指数函数及其图像性质

第四章 4．2 第1课时
2．指数函数的图象和性质
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第四章 4．2 第1课时
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温馨提示：(1)底数 a 与 1 的大小关系决定了指数函数图象的 “升”与“降”．当 a>1 时，指数函数的图象是“上升”的；当 0<a<1 时，指数函数的图象是“下降”的．
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请做：随堂巩固验收
第四章 4．2 第1课时
4Fra Baidu bibliotek函数 y＝2ax＋3＋2(a>0，且 a≠1)的图象过定点________． [解析] 令 x＋3＝0 得 x＝－3， 此时 y＝2a0＋2＝2＋2＝4. 即函数 y＝2ax＋3＋2(a>0，且 a≠1)的图象过定点(－3,4)． [答案] (－3,4)
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2．若函数 f(x)是指数函数，且 f(2)＝9，则 f(－2)＝________， f(1)＝________.
[解析] 设 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)， ∵f(2)＝9， ∴a2＝9，a＝3，即 f(x)＝3x. ∴f(－2)＝3－2＝19，f(1)＝3.
[答案]
其中，指数函数的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)函数 y＝(a－2)2ax 是指数函数，则( )
A．a＝1 或 a＝3 B．a＝1
C．a＝3
D．a>0 且 a≠1
[思路导引] 形如“y＝ax(a>0，且 a≠1)”的函数为指数函
数．
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[解析] (1)形如“y＝ax(a>0，且 a≠1)”的函数为指数函数， 只有③符合，选 B.
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(2)定义域为 R. ∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4， ∴12x2－2x－3≤12－4＝16. 又∵12x2－2x－3>0， ∴函数 y＝12x2－2x－3 的值域为(0,16]．
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课堂归纳小结 1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符 合 y＝ax(a>0，且 a≠1)这一结构形式，即 ax 的系数是 1，指数是 x 且系数为 1. 2．指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的性质分底数 a>1,0<a<1 两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的． 3．由于指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的定义域为 R，即 x ∈R，所以函数 y＝af(x)(a>0，且 a≠1)与函数 f(x)的定义域相 同．
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[针对训练] 1．函数 f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且 a≠1)是指数函数，则 m ＝________. [解析] ∵函数 f(x)＝(m2－m＋1)ax 是指数函数， ∴m2－m＋1＝1，解得 m＝0 或 1. [答案] 0 或 1
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2．函数 y＝12x 的图象与 y＝2x 的图象有何关系？ [答案] 关于 y 轴对称
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3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝x2 是指数函数．( )
(2)指数函数的图象位于 x 轴的上方．( ) (3)函数 y＝ax－1 的图象过定点(0，－1)．( )
1．通过实例理解指数函数的概念，了解指数函数在生活中 的应用．
2．掌握指数函数图象和性质． 3．会应用指数函数的性质求函数的定义域、值域．
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1．指数函数的定义 一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1) 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R. 温馨提示：指数函数解析式的 3 个特征： (1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数． (2)自变量 x 的位置在指数上，且 x 的系数是 1. (3)ax 的系数是 1.
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[针对训练] 5．求下列函数的定义域、值域： (1)y＝3 5x－1；(2)y＝12x2－2x－3.
[解] (1)由 5x－1≥0，得 x≥15， 所以所求函数的定义域为x|x≥15. 由 5x－1≥0，得 y≥1， 所以所求函数的值域为[1，＋∞)．
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第
四
指数函数与对数函数
章
第四章 指数函数与对数函数
4．2
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指数函数
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第 1 课时
指数函数及其图象性质
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课前自主预习
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题型三 指数函数的定义域与值域 【典例 3】 求下列函数的定义域和值域： [思路导引] 利用整体换元的方法求解．
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[解] (1)要使函数式有意义，则 1－3x≥0，即 3x≤1＝30， 因为函数 y＝3x 在 R 上是增函数，所以 x≤0， 故函数 y＝ 1－3x的定义域为(－∞，0]． 因为 x≤0，所以 0<3x≤1， 所以 0≤1－3x<1， 所以 1－3x∈[0,1)， 即函数 y＝ 1－3x的值域为[0,1)．
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4．求函数 y＝af(x)(a>0，且 a≠1)的值域的方法如下： (1)换元，令 t＝f(x)，并求出函数 t＝f(x)的定义域； (2)求 t＝f(x)的值域 t∈M； (3)利用 y＝at 的单调性求 y＝at 在 t∈M 上的值域.
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(2)指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)， －1，1a，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函 数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的大致图象．
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1．观察下列从数集 A 到数集 B 的对应： ①A＝R，B＝R，f：x→y＝2x； ②A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝12x. (1)这两个对应能构成函数吗？ (2)这两个函数有什么特点？ [答案] (1)能 (2)底数为常数，指数为自变量
[答案] (1)D (2)(3,4)
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处理指数函数图象问题的 3 个策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数 图象所过的定点时，只要令指数为 0，求出对应的 y 的值，即可 得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平 移)． (3)利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称 情况，单调性决定函数图象的走势．
a－22＝1， (2)由指数函数的概念可知，a>0， a≠1，
得 a＝3.
[答案] (1)B (2)C
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判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：只需判断其解析式是否符合 y＝ax(a>0，且 a≠1) 这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只 要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．
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“y＝af(x)”型函数定义域、值域的求法 (1)定义域是使 f(x)有意义的 x 的取值范围，即函数 y＝af(x)的 定义域与 y＝f(x)的定义域相同． (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出 u＝f(x)的值域； ②利用指数函数 y＝au 的单调性求得此函数的值域．
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[解析] (1)从曲线的变化趋势，可以得到函数 f(x)为减函数， 从而有 0<a<1；从曲线位置看，是由函数 y＝ax(0<a<1)的图象向 左平移|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即 b<0.
(2)因为指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(0,1)，所 以在函数 y＝ax－3＋3 中，令 x－3＝0，得 x＝3，此时 y＝1＋3＝4， 即函数 y＝ax－3＋3 的图象过定点(3,4)．
(4)函数 y＝13x 的值域是[0，＋∞)．(
)
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
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课堂互动探究
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题型一 指数函数的概念
【典例 1】 (1)下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.
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题型二 指数函数的图象 【典例 2】 (1)函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．0<a<1，b>0
D．0<a<1，b<0
(2)函数 y＝ax－3＋3(a>0，且 a≠1)的图象过定点________．
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[针对训练] 3．函数 y＝2－|x|的大致图象是( )
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[解析] y＝2－|x|＝22－x，x，x<x≥0，0. 画出图象，可知选 C. [答案] C
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