第十章-闭环系统辨识

⎢⎣ 0
0.7 ⎤
1
+
0.9
z
−1
⎥ ⎥
1 ⎥⎦
系统无反馈作用。
假设模型结构为
⎧
⎪ ⎪
H
o
( z −1 )
=
⎡1+ ⎢⎢1 +
b1 z −1 a1 z −1
1
b2 z−1 + a2 z−1
⎤ ⎥ ⎥
⎪⎪
⎢⎣ 0
1 ⎥⎦
⎨ ⎪ ⎪⎪H
c
(
z
−1
)
=
⎡1+ ⎢⎢1 +
b3 z −1 a3 z −1
1
b4 z−1 + a4 z−1
(4)
说明当系统不存在反馈作用，或者说输出与输入之间满 足因果关系时，其前向通道的脉冲传递函数既可以表示 成式(1)，也可以表示成式(3)。式(4)表明：当时间小 于0时，没有反馈作用的系统脉冲响应等于0；
反之，如果系统输出与输入之间存在反馈作用，则系统 前向通道的传递函数就只能表示成式(1)，而不能表示 成式(3)。这说明当系统存在反馈作用时，即使时间小 于0，其脉冲响应也不会等于0。
受模型结构为 Hc (z−1) 的假设，说明系统存 在反馈作用。
由式(16)知，也可利用χ2 检验判断系统是
否存在反馈作用。取风险水平α ，由 χ2
分布表查得ra
=
χ
2 a
(Nc
− No )，如果
−21nλ
≤ ra
，则
接受模型结构为Ho (z−1) 的假设，否则接受模 型结构 Hc (z−1) 的假设。
一、闭环系统判别方法
有些闭环系统的反馈作用是明显的，可以直 截了当地做出判断。例如自校正控制系统， 要求在闭环控制条件下辨识控制对象的参 数，根据参数估值形成自校正控制律，这类 系统只能在闭环条件下工作。对于导弹和航 天器及控制工程中的大多数控制系统来说， 系统中是否存在反馈作用都是比较明显的。 但对于经济系统、社会系统和生物系统等反 馈作用隐含的系统就难以直接判断系统中是 否存在反馈作用，只有经过计算，才能做出 明确判断。
⎤ ⎥ ⎥
⎪⎩
⎢⎣ cz−1
1 ⎥⎦
取数据长度L=200，利用辨识方法获得
估计模型为 ⎧
⎡1+ 0.429z−1
⎪ ⎪
Hˆ
o
(
z
−1
)
=
⎢⎢1
+
0.610
z
−1
⎪
⎢⎣ 0
⎨ ⎪
⎡1+ 0.414z−1
⎪ ⎪
Hˆ
c
⎩
(
z
−1 )
=
⎢⎢1+ 0.590z−1 ⎢⎣ −0.014z−1
0.722z−1 ⎤
闭环系统辨识是实际上经常遇到的问题。
闭环系统辨识必须注意的两个问题
当系统的反馈作用不明显或隐含时，必 须首先判明系统是否存在反馈，如果将 存在反馈作用的系统作为开环系统进行 辨识，将存在很大的辨识误差，也可能 导致不可辨识；
如何将开环辨识方法用于闭环辨识，即 开环辨识方法附加什么样的条件才能用 于闭环辨识。例如，在前面研究最小二 乘法时，我们假定输入信号与输出测量 噪声不相关，但在闭环条件下这个假定 是不可能成立的，因为输出测量噪声通 过反馈必定与输入信号相关。
B(z) = Suy (z) / D * (z)
(8)
2 似然比检验法
当系统是否存在反馈作用无法明确判断 时，可将系统暂时描述为
⎧ ⎪⎪
z(k)
=
B( z −1 ) A( z −1 )
u(k)
+
D( z −1 ) A( z −1 )
v(k)
⎨ ⎪⎪⎩u(k
)
=
Q( z −1 ) P( z −1 )
z(k)
型结构分别为 Ho (z 和 −1) Hc (z−1)时的输出残差的
方差。 式(13)又可写为
L
L
λ
=
⎡V ⎢ ⎣V
(θˆo (θˆc
) )
⎤ ⎥ ⎦
2
=
⎡ ⎢ ⎣
σ σ
2 2
(θˆo (θˆc
) )
⎤ ⎥ ⎦
2
(13)
L
λ
=
⎡⎢1 + ⎣
Nc − No L − Nc
⎤ t⎥ ⎦
2
(14)
式中 No 和 Nc 代表模型结构分别为 和 Ho (z−1) Hc (z−1) 时的参数个数，并且
谱因子分解法判别系统是否存在反馈作用 的步骤
方法2：
(1) 根 据 输 入 输 出 数 据 {u(k)} 和
{y(k)} ， 计 算 相 应 的 离 散 谱 密 度
∑∑ Su (z)和
Suy (z)
，即 ∞
⎧⎨⎩SSuuy((zz))
= =
Ru (i)z−i
i = −∞
∞
Ruy (i)z−i
(5)
式中：Ru (i)
平稳随机序列时，不管系统是否存在 反馈，都有关系式
G(z) = Suy (z)Su−1(z)
(1)
G(z)为系统前向通道的脉冲传递函数。
1
如果系统的输出与输入之间不存在反馈 作用，或者说系统的输出是输入信号激 励的结果，两者之间存在因果关系，则 数据的离散谱密度一定可分解成
⎧ ⎨ ⎩
Su Suy
( (
1
+
0.913z
−1
⎥ ⎥
1 ⎥⎦
0.723z−1 ⎤
1
+
0.913z
−1
⎥ ⎥
1 ⎥⎦
然后求得 σ 2(θˆo ) = ， 0.541 σ 2(θˆc ) = 0.544 ，已知L=200， No =4，Nc =5，选取 α =0.05，查F分布表
z) z)
= =
D B
( (
z) z)
D D
* *
( (
z) z)
(2)
式中：D(z)是Su (z)的稳定可逆谱因子； D*(z)是D(z)的共轭形式。
系统前向通道的脉冲传递函数又可表 示为
G+ (z) = ⎡⎣Suy
式中： G+ (z) 因果截断；
(
∑ 是 的 ∑ z)(D*(z ∞ gi z−i
根据这一原理，可制定出利用谱因子分解法判别系统是 否存在反馈作用的步骤。
谱因子分解法判别系统是否存在反馈作用 的步骤
方法1： （ 1 ） 根 据 输 入 输 出 数 据 {u(k)} 和 {y(k)}，求得频率特性估计 Gˆ ( jω) ； （2）利用傅立叶反变换，求相应的脉冲 响应估计 gˆ (t)； (3)若 gˆ (t) = 0 或 ≈ 0 ，∀t < 0 ，则系 统不存在反馈；反之，系统存在反馈作 用。
例：已知系统模型
⎧ ⎪ ⎨
z(k
)
=
1
0.7 z −1 + 0.9z−1
u(k
)
+
1 1
+ +
0.4 0.6
z z
−1 −1
v(k
)
⎪⎩
u(k) = ω(k)
式中v(k) ~ N (0,1) ，ω(k) ~ N (0,0.25) ，且为互不相关
的白噪声。
显然，
⎡1+ 0.4z−1 H (z−1) = ⎢⎢1+ 0.6z−1
t
=
σ
2
(θˆ0 σ
)
2
−σ 2 (θˆc )
(θˆc
)
•
L − Nc Nc − No
~
F(L − Nc, Nc
− No)
(15)
当L充分大时，有
−2 ln λ ~ χ 2 (Nc − No )
(16)
3
（3）利用估计模型Hˆ o(z−1) 和 Hˆ c(z−1) 计算相应 的输出残差，并求出残差的方差
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡v(k) ⎤ ⎢⎣ω (k ) ⎥⎦
=ˆ
⎡ ⎢ ⎣
H11 ( z H 21 ( z
−1 ) −1 )
H12 H 22
( (
z −1 z −1
) )
⎤ ⎥ ⎦
⎡v(k) ⎤ ⎢⎣ω (k ) ⎥⎦
来自百度文库
=ˆ
H
( z −1 )
⎡v(k) ⎤ ⎢⎣ω (k )⎥⎦
如果系统存在反馈作用，则
H 21 ( z −1 )
i=0
))−1
⎤⎦
+
D( z −1 )
∞
G(z) =
i = −∞
gi
z
−i
(3)
表示系统前向通道的 gi
脉冲响应函数。 这样
G(z) = G+ (z)
(4)
G(z) = Suy (z)Su−1(z)
(1)
G+ (z) = ⎡⎣Suy (z)(D *(z))−1 ⎤⎦+ D(z−1)
(3)
G(z) = G+ (z)
+
P(z) Q(z)
(7)
式中多项式函数 P(z) 和 Q(z) 的系数可利用
Hankel 矩 阵 法 ， 通 过 比 较 式 (6) 和 式 (7)z 的同次幂系数来确定。
2
⎧ ⎨ ⎩
Su Suy
( (
z) z)
= =
D B
(z) (z)
D D
*( *(
z) z)
(2)
（3）如果系统不存在反馈作用， Su (z) 和 Suy (z) 一定可分解为式(2)的形式，且B(z)和D(z)的所 有极点都在z平面的单位圆内，否则系统必然存 在反馈。其中B(z)可用长除法求得
⎤ ⎥ ⎦
(11)
（1）在 和 Ho (z−1) Hc (z−1) 模型结构假设下，
利用系统的输入输出数据，分别获得估计
模型 和 。 Hˆ o (z−1)
Hˆ c (z−1)
（2）定义似然比函数 λ
=
L(θˆo ) L(θˆc )
(12)
θˆo 和 θˆc 表示模型结构分别为Hˆ o (z−1)和Hˆ c (z−1)时
+
E ( z −1 ) P( z −1 )
ω(k)
(9)
⎧ ⎪⎪
z(k)
=
B( z −1 ) A( z −1 )
u(k) +
D(z −1) A( z −1 )
v(k)
式(9)可写成 (10)⎨ ⎪⎪⎩u(k )
=
Q(z −1) P(z −1)
z(k)
+
E(z −1) P ( z −1 )
ω(k)
(9)
和
i = −∞
Ruy (i)
为数据的相关函数。
(2) 将Su (z)化为有理函数形式。由式(5)， 由于Ru (i)是偶函数，故
∞
∞
∑ ∑ Su (z) = ri z−i + ri zi
(6)
式中ro
=
1 2
Ru (0)
i=0
i=0
，ri = Ru (i)。上式有可化为：
Su
(z)
=
P( z −1 ) Q( z −1 )
=
Q( z −1 ) D( z −1 ) P(z−1) A(z−1)
≠
0
，
否则 H21(z−1) 将为0。
这样将判别系统是否存在反馈作用的问题转化为 两个模型的选择问题，即
⎧ ⎨ ⎩
H H
o c
( (
z z
−1 −1
) )
= =
⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣
H11o ( 0
H11c ( H21c (
z
z z
⎡ D(z−1)
B(z−1)E(z−1) ⎤
⎡z(k)⎤ ⎢⎣u (k ) ⎥⎦
=
⎡ ⎢1 ⎣
−
B( z −1 )Q( z −1 ) A( z −1 ) P( z −1 )
⎤ −1 ⎥ ⎦
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
A( z −1 ) Q( z −1 ) D( z −1 ) P(z−1) A(z−1)
A(
z −1 ) P( z −1 ) E ( z −1 ) P( z −1 )
⎧⎪σ ⎨ ⎪⎩σ
2 2
(θˆo (θˆc
) )
∑ =
1 L
L
ε o (k )
k =1
∑ =
1 L
L
εc (k)
k =1
(17)
式中 εo (k) 和 εc (k) 表示模型分别为 Ho(z−1) 和 Hc(z−1) 时的输出残差。
（4）取风险水平为 α ，由F分布表查得
ta = Fa (L − Nc，Nc − No ) ，由式(15)知， 若 t ≤ ta ，则接受模型结构为 Ho (z−1) 的假 设，说明系统不存在反馈作用，否则应接
两种常用的闭环系统判别方法
1、谱因子分解法 考虑确定性系统
u(t)
y(t)
G(s)
若不能直接确定输出y(t)与u(t)输入之间 是否存在反馈,则可以通过对输入输出数据 的谱密度进行谱因子分解来确定。
设系统的输入输出数据序列为{u(k)} 和{y(k)}，Ru (i) 和 Ru y (i) 为数据的相关函 数，对应的z变换（实际上就是数据的 离散谱密度）为 Su (z) 和 Su y (z)，当数据是
−1 )
−1 ) −1 )
H12o H 22o
( z −1 ) ( z −1 )
⎤ ⎥ ⎦
H12c H 22c
( z −1 ( z −1
) )
⎤ ⎥ ⎦
(11)
脚标”o”和”c”分别表示系统是在开环假设或闭环假 设下的模型结构。下面给出用似然比方法判断系统模 型结构是Ho (z−1) 还是 Hc (z−1的) 步骤。
第十章 闭环系统辨识
问题的提出
在前面讨论各种辨识方法时，都是假定辨识 对象是在开环条件下工作的，因此前面各章 所介绍的辨识方法适用于开环系统辨识。
在许多实际问题中，辨识不一定都能在开环 状态下进行。例如有的系统只能在闭环条件 工作，如果断开反馈通道，系统就不稳定。 有的系统可能是大系统的一部分，而在这个 大系统中不允许或不可能断开反馈通道等， 因此它们的辨识只能在有反馈作用的状态下 进行。----闭环辨识
的参数估计值；L(•) 为似然函数式，又等价
于
L
L
λ
=
⎡V ⎢ ⎣V
(θˆo (θˆc
) )
⎤ ⎥ ⎦
2
=
⎡ ⎢ ⎣
σ σ
2 2
(θˆo (θˆc
) )
⎤ ⎥ ⎦
2
(13)
V (θˆo )和V (θˆc )分别表示模型结构为Ho (z−1)和Hc (z−1)时 的输出残差的方差。
式中：L为数据长度；σ 2(θˆo ) 和 σ 2(θˆc )表示模
似然比方法判断 系统模型结构的步骤
⎧ ⎨ ⎩
H H
o c
( (
z z
−1 −1
) )
= =
⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣
H11o ( z 0
H11c ( z H 21c (z
−1 )
−1 ) −1 )
H12o H 22o
( (
z z
−1 ) −1 )
⎤ ⎥ ⎦
H12c H 22c
( (
z z
−1 ) −1 )