相干信号毕设
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i i
这里s0 t 可以称为生成信源，因为它生成了入射到阵列上的n
个相干信号源。可得相干信号源的数学模型：
1 2 . X t A s0 t N t A s0 t N t . . N
相干信号DOA估计的研究与仿真
专业班级： 04级通信二班 姓 名： 雷福亮 指导教师： 李森
1.1 阵列信号处理
阵列信号处理理论应用十分广泛，涉及到雷达、声纳、通信、
射电天文以及医Leabharlann Baidu诊断等多种领域，是信号处理领域中的一 个重要部分。 阵列信号处理的目的是进行空域滤波，通过滤除不希望的干 扰和噪声，同时增强期望信号的功率来达到提高系统输出信 噪比的目的。所以阵列信号处理中关键的技术之一是波束形 成技术。而对于阵列信号处理中另一个关键技术是对波达方 向的估计算法研究。 相干信号源的存在，造成信号子空间的向量散发到噪声子空 间去，导致DOA估计错误。为了解决相干信源的DOA估计问题， 人们提出了很多算法，这些算法一般可分为两类:一类是降 维类处理算法，主要有空间平滑类算法和矩阵重构类算法等。 另一类算法是非降维类处理算法，包括频域平滑算法等。
b
取前向平滑和后向平滑数据协方差矩阵的平均，即前后向空
间平滑的数据矩阵，即 （3-14） 同样可以证明，当满足m>N, p>N时，后向空间平滑数据协方 差矩阵是满秩的。
fb
Rb R f R 2
3.5 计算机仿真实验
我们采用阵元数等于12,阵元间距为
d
信号的来波方向分别为 (－40，－15，30，60) ,它们全相 干，对应的衰落因子幅度为(0.3981，1，0.7079，0.1)，信 噪比均为SNR＝25dB，仿真结果如下:
（3-3）
式中， 是由一系列复常数组成的N×1维矢量。
3.2 基于解相干的MUSIC算法
由相干信号源的数学模型可以知道，当信号源完全相干时，
阵列接收的数据协方差矩阵的秩降为1，显然这就会导致信 号子空间的维数小于信号源数。也就是说信号子空间“扩散” 到了噪声子空间，这导致某些相干源的导向矢量与噪声子空 间不完全正交，从而无法正确估计信号源方向。 由上面的分析可知：在相干信号源情况下正确估计信号方向 （即解相干或称为去相关）的核心问题是如何通过一系列处理 或变换使得信号协方差矩阵的秩得到有效恢复，从而正确估计 信号源的方向。目前关于解相干的处理基本有两大类：一类是 降维处理；另一类是非降维处理。
Rk Am D
j 2 d sin 1 e 0 D ... 0
k 1
(3-5) (3-6)
Rs Am D
0 ...
k 1
H
2I
e
j
2 d
sin 2
... 0
... 0 ... ... 2 d j sin N ... e 0
对于上面的数据模型，输入协方差矩阵 Ruu可以表示为：
Ruu E uu H AE ss H AH E nn H
Ruu ARss AH n 2 I
H
式中，Rss 是信号相关矩阵 E ss
（2-3） （2-4） 。R 的特征值为 0 ,..., M 1 ， uu （2-5）
b p k 1 f k * * m k 1 * * k
X kb t xM k 1 , xM k ,..., xM m k 2
*
0 ... 1 0 J ... ... ... ... 1 0 0 0 m n
J为m维的交换矩阵。所以后向平滑第p-k+1个子阵的数据协
方差矩阵为：
* Rb k 1 JAM D p k 1
Rs* D
k 1
H
H Am J 2 I *
（3-12）
（3-13）
那么后向空间平滑修正的数据矩阵为：
1 p b R R p k 1 p k 1
（3-7）
前向空间平滑技术是通过求各个子阵协方差矩阵的均值来实
现的，即取前向平滑修正的协方差矩阵为： 1 R R (3-8) P 可以证明，当满足m>N, p>N时，前向空间平滑数据协方差矩 阵是满秩的。即可以通过特征分解求得相应的信号子空间和 噪声子空间。
p f k 1 k
3.4 前后向空间平滑算法
3.3 前向空间平滑算法
将M个阵元的均匀线阵，分成相互交错的P个子阵，每个子阵
包含的阵元数为m个，即满足M＝p+m-1。信号源数为N。
图3-1 前向空间算法原理图 如图3-1所示，取第一个子阵(最左边的子阵)为参考子阵， 那么各个子阵的输出矢量分别为： X 1f x1 , x2 ,..., xm f X 2 x2 , x3 ,..., xm 1 (3-4) ...
（3-9）
那么，第k个子阵的数据矢量为：
（3-10） 比较前向平滑和后向平滑的数据矢量，可以得到前向平滑中 第k个子阵与后向平滑中第p-k+1个子阵之间存在如下关系： X t J X t JA D s t Jn t （3-11） 其中： 0 0 ... 1
其中：
0.30472 - 0.2562i 0.039821 - 0.99921i 0.42868 + 0.5634i 0.24118 - 0.070186i
X pf x p , x p 1 ,..., xM
对于第k个子阵有： k 1 X kf t xk , xk 1 ,..., xk m1 Am D s t nk t 那么该子阵的数据协方差矩阵为： 其中：
的那些特征值对应的特征向量最接近正交的导引向量，可以 估计与接收信号相关的导引向量。 分析表明，协方差矩阵的特征向量属于两个正交子空间之一， 称为主特征子空间(信号子空间)和非主特征子空间（噪声子 空间）。相应于波达方向的导引向量位于信号子空间，因而 与噪声子空间正交。通过在所有可能的阵列导引向量中搜寻 那些与非主特征向量张成的空间垂直的向量，就可以确定 DOA到达角 。 为寻找噪声子空间，我们构造一个包含噪声特征向量的矩阵: Vn qD qD 1...qM 1 （2-14） 因为相应于信号分量的导引向量与噪声子空间特征向量正交， a ( )V V a(。于是多个入 )0 即对于 为多径分量的DOA时， 射信号的DOA可通过确定MUSIC空间谱的峰值而作出估计，这 些峰值由 1 P ( ) （2-15） a ( )V V a( )
（2-8） （2-9） （2-10） （2-11）
ｉ 关于特征值 i 的特征向量为 ｑ，满足
Ruu i I ｑ 0 ｉ
对于与M-D个最小特征值相关的特征向量，我们有
R
uu
2 2 2 n I qi ARss AH qi n I n I 0
ARss AH qi 0
因为A满秩， Rss 非奇异，故有
（2-12） 这表明与M-D个最小特征值相关的特征向量，和构成A的D个 导引向量正交 。 a(0 ),..., a(D1 ) qD ,..., qM 1 （2-13）
AH qi 0
2 这是MUSIC方法的基本结果。通过寻找与 Ruu 中近似等于 n
使得
Ruu i I 0
2 ARss A H n 2 I i I ARss A H i n I 0
利用式(3-4)，我们可以把它改写为
（2-6）
因此 ARss A 的特征值 vi 为 2 vi i n
H
(2-7) 因此A是由线性独立的导引向量构成的，因此是列满秩的， 信号相关矩阵 Rss 也是非奇异的，只要入射信号不是高度相 关的。 列满秩的A和非奇异的 Rss 可以保证，在入射信号数D小于阵 元数M时，M×M的矩阵 AR A 是半正定的，且秩为D。
2.1 DOA估计的算法研究 基于阵列的波达方向(DOA)估计方法可分为四大类:传统法 (conventional technique)、子空间法(subspace based technique)、最大似然法(maximum likelihood technique)以 及将特性恢复法和子空间法结合起来的综合法(integrated technique)。本论文讨论的算法主要基于传统的MUSIC或 ESPRIT算法来实现信号的DOA估计。传统法基于经典波束 形成方法，需要大量的阵元才能获得高分辨率。子空间法利 用输入数据矩阵的特征结构，是高分辨率的次最优方法。最 大似然法是比较合适方案，即使在信噪比很低的环境下也能 获得良好的性能，但计算量通常很大。综合法是CDMA一种 很有希望的方法，利用特性恢复方案区分多个信号，估计空 间特征，进而采用子空间法确定波达方向。
H ss
由线性代数的基本知识可知，这意味着
uu
ARss A H 的特征值 v 中， i
有M-D个为零。由式(3-7)可知， R 的特征值中有M-D个等于 噪声方差 。然后我们寻找 R 的特征值，使 0 是最大特征 值， M 1是最小特征值，因此
2 n
uu
2 0 ,..., M 1 ｎ
a( ) s (t ) n(t )
i i
（2-1）
s0 (t ) . . n(t ) As(t ) n(t ) u (t ) a(0 )a(1 )…a(D－1 ) . sD 1 (t )
（2-2）
如果按照图3-2划分阵列，即称为后向平滑的方法划分子阵，
那么各个子阵的输出矢量为:
图3-2 后向空间平滑算法原理图
X 1b xM , xM 1 ,..., xM m 1 b X 2 xM 1 , xM 2 ,..., xM m ... X b xm , xm 1 ,..., x1 p
E si t E sk t
2 2
（3-1）
由Schwartz不等式可知， ik 1 ，因此，信号之间的相关性定义 如下: 1.当 ik 0 时， si t和 sk t 独立 s 2.当 0 ik 1 时， t 和 sk t 相关 s 3.当 ik 1 时， t 和 sk t 相干 由上面的定义可知，当信号源相干时其数学表达式为:相干信号 源间只相差一个复常数，假设有N个相干信源，即 （3-2） i 1, 2,..., N si t i s0 t
2.2MUSIC算法 （多重信号分类法）
MUSIC算法是以几何观点考察信号参数估计的问题。根据窄
带数据模型，如果在D个信号入射到阵列上，则M元阵列接收 到的输入数据向量可以表示为D个入射波形与噪声的线性组 合。
Φ
1 2
„„ N-1
D 1 i 0
„„„ N M-1 M
u (t )
H H n n
MUSIC H H n n
3.1
相干信号源数学模型
当考虑多个信号时，这些信号之间的关系共有三种可能:不 sk 相关(即独立)、相关、相干。对于两个平稳信号 si t ， t ,定
义它们的相关系为：
ik
* E si t sk t
这里s0 t 可以称为生成信源，因为它生成了入射到阵列上的n
个相干信号源。可得相干信号源的数学模型：
1 2 . X t A s0 t N t A s0 t N t . . N
相干信号DOA估计的研究与仿真
专业班级： 04级通信二班 姓 名： 雷福亮 指导教师： 李森
1.1 阵列信号处理
阵列信号处理理论应用十分广泛，涉及到雷达、声纳、通信、
射电天文以及医Leabharlann Baidu诊断等多种领域，是信号处理领域中的一 个重要部分。 阵列信号处理的目的是进行空域滤波，通过滤除不希望的干 扰和噪声，同时增强期望信号的功率来达到提高系统输出信 噪比的目的。所以阵列信号处理中关键的技术之一是波束形 成技术。而对于阵列信号处理中另一个关键技术是对波达方 向的估计算法研究。 相干信号源的存在，造成信号子空间的向量散发到噪声子空 间去，导致DOA估计错误。为了解决相干信源的DOA估计问题， 人们提出了很多算法，这些算法一般可分为两类:一类是降 维类处理算法，主要有空间平滑类算法和矩阵重构类算法等。 另一类算法是非降维类处理算法，包括频域平滑算法等。
b
取前向平滑和后向平滑数据协方差矩阵的平均，即前后向空
间平滑的数据矩阵，即 （3-14） 同样可以证明，当满足m>N, p>N时，后向空间平滑数据协方 差矩阵是满秩的。
fb
Rb R f R 2
3.5 计算机仿真实验
我们采用阵元数等于12,阵元间距为
d
信号的来波方向分别为 (－40，－15，30，60) ,它们全相 干，对应的衰落因子幅度为(0.3981，1，0.7079，0.1)，信 噪比均为SNR＝25dB，仿真结果如下:
（3-3）
式中， 是由一系列复常数组成的N×1维矢量。
3.2 基于解相干的MUSIC算法
由相干信号源的数学模型可以知道，当信号源完全相干时，
阵列接收的数据协方差矩阵的秩降为1，显然这就会导致信 号子空间的维数小于信号源数。也就是说信号子空间“扩散” 到了噪声子空间，这导致某些相干源的导向矢量与噪声子空 间不完全正交，从而无法正确估计信号源方向。 由上面的分析可知：在相干信号源情况下正确估计信号方向 （即解相干或称为去相关）的核心问题是如何通过一系列处理 或变换使得信号协方差矩阵的秩得到有效恢复，从而正确估计 信号源的方向。目前关于解相干的处理基本有两大类：一类是 降维处理；另一类是非降维处理。
Rk Am D
j 2 d sin 1 e 0 D ... 0
k 1
(3-5) (3-6)
Rs Am D
0 ...
k 1
H
2I
e
j
2 d
sin 2
... 0
... 0 ... ... 2 d j sin N ... e 0
对于上面的数据模型，输入协方差矩阵 Ruu可以表示为：
Ruu E uu H AE ss H AH E nn H
Ruu ARss AH n 2 I
H
式中，Rss 是信号相关矩阵 E ss
（2-3） （2-4） 。R 的特征值为 0 ,..., M 1 ， uu （2-5）
b p k 1 f k * * m k 1 * * k
X kb t xM k 1 , xM k ,..., xM m k 2
*
0 ... 1 0 J ... ... ... ... 1 0 0 0 m n
J为m维的交换矩阵。所以后向平滑第p-k+1个子阵的数据协
方差矩阵为：
* Rb k 1 JAM D p k 1
Rs* D
k 1
H
H Am J 2 I *
（3-12）
（3-13）
那么后向空间平滑修正的数据矩阵为：
1 p b R R p k 1 p k 1
（3-7）
前向空间平滑技术是通过求各个子阵协方差矩阵的均值来实
现的，即取前向平滑修正的协方差矩阵为： 1 R R (3-8) P 可以证明，当满足m>N, p>N时，前向空间平滑数据协方差矩 阵是满秩的。即可以通过特征分解求得相应的信号子空间和 噪声子空间。
p f k 1 k
3.4 前后向空间平滑算法
3.3 前向空间平滑算法
将M个阵元的均匀线阵，分成相互交错的P个子阵，每个子阵
包含的阵元数为m个，即满足M＝p+m-1。信号源数为N。
图3-1 前向空间算法原理图 如图3-1所示，取第一个子阵(最左边的子阵)为参考子阵， 那么各个子阵的输出矢量分别为： X 1f x1 , x2 ,..., xm f X 2 x2 , x3 ,..., xm 1 (3-4) ...
（3-9）
那么，第k个子阵的数据矢量为：
（3-10） 比较前向平滑和后向平滑的数据矢量，可以得到前向平滑中 第k个子阵与后向平滑中第p-k+1个子阵之间存在如下关系： X t J X t JA D s t Jn t （3-11） 其中： 0 0 ... 1
其中：
0.30472 - 0.2562i 0.039821 - 0.99921i 0.42868 + 0.5634i 0.24118 - 0.070186i
X pf x p , x p 1 ,..., xM
对于第k个子阵有： k 1 X kf t xk , xk 1 ,..., xk m1 Am D s t nk t 那么该子阵的数据协方差矩阵为： 其中：
的那些特征值对应的特征向量最接近正交的导引向量，可以 估计与接收信号相关的导引向量。 分析表明，协方差矩阵的特征向量属于两个正交子空间之一， 称为主特征子空间(信号子空间)和非主特征子空间（噪声子 空间）。相应于波达方向的导引向量位于信号子空间，因而 与噪声子空间正交。通过在所有可能的阵列导引向量中搜寻 那些与非主特征向量张成的空间垂直的向量，就可以确定 DOA到达角 。 为寻找噪声子空间，我们构造一个包含噪声特征向量的矩阵: Vn qD qD 1...qM 1 （2-14） 因为相应于信号分量的导引向量与噪声子空间特征向量正交， a ( )V V a(。于是多个入 )0 即对于 为多径分量的DOA时， 射信号的DOA可通过确定MUSIC空间谱的峰值而作出估计，这 些峰值由 1 P ( ) （2-15） a ( )V V a( )
（2-8） （2-9） （2-10） （2-11）
ｉ 关于特征值 i 的特征向量为 ｑ，满足
Ruu i I ｑ 0 ｉ
对于与M-D个最小特征值相关的特征向量，我们有
R
uu
2 2 2 n I qi ARss AH qi n I n I 0
ARss AH qi 0
因为A满秩， Rss 非奇异，故有
（2-12） 这表明与M-D个最小特征值相关的特征向量，和构成A的D个 导引向量正交 。 a(0 ),..., a(D1 ) qD ,..., qM 1 （2-13）
AH qi 0
2 这是MUSIC方法的基本结果。通过寻找与 Ruu 中近似等于 n
使得
Ruu i I 0
2 ARss A H n 2 I i I ARss A H i n I 0
利用式(3-4)，我们可以把它改写为
（2-6）
因此 ARss A 的特征值 vi 为 2 vi i n
H
(2-7) 因此A是由线性独立的导引向量构成的，因此是列满秩的， 信号相关矩阵 Rss 也是非奇异的，只要入射信号不是高度相 关的。 列满秩的A和非奇异的 Rss 可以保证，在入射信号数D小于阵 元数M时，M×M的矩阵 AR A 是半正定的，且秩为D。
2.1 DOA估计的算法研究 基于阵列的波达方向(DOA)估计方法可分为四大类:传统法 (conventional technique)、子空间法(subspace based technique)、最大似然法(maximum likelihood technique)以 及将特性恢复法和子空间法结合起来的综合法(integrated technique)。本论文讨论的算法主要基于传统的MUSIC或 ESPRIT算法来实现信号的DOA估计。传统法基于经典波束 形成方法，需要大量的阵元才能获得高分辨率。子空间法利 用输入数据矩阵的特征结构，是高分辨率的次最优方法。最 大似然法是比较合适方案，即使在信噪比很低的环境下也能 获得良好的性能，但计算量通常很大。综合法是CDMA一种 很有希望的方法，利用特性恢复方案区分多个信号，估计空 间特征，进而采用子空间法确定波达方向。
H ss
由线性代数的基本知识可知，这意味着
uu
ARss A H 的特征值 v 中， i
有M-D个为零。由式(3-7)可知， R 的特征值中有M-D个等于 噪声方差 。然后我们寻找 R 的特征值，使 0 是最大特征 值， M 1是最小特征值，因此
2 n
uu
2 0 ,..., M 1 ｎ
a( ) s (t ) n(t )
i i
（2-1）
s0 (t ) . . n(t ) As(t ) n(t ) u (t ) a(0 )a(1 )…a(D－1 ) . sD 1 (t )
（2-2）
如果按照图3-2划分阵列，即称为后向平滑的方法划分子阵，
那么各个子阵的输出矢量为:
图3-2 后向空间平滑算法原理图
X 1b xM , xM 1 ,..., xM m 1 b X 2 xM 1 , xM 2 ,..., xM m ... X b xm , xm 1 ,..., x1 p
E si t E sk t
2 2
（3-1）
由Schwartz不等式可知， ik 1 ，因此，信号之间的相关性定义 如下: 1.当 ik 0 时， si t和 sk t 独立 s 2.当 0 ik 1 时， t 和 sk t 相关 s 3.当 ik 1 时， t 和 sk t 相干 由上面的定义可知，当信号源相干时其数学表达式为:相干信号 源间只相差一个复常数，假设有N个相干信源，即 （3-2） i 1, 2,..., N si t i s0 t
2.2MUSIC算法 （多重信号分类法）
MUSIC算法是以几何观点考察信号参数估计的问题。根据窄
带数据模型，如果在D个信号入射到阵列上，则M元阵列接收 到的输入数据向量可以表示为D个入射波形与噪声的线性组 合。
Φ
1 2
„„ N-1
D 1 i 0
„„„ N M-1 M
u (t )
H H n n
MUSIC H H n n
3.1
相干信号源数学模型
当考虑多个信号时，这些信号之间的关系共有三种可能:不 sk 相关(即独立)、相关、相干。对于两个平稳信号 si t ， t ,定
义它们的相关系为：
ik
* E si t sk t