转化与化归的数学思想[公开课类]

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一、转化与化归思想的含义
化归指的是转化与归结．简单的化归思想就是 把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想．即把数学中 待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等 思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个 或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问 题的这种解决问题的思想，称为化归思想．化归思想是解 决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过 程．数学中的转化比比皆是，比如将未知向已知转化；复 杂问题向简单问题转化；命题间的转化；数与形的转化； 空间向平面的转化；高次向低次的转化；多元向少元的转 化；无限向有限的转化等都是化归思想的体现．
2 y2 1 (x 2)2
则a的值为
A．-2
B．-4
C．-8
D．不能确定
动手就是希望！
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3. 正面与反面的转化
在处理某一问题时，按习惯思维从正面思考比较困难，这时 用逆向思维的方式从反面去考虑，往往使问题变得比较简单。
例3．若二次函数f (x) 4x2 2( p 2)x 2 p2 p 1在区
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• 题目改成什么样的时候又不能用上述方法 呢？
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• 若不等式x2＋px>4x＋p－3对一切 0≤x≤4均成立，试求实数p的取值范围.
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练7习、多元向少元转化
已知(x 2)2 2y2 1,则2y2 3x的最大值是_____．
解析 （x 2)2 2 y2 1,
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决
复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的
和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维
规律；
（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；
y
A. a B 2 a C 2a D 4a 3
分析：令PQ特殊化，使其垂直于y轴，易求得
FQ P
ox
PF FQ 1 ．得 1 1 ＝４a ．答案选 D
2a
pq
直线位置的特殊化， 使问题变得非常容易.体现出
了特殊化的强大威力！类似还有特殊值、特殊数列、特
殊函数、特殊图形等!
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• 还有其它特殊位置吗？
间1，1内至少有一个值c,使f (c) 0,求实数p的取值范围。
解：如果在[-1，1]内没有值满足f(c) >0
则
f(-1) ≤0 f(1) ≤0
y
正难则反
p≤-1/2或p≥1 ∴
p≤-3或p≥3/2
-1
1
x
∴p≤-3或p≥3/2
取补集为-3<p<3/2,即为满足优条质课件堂的p的取值范围。
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4．运动与静止的转化 运动是绝对的，静止是相对的。数学中特别是在解析几何
中运动变化很明显的普遍存在着，只有有效的相对静止，才 能把握这种运动变化。
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• 解：设双曲线的两个焦点分别是
F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正 好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三 点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值 最大，此时
|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）
转化与化归的数学思想
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转化与化归
重点：1、转化与化归的含义 2、转化与化归遵循的原则 3、转化与化归目标的确定
难点：如何正确运用转化与化归思想方法解题
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引言： 数学思想方法是数学知识的精华， 它产生并作用于数学学习过程中， 对于学习知识，发现和解决问题起指导 作用。( ) 高考试题往往对条件或结论进行伪装
＝10－1＝9
故选D 。
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5．数与形的转化 数形结合就是根据问题的条件和结论内在联系分析其代数 含义，揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐的结 合起来。华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形
结合百般好，隔裂分家万事非”。
（1）、几何问题代数化 立体几何中用向量法求角求距离等 （ 2 ）代数问题几何化
则要使它对0≤p≤4均有g(p)>0，只要有
gg
(0) (4)
0 0
∴x>3或x<－1.
［点评］在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要 地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题 时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在 某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元 在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.本题中，若视x为主元来 处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一 次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行.
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2.具体与抽象的转化. 把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径,它是对 抽象问题的理解和再认识,在抽象语言与具体事物间建立联系, 从而实现抽象向具体的化归.
设函数 f (x) ax2 bx c(a 0) 的定义域为D，若
所有点 (s, f (t))(s,t D) 构成一个正方形区域，
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→3x-4y+1=0
(x 2)2 ( y 5)2 1
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6.主与次的转化
例6.若不等式x2＋px>4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试
求实数x的取值范围.
［解析］ ∵x2＋px>4x＋p－3 ∴(x－1)p＋x2－4x＋3>0
令g(p)=(x－1)p＋x2－4x＋3，
（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的
反面去探求，使问题获解。
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二、化归思想的解题途径
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1、一般与特殊的转化
例1 过抛物线y ax2 (a 0)的焦点F作一直线与抛物线交
于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q,则 1 1 pq
的值为（ ）
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化归思维模式：问题→新问题→解决新问题 →解决原问题.
化归的五原则：(1)熟悉化原则; (2)简单化原则; (3)和谐化原则; (4)直观化原则; (5)正难则反原则
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3．化归与转化应遵循的基本原则：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经
验和问题来解决；