导数与不等式证明
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二轮专题(^一) 导数与不等式证明
【学习目标】
1.会利用导数证明不等式•
2.掌握常用的证明方法.
【知识回顾】
一级排查:应知应会
1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数,利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明
问题.比如要证明对任意x [a,b]都有f(x)_g(x),可设h(x) = f (x) — g(x),只要利用导数说明h(x)在[a,b]上的最小值为0即可.
二级排查:知识积累
利用导数证明不等式,解题技巧总结如下:
(1)利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解决出来),如函数的单调性、最值等,服务于第二问要证明的不等式•
(2)多用分析法思考.
(3)对于给出的不等式直接证明无法下手,可考虑对不等式进行必要的等价变形后,再去证明•例如采用两边取对数(指数),移项通分等等•要注意变形的方向:因为要利用函数的性质,力求变形后不等式一边需要出现函数关系式•
(4)常用方法还有隔离函数法,f(X)min -g(X)max,放缩法(常与数列和基本不等式一起考查),换元法,主元法,消元法,数学归纳法等等,但无论何种方法,问题的精髓还是构造辅助函数,将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题.
(5)建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式,有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来•
三极排查:易错易混
用导数证明数列时注意定义域.
【课堂探究】
一、作差(商)法
例1、证明下列不等式:
①e x_x 1
④ Inx _ 2(x-1) (x _1)
⑤ sin x 2x,x (0,
x +1
二、利用f (X)min - g(X)max证明不等式
1 2 e 例2、已知函数 f(x)二 ax b-(a 1)Inx,(a,b R), g(x) x .
x e 2
(1)若函数f(x)在x=2处取得极小值0,求a,b的值;
(2)在(1)的条件下,求证:对任意的x1,x^ [e,e2],总有f(xj .g(x2).
— 1 2 变式:证明:对一切x • (0, •::),都有ln x x 「成立.
e ex
三、构造辅助函数或利用主元法
例3、已知m,n为正整数,且1 ::: m ::: n,求证:(1 m)n (1 n)m .
变式:设函数 f(x)=l nx, g(x)=2x-2 ( x_1).
(1)试判断F(x) =(x2 1)f(x) -g(x)在定义域上的单调性;
(2)当 0 ::a ::: b 时,求证 f(b)-f(a) 警一?.
a +b
四、分析法证明不等式 例4、设
a 1,函数f (x) ^(1 x 2)e x - a.若曲线y= f (x)在点P 处的切线与x 轴平行,
且在点M (m, n)处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点),证明:
变式:已知函数 f(x) =x 2
l nx .
(I)求函数f (x)的单调区间;
(n)证明:对任意的t ■ 0,存在唯一的s ,使t =f(s).
(川)设(n)中所确定的 s 关于t 的函数为s =g(t),证明:当t e 2
时,有
2
:::旦也:::丄.
5 lnt 2
m 斗a_? _1.
\ e
五、隔离函数
例5、已知函数 f (x) =e x-In(x - m).
(I)设x =0是f (x)的极值点,求m并讨论f (x)的单调性;
(U)当m空2时,证明:f(x) . 0.
变式:已知函数f (x)二nx -x n,x • R,其中n • N ",且n _ 2.
(1)讨论f (x)的单调性;
(2)设曲线y = f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y = g(x),求证: 对于任意的正实数x,都有f(x)岂g(x);
(3)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根/x,求证:x^x^ —+ 2.
1 - n
六、与数列结合
例6、已知函数 f(x)二 alnx_ax—3(a・ R).
(1)求函数f (x)的单调区间;
In 2 In 3 In 4 In n 1 ,
(2)求证: .——. (n N -,n _ 2)
2 3 4 n n
变式: (1)已知 x • (0, •::),求证:
1 , x 1 1
In
x 1 x x
(2)求证: 1:: In n :: 1 1 1 1 (n N ,n _
2).
n 2 3 n -1
【巩固训练】
1 2
1.已知函数f(x) X2- lnx,求证:在区间(1,二)上,函数f(x)的图像在函数g(x) x3的
2 3
图像的下方•
2.已知函数f x Tn1二x .
1 -x
(I)求曲线y=f x在点o, f o处的切线方程;
(U)求证:当 x^(0 , 1 )时,f(x)A2 x+乞';
L 3」
(川)设实数k使得f x 0 , 1恒成立,求k的最大
值.
4.
设函数 f(x)」
n(1 X
)(x 0).
x
(1) 判断f (x)的单调性;
1 *
(2) 证明:(1 - —)n
::: e ( e 为自然对数,n N ).
n
5. 已知函数f(x) =e x -x.
(1) 求函数f (x)的最小值;
(2) 设不等式f(x) ax 的解集为P ,且[0,2]匚P ,求实数a 的取值范围;
(3) 设「N •,证明:
5丿 5丿 5丿 5丿e — 1
3.已知 0 ::: x 1 ::: x 2,求证:
X i
. n
X 2
n
* +X 2、'
I
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