近世代数教学大纲

《近世代数》

英文名称Modern Algebra

【课程编号】【课程类别】专业必修课

【学分数】4学分【适用专业】数学与应用数学【学时数】72学时【编写日期】

一、教学目标

近世代数不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在学科中也有广泛的应用，如理论物理、计算机学科等。其研究的方法和观点，对其他学科产生了越来越大的影响。

群、环、域、模是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法，并对模的概念有所理解。

二、教学内容和学时分配

（一）第一章基本概念学时（课堂讲授10学时+课程实验2学时）主要内容：

集合：子集与真子集，并集、交集。

映射：映射的定义，以及象与逆象的概念。

代数运算：代数运算的定义及表示法，二元运算的概念。

结合律：结合律的定义。

交换律：交换律的定义。

分配律：分配律的定义。

一一映射：满射、单射、一一映射；变换、单射变换、满射变换及一一变换。

同态：同态映射、同态满射。

同构、自同构：同构映射、自同构。

等价关系与集合：关系、等价关系，分类、全体代表团、剩余类。

教学要求：1.了解群的各种定义。

2.了解环、域、理想、唯一分解环的定义。

3.掌握判别唯一分解环的方法。

重点、难点：

重点：一一映射、同态、同构、自同构、分类。

难点：建立映射关系与同构关系，等价关系与分类之间的相互转换。（二）第二章群论学时（课堂讲授20学时+课程实验5学时）主要内容：

群的定义：群的第一定义、群的第二定义，左、右单位元，左、右逆元的，群的阶，有限群和交换群的定义。

单位元、逆元、消去律：单位元的存在性和唯一性，逆元的概念，元的阶，消去律。

有限群的另一定义：有限群的另一定义。

群的同态：和一个群同态的非空集合也是一个群。在同态满射下，单位元的象也是单位元，元a的逆元的象是a的象的逆。

循环群：循环群、生成元。整数加群，剩余类加群，生成元的阶。

变换群：恒等变换，集合的若干个变换（包含恒等变换）构成的集合作成群，变换群的定义与基本定理。

置换群：置换、置换群，对称群，k-循环置换，循环置换的乘积，有限群与置换群的关系。

子群：子群的定义，子集成群的充分必要条件，有限子集成群的充分必要条件，S生成的子群。

子群的陪集：右陪集、左陪集，左、右陪集个数的关系。指数，Lagrange 定理，有限群中群的阶和元的阶的关系。

不变子群、商群：不变子群、商群。

教学要求：

1.解群的第一、第二定义。

2.握单位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定义，能熟练掌握群与阶的关系，会计算群元素的周期。

3.解有限群的定义，并理解该定义不适用无限群的原因。

4.解群同构、同态的定义，掌握和一个群同态的集合也成群的证明，掌握群同态的有关性质，并能证明在同态满射下，单位元的象也是单位元，元a的逆元的象是a的象的逆。

5.握循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点，熟练掌握剩余

类加群，并能证明任一循环群可以与整数加群或模为n的剩余类加群同构。以及与循环群同态的群的性质。

重点、难点：

重点：群的定义、变换群及其基本定理，置换群、子群。

难点：变换群、子群的陪集、商群。

（三）第三章环与域学时（课堂讲授18学时+课程实验3学时）主要内容：

加群、环的定义：加群、负元、零元，环。

交换律、单位元、零因子、整环：交换律、交换环，单位元、零因子、整环。

除环、域：除环、域，除环的乘群，四元数除环。

无零因子环的特征：没有零因子的环的性质，特征的定义，整环、除环以及域的特征的性质。

子环、环的同态：子环、子除环，子整域、子域，同态环或子环的性质，同构环的性质。

多项式环：多项式、系数，多项式环，未定元，次数，多项式的系数、无关未定元。

理想：理想子环，零理想，单位理想，主理想。

剩余类环、同态与理想：模ц的剩余类，剩余类环，在环到环的同态映射下的性质。

最大理想：最大理想。

商域：商域，商域适合的计算规则。

教学要求：

1.握加群的定义。

2.解交换环的定义，熟悉单位元、逆元和零因子的性质并能熟练运用。掌握消去律与零因子的关系。

3.解除环的定义，与能举出域的例子，除环与加群、乘群的关系，理顺环——交换环、有单位元环和无零因子环——整环、除环——域的关系。

4.悉无零因子环中的计算规则，掌握无零因子环中特征的性质

5.解子环、子除环的定义，并能写出子整环、子域的概念，熟悉子除环的子集作成子除环的条件，了解同态、同构环之间的性质，并对环、除环的中心有一定的了解。

6.解多项式成环，熟悉多项式环中的未定元、次数以及系数、无关未定元的作用。

7.解理想子环的构成，以及零理想、单位理想和主理想的构成，能判断一个环是否是理想子环，和理想子环是否为主理想子环。

重点、难点：

重点：环、域，理想。

难点：环的同态，最大理想，商域。

（四）第四章整环里的因子分解学时（课堂讲授12学时+课程实验2学时）主要内容：

素元、唯一分解：整除，单位、相伴元，平凡因子、真因子、素元，唯一分解。

唯一分解环：唯一分解环，唯一分解环的性质。公因子、最大公因子，最大公因子的存在性。

主理想环：主理想环，主理想和最大理想、分解环的关系。

欧氏环：欧氏环的定义，欧氏环和主理想环的关系。

多项式环的因子分解：本原多项式的定义及其引理。

因子分解与多项式的根：多项式的根、重根、导数；重根的判别定理。教学要求：

1.解整除，单位、相伴元和平凡因子、真因子、素元的概念，以及掌握整环中不等于零的元有真因子的充分而且必要的条件，掌握唯一分解的定义，了解整环中的元是否都有唯一分解。

2.道唯一分解环的定义和性质，以及公因子、最大公因子的概念和定理，了解互素的概念。理解判别唯一分解环的方法。

3.解主理想环的概念和引理，能证明主理想环是唯一分解环。

4.解欧氏环的定义，理解欧氏环、整数环都是主理想环与唯一分解环的证明，并能证明域一定是一个欧氏环。

5.道本原多项式的定义，理解本原多项式的性质，和本原多项式的唯一分解性，并对分解环有进一步的认识。

6.解多项式的根和性质，掌握重根和导数的定理和推论。

重点、难点：

重点：唯一分解，主理想环，多项式和多项式的根。

难点：唯一分解环，主理想、最大理想，欧氏环。