九年级数学正切和余切人教版知识精讲

初三数学正切和余切人教版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容： 正切和余切

【例题分析】

一. 填空：

19035.tan 若中，，，，则∆A BC C AC AB B ∠=︒===

分析：每一个锐角三角函数都可用两条边的比表示，那么要在已知中寻求所需的两条边，为了使解题正确，有必要先画草图，便于问题的分析。

A

3 5

C 4 B

解： ∆∆ABC Rt C AC AB 为，且，∠=︒==9035

∴=-=-=根据勾股定理，BC AB AC 2222534

∴==tan B AC BC 3

4

2903

5

.sin cot 在中，，，则Rt ABC C A A ∆∠=︒==

分析：本题类似第一题，但已知的是两边间的关系，也可以先求出第三边，再根据三角函数定义，求出某个锐角的4个三角函数值，也有必要画草图，帮助分析。

B

3k 5k

C 4k A

解： sin A BC k AB k ===3

5

35，设，

由勾股定理，得：

AC AB BC k k k =-=-=2222534()()

∴===cot A AC BC k k 434

3

334302.tan tan 已知，则锐角A A A -+==

分析：把看作未知数，便是关于的二次方程。注tan tan tan tan A A A A 34302-+=意分析二次方程的两个解是否都适合，不要多解或漏解。 解：原方程左边分解因式，化为： (tan )(tan )3130A A --=

∴=

=tan tan A A 3

3

3或 ∴∠=︒∠=︒A A 3060或

41

2

102.|cos |(tan )在中，若，则度∆A BC A B C -+-=∠=

分析：两个非负数的和为0，则这两个数必同时为0，进一步求出cosA 和tanB 的值，再进而求出∠A 与∠B 的度数，根据三角形内角和是180°，从而求出∠C 的度数。

解：由题意，1

2010-=-=cos tan A B

∴==cos tan A B 1

2

1

∠=︒∠=︒A B 6045

∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒C A B 180180604575

5. 等腰三角形的两边分别为3cm 和6cm ，则它底角的余切值是_________。

分析：借助画图形来帮助思考，首先要考虑哪个长度的边可做腰，哪条做底，由于三角形两边之和大于第三边，而3＋3＝6，所以3cm 长的边只能做底6cm 长的边做腰，如图所示。

A

B D C

解：如图，中，，∆A BC AB AC cm BC cm ===63 过作，垂足为A AD BC D ⊥

∴==D BC BD BC cm 为中点，123

2

AB cm =6

∴=-=-=AD AB BD 2222632315

2

()

∴===tan B BD AD 3

23152

15

15

二. 计算题：求下列各式的值。

133045245260.tan cot tan sin ︒+︒-︒+︒ 解：原式=⨯

+-⨯+⨯

33312123

2

=-231

说明：涉及到特殊角三角函数值的计算问题，只要把特殊角的三角函数值代入即可，但注意不要记混。

2602452565360210802222.tan cos sin sin cot tan tan ︒-︒+︒+︒-︒+︒︒

解：原式=-⨯

+︒+︒-⨯+︒︒()sin cos ()tan cot 3222252533

3

210102222 =-+-+32112

=3

说明：当所给的角是非特殊角时，要灵活运用同角三角函数关系进行化简，其中要记住两个“1”，即sin cos tan cot 2211αααα+==，。

33601

23045460245302.sin cos cot cos sin tan ︒-︒︒

︒+︒︒

解：原式=⨯

-⨯⨯⨯+⨯⨯

33212321412222332() =-

+

32

34133 =-⋅+6343

33

=--()()

63338

=

-2193

8

说明：本题要特别注意计算方面的问题，比如繁分式的化简及分母有理化。 44347434347.sin cos cot sin sin ︒︒+︒︒︒

解：原式=︒⋅︒+︒

︒

︒︒sin sin cos sin sin cos 434343434343

=︒+︒sin cos 224343 =1

说明：互余角的三角函数的关系，是互余的两个sin cos()tan cot()αααα=︒-=︒-9090角的函数互相转化的途径，所以在解题时注意观察角与角之间的相互关系，是十分重要的。

另外，利用把三角函数统一于和，便于约分化简。cot cos sin sin cos αα

α

αα=

三. 化简下列各式

1210902.tan tan ()ααα-+︒<<︒ 解：原式=-=-(tan )|tan |αα112

当时，，即4590451︒≤<︒≥︒≥αααtan tan tan ∴=-原式tan α1

当时，，即045451︒<<︒<︒<αααtan tan tan ∴=-原式1tan α

综上所述，tan tan tan ()tan ()2

21145901045αααααα-+=-︒≤<︒-︒<<︒⎧⎨

⎩

说明：化简形如的式子时，应考虑首先转化为形如的式子。m a 2