杭州市名校2022届八年级第二学期期末经典数学试题含解析

杭州市名校2022届八年级第二学期期末经典数学试题
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．点()5,3M 在第( )象限．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．一次函数y ＝－2x －1的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是AD 的中点，△BCD 的周长为18，则△DEO 的周长是（ ）
A ．18
B ．10
C ．9
D ．8
4．如果a <b ,则下列式子错误的是（ ）
A ．a +2<b +2
B ．a -3<b -3
C ．-5a <-5b
D ．4a <4
b 5．已知关于x 的方程mx 2+2x ﹣1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ）
A ．m≥﹣1
B ．m≤1
C ．m≥﹣1且m≠0
D ．m≤1且m≠0
6．小刚以400 m/min 的速度匀速骑车5 min ，在原地休息了6 min ，然后以500 m/min 的速度骑回出 发地，小刚与出发地的距离s(km)关于时间t(min)的函数图象是
A ．
B ．
C ．
D ．
7．下列x 的值中，是不等式x+1＞5的解的是( )
A ．﹣2
B ．0
C ．4
D ．6
8．如图，直线y 1＝kx 和直线y 2＝ax+b 相交于点（1，2）．则不等式组ax+b ＞kx ＞0的解集为（ ）
A ．x ＜0
B ．0＜x ＜1
C ．x ＜1
D ．x ＜0或x ＞1 9．若关于x 的一元二次方程（x －a ）2=4，有一个根为1，则a 的值是（ ）．
A ．3
B ．1
C ．－1
D ．－1或3
10．已知等腰三角形的底角为65°，则其顶角为( )
A ．50°
B ．65°
C ．115°
D ．50°或65°
二、填空题
11．若一元二次方程2540x x -+=的两个实数根分别是a 、b ，则一次函数y abx a b =++的图象一定不经过第____________象限.
12．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，CE 是ACB ∠的平分线与边AB 的交点，则BE 的长为______．
13．如图，已知∠EAD=30°，△ADE 绕点A 旋转50°后能与△ABC 重合，则∠BAE=_________°.
14．在平面直角坐标系中，先将函数y=2x+3的图象向下平移3个单位长度，再沿y 轴翻折，所得函数对应的解析式为_____．
15-2x 3-x ,则x 的取值范围是____.
16．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 45°”时第一步先假设所求证的结论不成立，即问题表述为______． 17．化简3x x -＋33x
-的结果是________． 三、解答题
1823x -+x ＝1．
19．（6分）已知y －2和x 成正比例，且当x ＝1时，当y ＝4。

（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）若点P （3，m ）在这个函数图象上，求m 的值。

20．（6分）阅读可以增进人们的知识也能陶治人们的情操。

我们要多阅读，多阅读有营养的书。

因此我校对学生的课外阅读时间进行了抽样调查，将收集的数据分成A 、B 、C 、D 、E 五组进行整理，整理后的数据如下表（表中信息不完整）。

图1和图2是根据整理后的数据绘制的两幅不完整的统计图.
阅读时间分组统计表
组别
阅读时间x （h ） 人数 A
010x < a B
1020x < 100 C
2030x < b D
3040x < 140 E 40x
c
请结合以上信息解答下列问题
（1）求a ，b ，c 的值；
（2）补全图1所对应的统计图；
（3）估计全校课外阅读时间在20h 以下（不含20h ）的学生所占百分比.
21．（6分）化简并求值：2x+221x 111
x x x --÷+--，其中x=﹣1． 22．（8分）如图所示，在菱形ABCD 中，AC 是对角线，CD ＝CE ，连接DE ．
（1）若AC ＝16，CD ＝10，求DE 的长．
（2）G 是BC 上一点，若GC ＝GF ＝CH 且CH ⊥GF ，垂足为P ，求证：DH ＝CF ．
23．（8分）如图，四边形OABC为矩形，点B坐标为（4，2），A，C分别在x轴，y轴上，点F在第一象
限内，OF的长度不变，且反比例函数
k
y
x
经过点F.
（1）如图1，当F在直线y = x上时，函数图象过点B，求线段OF的长.
（2）如图2，若OF从（1）中位置绕点O逆时针旋转，反比例函数图象与BC，AB相交，交点分别为D，E，连结OD，DE，OE.
①求证：CD=2AE.
②若AE+CD=DE，求k.
③设点F的坐标为（a，b），当△ODE为等腰三角形时，求（a+b）2的值.
24．（10分）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，那么四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：
①如图1，垂美四边形ABCD 两组对边AB 、CD 与BC 、AD 之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
②如图3，在Rt △ABC 中，点F 为斜边BC 的中点，分别以AB ，AC 为底边，在Rt ABC ∆外部作等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE ，连接FD ，FE ，分别交AB ，AC 于点M ，N ．试猜想四边形FMAN 的形状，并说明理由；
（3）问题解决：
如图4，分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接CE 、BG ，GE ，已知AC=2，AB=1．求GE 的长度．
25．（10分）某市某水果批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种水果．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该水果，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由．
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．A
【解析】
【分析】
根据平面直角坐标系中点的坐标特征判断即可.
【详解】
∵5>0,3>0,
∴点()5,3M 在第一象限．
故选A.
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征.第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特
征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0.
2．D
【解析】
∵-2<0,-1<0,
∴图像经过二、三、四象限，
故选D.
3．C
【解析】
【分析】
首先判断OE 是△ACD 的中位线，再由O,E 分别为AC ，AD 的中点,得出，DE=12AD=12BC ，DO=12
BD ，AO=CO ，再由△BCD 的周长为18，可得OE+OD+ED=9，这样即可求出△DEO 的周长．
【详解】
解：∵E 为AD 中点，四边形ABCD 是平行四边形，
∴DE=12AD=12BC ，DO=12
BD ，AO=CO ， ∴OE=
12CD ， ∵△BCD 的周长为18，
∴BD+DC+BC=18，
∴△DEO 的周长是DE+OE+DO=
12（BC+DC+BD ）=12×18=9， 故选：C ．
【点睛】
考核知识点：本题考查了平行四边形的性质及三角形的中位线定理，解答本题注意掌握中位线的性质及平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质．
4．C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，逐项判断即可．
【详解】
解：A.
a b <，22a b ∴+<+，∴选项A 结论正确，不符合题意； B.
a b <，33a b -<-∴，∴选项B 结论正确，不符合题意；
C.
a b <，55a b ∴->-，∴选项C 结论错误，符合题意； D.a b <，∴44
a b <，∴选项D 结论正确，不符合题意． 故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
5．A
【解析】
【分析】
分为两种情况，方程为一元一次方程和方程为一元二次方程，分别求出即可解答
【详解】
解：当m ＝0时，方程为2x ﹣1＝0，此方程的解是x ＝0.5，
当m≠0时，当△＝22﹣4m×（﹣1）≥0时，方程有实数根，解得：m≥﹣1，
所以当m≥﹣1时，方程有实数根，
故选A ．
【点睛】
此题考查了一元一次方程和为一元二次方程的解，解题关键在于分情况求方程的解
6．C
【解析】
【分析】根据题意分析在各个时间段小刚离出发点的距离，结合图象可得出结论.
【详解】由已知可得，前5min 小刚与出发地相距2千米，后6min 距离不变，之后距离逐渐减少.故选项C 符合实际情况.
故选：C
【点睛】本题考核知识点：函数的图形. 解题关键点：结合实际分析函数图像.
7．D
【解析】
【分析】
根据不等式解集的定义即可得出结论．
【详解】
∵不等式x+1＞5的解集是所有大于4的数，
∴6是不等式的解．
故选D ．
【点睛】
本题考查的是不等式的解集，熟知使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解是解答此题的关键． 8．B
【解析】
【分析】 在轴的上方，直线和直线的图象上方部分对应的自变量的取值范围即为不等式的解集．
【详解】 解：在轴的上方，直线
和直线的图象上方部分对应的自变量的取值范围即为不等式的解集，
观察图象可知：不等式的解集为：
， 故选：．
【点睛】
本题考查一次函数与一元一次不等式，两直线相交或平行问题等知识，解题的关键是学会利用图象法解决自变量的取值范围问题，属于中考常考题型．
9．D
【解析】
试题分析：由题意把1=x 代入方程4)(2
=-a x ，即可得到关于a 的方程，再解出即可.
由题意得4)1(2=-a ，解得=a －1或3，故选D. 考点：方程的根的定义，解一元二次方程
点评：解题的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值. 10．A
【解析】
【分析】
等腰三角形的一个底角是65°，则另一个底角也是65°，据此用三角形内角和减去两个底角的度数，就是顶角的度数．
【详解】
解：180°-65°-65°=50°，
∴它的顶角是50°．
故选：A ．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的灵活应用．
二、填空题
11．四
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系可得出a＋b＝1、ab＝4，再结合一次函数图象与系数的关系，即可得出一次函数y ＝abx＋a＋b的图象经过的象限，此题得解．
【详解】
解：∵一元二次方程2540
x x
-+=的两个实数根分别是a、b，
∴a＋b＝1，ab＝4，
∴一次函数的解析式为y＝4x＋1．
∵4＞0，1＞0，
∴一次函数y＝abx＋a＋b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故答案为：四.
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系，利用根与系数的关系结合一次函数图象与系数的关系，找出一次函数图象经过的象限是解题的关键．
12．
4
3
【解析】
分析：作EH AC
⊥于.
H由ECH≌ECB，推出BE EH
=，4
BC CH
==，1
AH=，设
BE EH x
==，则3
AE x
=-，在Rt AEH中，根据222
AE AH EH
=+，构建方程求出x即可；
详解：作EH AC
⊥于H．
四边形ABCD是矩形，
90
B
∴∠=，
225
AC AB BC
∴=+=，
在ECH和ECB中，
90
EHC B
ECH ECB
EC EC
⎧∠=∠=
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
ECH
∴≌ECB，
BE EH ∴=，4BC CH ==，1AH =，设BE EH x ==，则3AE x =-，
在Rt AEH 中，222AE AH EH =+，
222(3)1x x ∴-=+，
43
x ∴=， 43
BE ∴=， 故答案为:43
. 点睛：本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
13．20
【解析】
【分析】
利用旋转的性质得出∠DAB=50°，进而得出∠BAE 的度数.
【详解】
解：∵∠EAD=30°，△ADE 绕着点A 旋转50°后能与△ABC 重合，
∴∠DAB=50°，
则∠BAE=∠DAB-∠DAE=50°-30°=20°.
故答案为：20.
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质，得出旋转角∠DAB 的度数是解题关键.
14．y=-2x ．
【解析】
【分析】
利用平移规律得出平移后的关系式，再利用关于y 轴对称的性质得出答案。

【详解】
将函数y=2x+3的图象向下平移3个单位长度，所得的函数是y=2x+3-3，即y=2x
将该函数的图象沿y 轴翻折后所得的函数关系式y=2（-x ），即y=-2x ，
故答案为y=-2x ．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出平移后的函数关系式是解题的关键。

15．2≤x ≤3
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可.
【详解】
根据题意得;
2030x x -≥⎧⎨-≥⎩
解得：2≤x≤3 故答案为：2≤x≤3
【点睛】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数要大于等于0是关键.
16．假设在直角三角形中，两个锐角都大于45°.
【解析】
【分析】
反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得出答案.
【详解】
∵反证法的第一步是假设命题的结论不成立，∴用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 45°”时第一步即为，假设在直角三角形中，两个锐角都大于45°.
【点睛】
此题主要考查了反证法的知识，解此题的关键是掌握反证法的意义和步骤. 反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）由矛盾说明假设错误，从而证明原命题正确.
17．1
【解析】
【分析】
找到公分母x-3,再利用同分母相加减法则即可求解.
【详解】
x x 3-＋33x -=x x 3--3x 3-=x 3x 3
--=1 【点睛】
本题考查了分式的化简,属于简单题,找到公分母是解题关键.
三、解答题
18．x=2
【解析】
【详解】
解：3x +=.
3x =-,
两边平方()2233x x -=-,
整理得 28120x x -+=,
解得：12x =，26x =.
经检验：12x =是原方程的解，26x =是原方程的增根，舍去,
∴原方程的解是2x =.
19．（1）y ＝2x ＋2；（2）m=8
【解析】
【分析】
（1）设y-2=kx ，把已知条件代入可求得k ，则可求得其函数关系式，可知其函数类型；
（2）把点的坐标代入可得到关于m 的方程，可求得m 的值．
【详解】
（1）设y －2＝kx ，
把x ＝1，y ＝4代入求得k ＝2，
∴函数解析式是y ＝2x ＋2；
（2）∵点P （3，m ）在这个函数图象上，
∴m ＝2×3＋2＝8.
【点睛】
本题主要考查待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法的应用步骤是解题的关键．
20． (1)a=20,b=200,c=40;(2)详见解析;(3) 估计全校课外阅读时间在20h 以下的学生所占百分比为24%．
【解析】
【分析】
（1）根据D 组的人数及占比可求出调查的总人数，再根据C ，E 组的占比求出对应的人数，再用总人数减去各组人数即可求出a ．
（2）根据所求的数值即可补全统计图；
（3）根据题意可知在20h 以下（不含20h ）的学生所占百分比为
20100100%500
+⨯，故可求解． 【详解】
解：（1）由题意可知，调查的总人数为14028%500÷=，
∴50040%200b =⨯=，5008%40c =⨯=，
则5001002001404020a =-+++=（）；
（2）补全图形如下：
（3）由（1）可知20100100%24%500+⨯=， 答：估计全校课外阅读时间在20h 以下的学生所占百分比为24%．
【点睛】
此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出调查的总人数．
21．2.
【解析】
试题分析：先将
2x+221x 111
x x x --÷+--进行化简，再将x 的值代入即可; 试题解析：
原式=﹣•（x ﹣1）==， 当x=﹣1时，原式=﹣2．
22．（1）2
（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)连接BD 交AC 于K.想办法求出DK ，EK ，利用勾股定理即可解决问题;
(2)证明：过H 作HQ ⊥CD 于Q,过G 作GJ ⊥CD 于J.想办法证明∠CDH=∠HGJ=45°,可得DH=
QH 解决问题. 【详解】 （1）解：连接BD 交AC 于K ．
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，AK ＝CK ＝8，
在Rt △AKD 中，DK ＝
＝6， ∵CD ＝CE ，
∴EK ＝CE ﹣CK ＝10﹣8＝2，
在Rt △DKE 中，DE ＝＝2． （2）证明：过H 作HQ ⊥CD 于Q ，过G 作GJ ⊥CD 于J ．
∵CH ⊥GF ，
∴∠GJF＝∠CQH＝∠GPC＝90°，
∴∠QCH＝∠JGF，
∵CH＝GF，
∴△CQH≌△GJF（AAS），
∴QH＝CJ，
∵GC＝GF，
∴∠QCH＝∠JGF＝∠CGJ，CJ＝FJ＝CF，
∵GC＝CH，
∴∠CHG＝∠CGH，
∴∠CDH+∠QCH＝∠HGJ+∠CGJ，
∴∠CDH＝∠HGJ，
∵∠GJF＝∠CQH＝∠GPC＝90°，
∴∠CDH＝∠HGJ＝45°，
∴DH＝QH，
∴DH＝2QH＝CF．
【点睛】
本题考查菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定（AAS）和性质，解题的关键是掌握菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定（AAS）和性质.
23．（1）OF =4；（2）①证明见解析；② k=6510；③2121.
【解析】
【分析】
【详解】
分析（1）由y=k
x
经过点B (2,4).，求出k的值，再利用F在直线y = x，求出m的值，最后利用勾股定理
求解即可;(2) ①利用反比例函数k的几何意义可求解; ②Rt△EBD中，分别用n表示出BD、BE、DE，再利用勾股定理解答即可; ③分三种情况讨论即可：OE=OD；
OE=DE ；OD=DE. 详解：（1）∵F 在直线y=x 上
∴设F （m ，m ）
作FM ⊥x 轴 ∴FM=OM=m
∵y=k x
经过点B (2,4). ∴k=8
∴
∴
∴22216OF FM OM =+=
∴OF =4；
（2）①∵函数k y x
= 的图象经过点D ，E ∴OC CD OA AE k ⋅=⋅=，∵ OC=2，OA=4
∴CO=2AE
②由①得：CD=2AE
∴可设：CD=2n ，AE=n
∴DE=CD+AE=3n BD=4-2n ， BE=2-n
在Rt △EBD ，由勾股定理得：222DE BD BE =+
∴()()22
29422n n n =-+- 解得355n -= 46510k n ∴==
③CD=2c ，AE=c
情况一：若OD=DE
∴()()22
244422c c c +=-+-
∴10c =-
∴440k c ==-
()2
22216296a b a b ab k ∴+=++=+=-
情况二：若OE=DE ()()22216422c c c +=-+-
∴52
c -=
410k c ∴==-
∴()2
22216236a b a b ab k +=++=+=- 情况三：OE=OD 不存在.
点睛：本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的解析式求点的坐标，利用勾股定理得到方程，进而求出线段的长，注意解题时分类讨论的思想应用.
24．（1）四边形ABCD 是垂美四边形，证明见解析 （2）①2222AD BC AB CD +=+，证明见解析；
②四边形FMAN 是矩形，证明见解析 （3
【解析】
【分析】
（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）①根据垂直的定义和勾股定理解答即可；②根据在Rt △ABC 中，点F 为斜边BC 的中点，可得AF CF BF ==，再根据△ABD 和△ACE 是等腰三角形，可得AD DB AE CE ==，，再由（1）可得，,DF AB EF AC ⊥⊥，从而判定四边形FMAN 是矩形；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．
【详解】
（1）四边形ABCD 是垂美四边形
连接AC 、BD
∵AB AD =
∴点A 在线段BD 的垂直平分线上
∵CB CD =
∴点C 在线段BD 的垂直平分线上
∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线
∴AC BD ⊥
∴四边形ABCD 是垂美四边形；
（2）①2222AD BC AB CD +=+，理由如下
如图，已知四边形ABCD 中，AC BD ⊥，垂足为E
AC BD
90AED AEB BEC CED ︒∴∠=∠=∠=∠=
由勾股定理得
222222AD BC AE DE BE CE +=+++
222222AB CD AE BE CE DE +=+++
2222AD BC AB CD ∴+=+
②四边形FMAN 是矩形，理由如下
如图，连接AF
∵在Rt △ABC 中，点F 为斜边BC 的中点
AF CF BF ∴==
∵△ABD 和△ACE 是等腰三角形
,AD DB AE CE ∴==
由（1）可得，,
DF AB EF AC ⊥⊥
∵90
BAC︒
∠=
90
AMF MAN ANF︒
∴∠=∠=∠=
∴四边形FMAN是矩形；
（3）连接CG、BE，
90
CAG BAE︒
∠=∠=
CAG BAC BAE BAC
∴∠+∠=∠+∠，即GAB CAE
∠=∠
在△AGB和△ACE中
AG AC
GAB CAE
AB AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
()
AGB ACE SAS
∴≅
ABG AEC
∴∠=∠
∵90
AEC AME︒
∠+∠=
90
ABG AME︒
∴∠+∠=，即CE BG
⊥
∴四边形CGEB是垂美四边形
由（2）得2222
CG BE CB GE
+=+
2,5
AC AB
==
21,22,52
BC CG BE
∴===
222237
GE CG BE CB
∴=+-=
37
GE
∴=．
【点睛】
本题考查了垂美四边形的问题，掌握垂直平分线的判定定理、垂直的定义、勾股定理、垂美四边形的性质、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
25．（1）平均每次下调的百分率是20%；（2）超市采购员选择方案一购买更优惠．
【解析】
【分析】
()1设出平均每次下调的百分率，根据从10元下调到6.4列出一元二次方程求解即可； ()2根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．
【详解】
解： ()1设平均每次下调的百分率为x ．
由题意，得2
10(1) 6.4x -=．
解这个方程，得10.2x =，2 1.8(x =不符合题意)，
符合题目要求的是10.220%x ==．
答：平均每次下调的百分率是20%． ()2超市采购员方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：6.40.8200010240(⨯⨯=元)，
方案二所需费用为：6.42000200010800(⨯-=元)．
1024010800<，
∴超市采购员选择方案一购买更优惠．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出第2次下调后价格是解题关键．。