高中数学中非常重要的基本定理，应用十分广泛。

一、求最值
例1. 已知，则有（）
A. 最大值
B. 最小值
C. 最大值1
D. 最小值1
解析：因为
所以，当且仅当时等号成立，故选D。

小结：运用均值不等式是求解函数最值的方法之一，解题的关键是将分式拆成满足均值定理条件的式子，应特别注意不等式成立的条件。

二、求取值范围
例2. 如图1，P是抛物线C：上一点，直线l过点P，且与抛物线C交于另一点Q，若直线l不过原点，且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求
的取值范围。

图1
解：设直线，依题意k≠0，b≠0，则T（0，b），又设P（x1，y1）、Q（y2，y2）
由P、Q、T三点共线，得
即
则
即，
于是。

分别过P、Q作PP”⊥x轴，QQ”⊥x轴，垂足分别为P”、Q”，
则
∵，
∴的取值范围是（2，）
小结：本题的解题关键是根据题设条件将化简，运用均值定理求出最值，进而求出其取值范围。

三、比较大小
例3. 已知函数（a＞0，且a≠1，），若，判断的大小，并加以证明。

分析：由于，联想到利用基本不等式可知两对数的真数的大小，再由对数函数的单调性，可知大小
解：由已知得
，
（当且仅当时取“＝”号）。

当。

即有，（当且仅当时取“＝”号）；
当。

即有
（当且仅当时，取“＝”号）。

四、解实际应用题
例4. 某单位用木料制作如图2所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m2，问x，y分别为多少（精确到0.001m）时，用料最省？
图2
解：由题意得，即。

于是，框架用料长度为。

当
时等号成立，此时，
，故当x为2.343m，y为2.828m 时，用料最省。

小结：本题是应用问题考查的一道起步试题，解题的关键是先建立数学模型，得到相应的解析式后，再利用均值不等式去求函数的最小值。

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