2020年高考数学导数中分类讨论思想的应用及分类

导数中分类讨论思想的应用及分类导数之所以难是因为加入了参数使得确定的函数变的不确定，因此对参数进行讨论进而确定出函数的单调区间、极值、最值、趋势图像是高考中每年必考的内容，分类讨论思想在任何专题中都可能出现，很多老师反复提醒要做到不重不漏，可是要做到不重不漏的前提是在做题之前就应该知道该题目分类讨论的依据是什么，今天我们重点来看看如何把握导数中常见的分类讨论依据。

如果没有参数，我们队复杂函数求最值的程序是：那么既然设置参数了，导函数也必定含有参数，则分类讨论就出现了，因为导函数含有参数，那么对导函数求根的时候有没有根？有几个根？如果有两个根，则两根大小如何确定？如果题目的参数设置不是在函数上而是在定义域上，则函数是能够准确作出趋势图像的，但是定义域有参数就意味着可以左右移动，在移动的过程中单调区间和最值都会发生变化。

因此在导数中分类讨论题目主要分成这两大类，第一：参数在函数上，第二：参数在定义域上，若函数和定义域都有参数，如果是相同的参数还好说，如果是不同的参数，题目就麻烦了。

根据高考出题形式，今天主要讨论参数在函数上的类型，在复杂函数形式设置上有两种常见的方向，一种是导函数可以转化为二次函数或者类二次函数的形式，另一种是非二次函数的形式，可能里面涉及了三角函数，指数对数等。

题型一：导函数是二次函数或者类二次函数形式的既然是二次函数的形式，那么必须考虑二次函数参数的设置，若参数在二次项的系数上则若系数为零，则导函数就可以转化为一次函数的形式，若不是零，则继续按照二次函数形式求根；若参数在一次项的系数上，则二次函数开口确定，对称轴不确定；若参数在常数项上，则开口和对称轴都是确定的，但是∆不确定，因此二次函数是否有根也不确定，故二次函数形式的导函数讨论流程如下：①如若二次函数或高次函数的最高次系数存在参数，则需对参数是否为零进行讨论，但是有一类除外，即如果二次函数各项符号均相同（同正同负）时则可以直接判定，例'221y ax a =++，可直接判断出当0a ≥时，'0y >，再例'221y ax a =---，则可直接判断出当0a ≥时，'0y <，此时不需要对参数是否为零进行讨论，除此之外均需对参数是否为零进行讨论；②若二次函数最高次不为零时，则需对二次函数的判别式进行讨论，讨论的目的是判断导函数是否有根，从而确定原函数极值点的个数；③若二次函数能解出两根，但是两根有一个存在参数或两根都存在参数，则需分别讨论两根的大小关系；④若原函数有限定的定义域，则还需要讨论极值点和定义域端点的位置关系。

例1.已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++，讨论函数()f x 的单调性。

解析：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2'21()ax a f x x ++= 当0a ≥时，'()0f x >，故函数()f x 在定义域内单调递增。

当1a ≤-时，'()0f x <，此时()f x 在定义域内单调递减。

当10a -<<时，令'()0f x =，解得x =当x ∈时，'()0f x >；当)x ∈+∞时，'()0f x <故()f x 在x ∈单调递增，在)x ∈+∞单调递减。

注意题目中为什么没有对最高次的参数是否为零进行单独讨论？因为分子部分符号相同，很容易判断a 非负状态下的单调性，切记，切记。

例2.已知函数2()ln f x x x a x =-+，讨论()f x 在定义域上的单调性。

解析：2'2()(0)x x a f x x x -+=>，18a ∆=- 当180a ∆=-≤时，18a ≥，'()0f x ≥恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当180a ∆=->时，18a <，此时121144x x +-==若120x x >>，即108a <<时，()f x 在单调递减，在)+∞上单调递增120x x >>，即0a <时，()f x 在1(0,4+上单调递减，在)+∞上单调递增。

综上，略例3.已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >讨论函数()f x 的单调性。

解析：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2'1(1)[(1)]()x ax a x x a f x x x-+----== 令'()0f x =，则121,1x x a ==-（此时需要判断两根的大小关系，且勿忽略相等的时候）当11a -=，即2a =时，'()0f x ≥，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增；当11a ->，即2a >时，此时()f x 在(0,1),(1,)a -+∞上单调递增，在(1,1)a -上单调递减；当11a -<，即12a <<时，此时()f x 在(0,1)(1,)a -+∞上单调递增，在(1,1)a -上单调递减。

综上，略例4．求函数321()13f x x ax =-+在区间[0,2]上的最值。

解析：'2()2(2)0f x x ax x x a =-=-=，120,2x x a ==当0a ≤时，()f x 在[0,2]上单调递增，此时min max 11()(0)1,()(2)43f x f f x f a ====- 当01a <<时，()f x 在(0,2)a 上单调递减，在(2,2)a 上单调递增，min 11()(2),(0)1,(2)43f x f a f f a ===- ①若11143a >-，即23a >时，max ()(0)1f x f == ②若11143a =-，即23a =时，max ()(0)(2)1f x f f ===③若11143a <-，即23a <时，max 11()(2)43f x f a ==- 当1a ≥时，()f x 在[0,2]上单调递减，min 11()(2)43f x f a ==-，max ()(0)1f x f ==例5.已知函数21()()ln 2f x a x x =-+，若在区间(1,)+∞上，函数的图像恒在直线2y ax =的下方，求实数a 的取值范围。

解析：在区间(1,)+∞上，函数的图像恒在直线2y ax =的下方等价于()2f x ax <在区间(1,)+∞上恒成立，即21()ln 202a x x ax -+-<，由于不能分离参数，因此采用整体法，设21g()()ln 22x a x x ax =-+-，2'(21)21(1)[(21)1]g ()a x ax x a x x x x--+---==，接下来求g()x 的最大值，需要对参数进行分类讨论。

当210a -=，即12a =时，'1g ()0x x x-=<在(1,)+∞上恒成立，max g()(1)1x g <=-，此时符合题意。

当1121a =-时，即1a =，'g ()0x >，此时不符合题意 当1121a >-时，即112a <<，此时g()x 在1(1,)21a -单调递减，在1(,)21a +∞-单调递增，不符合题意 当1121a <-时，即1a >或12a <当1a >时，此时g()x 在(1,)+∞单调递增，不符合题意 当12a <时，此时g()x 在(1,)+∞单调递减，max 1g()(1)2x g a <=--，若符合题意则102a --≤，解得1122a -≤< 综上所述，1122a -≤< 题型二：导函数不是二次函数和类二次函数形式能因式分解的先分解，之后求根，注意所求的根在所给出的定义域有没有意义，如果两个根中有一个或两个含有参数，则需要对比两根的大小关系，最后如果原函数有定义域，还需判断极值点和定义域端点处的位置关系。

例6.已知函数2()2cos ,g()(cos sin 22)x f x x x x e x x x =+=-+-，令()g()()h x x af x =-，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值。

解析：2()(cos sin 22)(2cos )x h x e x x x a x x =-+--+，'()()(22sinx)x h x e a x =--需要注意y x =和sin y x =的图像关系如下：根据图像可知当0x ≥时，sin x x ≥；当0x <时，sin x x <（1） 当0a ≤时，0x e a ->，令'()0h x =则=0x ；令'()0,0h x x ≥>；令'()0,0h x x <<，所以函数()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，函数存在极小值(0)12h a =--（2） 当0a >时，令'()0h x =，则0x =或ln x a =，接下来需要讨论ln a 和0的大小关系。

当ln 0a =，即1a =时，'()0h x ≥，()h x 单调递增，无极值点；当ln 0a >，即1a >时，()h x 在(,0),(ln ,)a -∞+∞上单调递增，在(0,ln )a 单调递减，此时函数有极大值(0)21h a =--，有极小值2(ln )[ln 2ln sin(ln )cos(ln )2]h a a a a a a =--+++当ln 0a <，即01a <<时，()h x 在(,ln ),(0,)a -∞+∞单调递增，在(ln ,0)a 单调递减，此时函数有极大值2(ln )[ln 2ln sin(ln )cos(ln )2]h a a a a a a =--+++，有极小值(0)21h a =--综上，略f(x)=sin(x)f(x)=xx=，上题中导函数必须分解因式，否则根本求不出根，分解之后能看出一个根是0a>，则整个导函数有两个根，若但是另外一个式子能否有根取决于a的正负，若0a≤，则导函数有一个根，若有两个根还需要判断两个根的大小关系。