212(2)指数函数及其性质

水寨中学高一数学自主探究学案

内容：指数函数及其性质 课时：1 模块：必修1 编号：2.1.2(2) 一、学习目标

1. 熟悉指数函数图象,熟记指数函数的性质;

2. 体会底数a 对指数函数的图象变化趋势的影响;

3. 运用指数函数的单调性比较函数值的大小. 学习重点：指数函数的性质及应用.

学习难点：用数形结合的方法，灵活应用指数函数的性质进行解题. 二、 自主学习

1.直线(0)x a a =>与指数函数3,2,x

x

y y ==11(),()

x x

y y ==图象的交点依次

2.复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作

()()y f g x =.如函数1

32

2++=x x

y 是由13,22++==x x u y u 复合而成，其中u

y 2=叫外函

数，132

++=x x u 叫内函数。 3.复合函数单调性问题

已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间),(b a 上是减函数，其值域为),(d c ，又函数)(u f y =在区间),(d c 上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间),(b a 上是增函数.

证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21

因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =,

)(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且

因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即

))(())((21x g f x g f <，

故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. （2）复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

)(u f y = 增 ↗

减 ↘

)(x g u = 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ ))((x g f y =

增 ↗

减 ↘

减 ↘

增 ↗

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ 确定函数的定义域；

ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。 ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；

ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。 三、合作探究

１．如图，曲线4321,,,C C C C 分别是指函数x

x

x

x

d y c y b y a y ====和,,的图象，则

d c b a ,,,和1之间的大小关系是（ )

A.d c b a <<<<1

B. c d b a <<<<1

C.d c a b <<<<1

D. c d a b <<<<1

２．下列关系中正确的是（ ）

A 、221

333111

()()()252

<<

B 、122

333111()()()225

<<

C 、212333111()()()522<<

D 、221

33

3111()()()522

<<

四、交流展示

例１求下列函数的定义域和值域

（１）2

2)2

1(x x y -=

（２）9

1312--x

（３）)1,0(1≠>-=a a a y x

（４）()5f x =.

例２已知函数2

27

3x x y -+=，求：（1）函数的值域；（2）函数的单调区间.

例3 如果57(0,1)x

x a a a a -+>>≠且，求x 的取值范围。

五、达标检测

１．设31212,x x

y a y a +-==，其中0,1a a >≠，确定x 为何值时有：

（1）12y y = （2）12y y >

２．求函数12

4325(02)x x y x -=-⋅+≤<的值域。