工程制图___第五章_立体表面交线的投影

⑴ 空间及投影分析
①
确定截交线的形状
2
☆ 明确回转体的形状 ☆ 分析截平面与回转体轴线的相对位置
②
明确截交线的投影特性(积聚性、类似性等)
☆ 关键在分析截平面与投影面的相对位置
⑵ 画截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为： ☆ 先取特殊点，后取中间点。 ☆ 顺次光滑地连接各点，并判断可见性。
7”
5’6’ 3’4’ 1’
7’8’
2’
4”
6”
8”
2”
（4）补全侧面转向轮廓线。
1”
4
Ⅱ
6
8
Ⅳ
2
1
7
Ⅲ
正垂线
3 5 平面与圆锥相交
Ⅰ
正平线
例2 圆锥被正垂面截切， 求截交线，并完成三视图。
截交线的空间形状?
截交线的投影特性？
如何找椭圆另 一根轴的端点？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的投影
45°
什么情况下投 影为圆呢? 截平面与轴线 成45°夹角时
●
● ● ● ● ● ● ●
●
●
★找特殊点 ★补充中间点
★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
● ●
㈡ 圆锥体的截切
平面与圆锥相交所产生的截交线形状， 取决于平面与圆锥轴线的位置。
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
平面与圆锥相交
例1 如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截 交线的另外两个投影。
5
4
3 2 1
平面与圆锥相交
例5 已知立体的正面投影，试完成H、W两面 投影
1’ (2)’ (8)’ (4)’ 3’ 2” 4” 3” 1”
(12)’
7’ 11’
5’ (6)’
12” 6” 8”
5” 7”
11”
9’ (10)’
10”
9”
10 8 12
6 4
11 7 9
3 5
㈢ 球体的截切
平面与圆球相交，截交线的形状都是 圆，但根据截平面与投影面的相对位置 不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆 或积聚成一条直线。
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析: 截交线的正面投影为双曲线.
作图: 1 、求特殊点。 最高点 最低点 2 、求一般点。
3 、连线。
例4:圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。
具体步骤如下： （1）先求特殊点。
3’ 2’ 1’ 5” 4” (4’) (5’) 3” 2” 1”
（2）再求一般点。 （3）依次光滑连接各点。
平面与球相交
例1、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。 具体步骤如下： （1）先求特殊点。 （2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
2’
5’ 1’ 6’ 3’ (4’) 2
（3）依次连接各点的水平投影。
4
6 1 5 3 4 2 1 3
平面与球相交
例2：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的 水平面截圆球的截交线 截交线的投影，在侧视 的投影，在俯视图上为 图上为部分圆弧，在俯 部分圆弧，在侧视图上 视图上积聚为直线。 积聚为直线。
P
P
P
垂直 圆
倾斜 椭圆
平行 两平行直线
例1如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另 外两个投影。
4’ 3’ 2’ 1’ 8 1 2 4 3 平面与圆柱相交 7 6 5
Ⅷ
Ⅶ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
5’
6”
5”
(7)’
7”
8”
由于平面与圆柱的轴线 具体步骤如下： 斜交，因此截交线为一椭圆。 4” （ 1 4 ）再作出适当数量 ）补全侧面投影中 截交线的正面投影重影为一 （2 3）先作出截交线上的 ）将这些点的投影 3” 直线，水平投影与圆柱面的 的一般点。 特殊点。 的转向轮廓线。 依次光滑的连接起来。 投影重影为圆。侧面投影可 2” 1” 根据圆柱表面取点的方法求 出。
一、 相贯线的性质
相贯线一般为光滑封闭的 空间曲线，它是两回转体表面 的共有线。
二、作图方法
表面取点法 利用投影的积聚性直接找点。
用辅助平面法。 一般是根据立体或给出的投影，分析两回转面的 形状、大小极其轴线的相对位置，判断相贯线的形 状特点和各投影的特点，从而选择适当的方法作图。
三、作图过程
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截 切位置。 平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平 面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每 条边是截平面与棱面的交线。 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。 求截交线的实质是求两平面的交线
先找特殊点。 补充中间点。
确定交线 的范围
确定交线的 弯曲趋势
四.面上取点法 ⒈交线分析
⑴ 空间分析：相交两立体的表面形状， 形体大 小及相对位置，预见交线的形状。 ⑵ 投影分析：是否有积聚性投影？找出相贯线 的已知投影，预见未知投影，选择解题方法。
⒉作图
⑴ 找点 ☆ 找特殊点 ☆ 补中间点 最上点、最下点、最左点、 最右点、最前点、最后点、 轮廓线上的点等。
5.整理并擦除多余的线, 完成作图.
例4
补画被挖切后立体的投影 。
分 析： 该立体是在圆柱筒的 上部开出一个方槽后形成 的 。构成方槽的平面为垂 直于轴线的水平P和两个 平行于轴线的侧平面Q 。 它们与圆柱体和孔的表面 都有交线，平面P与圆柱 的交线为圆弧，平面Q与 圆柱的交线为直线，平面 Ｐ和Q彼此相交于直线段。
例3
求圆球被截切后的水平投影和侧面投影
轮廓线怎样处理?
分析:球面被侧平面 截切，侧面投影为圆 ；球面被水平面截切 ，水平面投影为圆。
轮廓线要不 要?
分析:球面被侧平面 截切，侧面投影为圆 ；球面被水平面截切 ，水平面投影为圆。
(四) 复合回转体的截切
例：求作顶尖的俯视图
● ●
●
●●
●●
●
● ●
第二节
截交线
回转体的截切
截平面
一、回转体截切的基本形式
截平面
截交线
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。 截交线都是封闭的平面图形。 (特殊情况为平面折线)
如何求截交线？
二、平面与回转体的截交线
3 4 1
1’ a’
1
s 2
3
(3) 连接各点的同面投 影即等截交线的三个投 影。 (4) 补全棱线的投影。
平面与三棱锥相交
例2求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4) 3 1 2 4
● ●
1
●
2
●
3
4 3
●
●
●
1
截平面与立体的几个棱面相交? ★ 交线的形状？ 投影分析 截交线与投影面的位置关系 ? ★ 求截交线
截交线的求法
(1) 积聚性法：利用有积聚性的投影求截交线；
(适合圆柱)
方法： (2) 素线法：利用立体表面的素线求截交线；
( 适合圆锥)
(3) 辅助平面法：利用所作的辅助平面求截交线。
(适合圆锥、圆球)
㈠ 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与 圆柱轴线的相对位置
PV PV PV
作图方法:
1 求棱线与截平面 的共有点
2 连线 3 根据可见性处理轮廓线
6‫׳‬
5
3 1
7 2 6 4
例5：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
●
1
●
2 1
三面共点：
注意： Ⅰ、Ⅱ两点分别同 要逐个截平面分析和绘制 时位于三个面上。
截交线。当平面体只有局部被 截切时，先假想为整体被截切， 求出截交线后再取局部。
二、平面立体截交线的画图
4
⒈ 求截交线的两种方法：
棱线法:求各棱线与截平面的交点 棱面法:求各棱面与截平面的交线
5 6
3 2 1
⒉ 求截交线的步骤：
１）空间及投影分析
截平面与立体的相对位置
确定截交 线的形状
截平面与投影面的相对位置
２）画出截交线的投影
确定截交线 的投影特性
3. 截交线的形状
截交线的形 怎样确定截交线 的投影形状？ 状是怎样的？
●
●
●
●
● ●
●
● ● ● ● ● ●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯 ◆ 一内表面和一外表面相贯
● ● ● ●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
小 结： 无轮是两外表面相贯， 还是一内表面和一外表面 相贯，或者两内表面相贯， 求相贯线的方法和思路是 一样的。
平面与圆柱相交
作图步骤如下： （1）先作出完整基本形体的三面投影图。 （2）然后作出槽口三面投影图。 ( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
例5
求左视图
截交线的空间形状是怎样的?
截交线的已知投影呢？ 截交线的侧面投影 是什么形状？
椭圆的长、短轴随 截平面与圆柱轴线 夹角的变而改变。
⒊ 当单体被多个截平面截切时，要逐个截 平面进行截交线的分析与作图。当只有 局部被截切时，先按整体被截切求出截 交线，然后再取局部。 ⒋ 求复合回转体的截交线，应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系，然后分别求出这些基本 回转体的截交线，并依次将其连接。
第三节
回转体与回转体相贯
Ⅵ Ⅴ
Ⅳ
例2 求左视图
同一立体被多 个平面截切，要逐 个截平面进行截交 线的分析和作图。
●
解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★利用积聚性求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
●
●
●
例3补画出立体的左视图
1.作圆柱的左视图 2.作左切面上的投影 3.作下部通槽的投影 4.判别可见性
第五章 立体的表面交线
第一节 平面立体的截切
截切：
用平面与立体相交，截去立体的一部分。
截平面 :用以截切物体的平面。 截交线 :截平面与物体表面的交线。 截断面 :因截平面的截切，在物体上形成的平面。
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
一、平面截切的基本形式
截断面
截交线
截平面
截交线与截断面
截交线的性质：
●
2
★ 分析棱线的投影
★ 检查 类似性
例3求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
4´ 3´ 4″ 3″ 5″≡6″ 1´ 2´≡5 ´ 2″ 1″
6´
6 4 3 1
5
2
例4求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影
‫ ׳‬2‫׳‬ (1) ‫׳‬ (3) ‫׳‬ (5) 7‫׳‬ 4ห้องสมุดไป่ตู้׳‬ 3‫״‬ 5‫״‬ 7‫״‬ 1‫״‬ 2‫״‬ 4‫״‬ 6‫״‬
此种截交线为一椭圆。 由于圆锥前后对称，故椭圆 也前后对称。椭圆的长轴为 截平面与圆锥前后对称面的 交线——正平线，椭圆的短 轴是垂直与长轴的正垂线。
Ⅱ Ⅳ Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线 平面与圆柱相交
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。 （3）依次光滑连接各点，即得 截交线的水平投影和侧面投影。 5” 3”
● ● ● ●
●
1. 分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系. 2. 分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。
●
小 结
一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是截平 面与棱面的交线。
求截交线的方法：棱线法 棱面法 二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。
●
●
完成后的三视图：
当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势：
交线总向大圆 柱的轴线弯曲
交线为两条平面 曲线（椭圆）
例2
补全主视图
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯 ◆ 一内表面和一外表 面相贯
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
45
说明： 外轮廓与内轮廓的相 贯线用简化画法画出
完成后的三视图：
例3补全主视图
三、解题方法与步骤
⒈ 空间及投影分析 ⑴ 分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状。 ⑵ 分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置，以确定截交线的投影特性。 ⒉ 求截交线 当截交线的投影为非圆曲线时，要先 找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接 各点。 注意分析平面体的棱线和回转体轮廓 素线的投影。
（1）分析截平面与立体的相对位置以确 定截交线形状。 截交线多边形的边数=截平面截到的棱面数 （2）分析截平面与投影面的相对位置以确 定截交线的投影形状。
例1求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交 线的水平投影和侧面投影。
s’ 3’ 2’ Pv 3” s” 2” 1” b’ c’ c” a” b” 具体步骤如下： (1) 求Pv与s’a’、s’b’、 s’c’的交点1’、2’、3’为 截平面与各棱线的交点 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。 (2) 根据线上取点的方 法，求出1、2、3和1”、 2”、3”。
⑵ 连线 ⑶ 检查、加深 尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。
例1
●
圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
☆ 找特殊点
● ● ● ●
●
●
☆ 补充中间点
☆ 光滑连接
空间及投影分析： 小圆柱轴线垂直于H面，水平 投影积聚为圆，根据相贯线的共 求相贯线的投影： 有性，相贯线的水平投影即为该 利用积聚性，采用表 圆。大圆柱轴线垂直于 W面，侧 面取点法。 面投影积聚为圆，相贯线的侧面 投影在该圆上。