导数与不等式证明

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

二轮专题(^一) 导数与不等式证明

【学习目标】

1.会利用导数证明不等式•

2.掌握常用的证明方法.

【知识回顾】

一级排查:应知应会

1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数,利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明

问题.比如要证明对任意x [a,b]都有f(x)_g(x),可设h(x) = f (x) — g(x),只要利用导数说明h(x)在[a,b]上的最小值为0即可.

二级排查:知识积累

利用导数证明不等式,解题技巧总结如下:

(1)利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解决出来),如函数的单调性、最值等,服务于第二问要证明的不等式•

(2)多用分析法思考.

(3)对于给出的不等式直接证明无法下手,可考虑对不等式进行必要的等价变形后,再去证明•例如采用两边取对数(指数),移项通分等等•要注意变形的方向:因为要利用函数的性质,力求变形后不等式一边需要出现函数关系式•

(4)常用方法还有隔离函数法,f(X)min -g(X)max,放缩法(常与数列和基本不等式一起考查),换元法,主元法,消元法,数学归纳法等等,但无论何种方法,问题的精髓还是构造辅助函数,将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题.

(5)建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式,有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来•

三极排查:易错易混

用导数证明数列时注意定义域.

【课堂探究】

一、作差(商)法

例1、证明下列不等式:

①e x_x 1

④ Inx _ 2(x-1) (x _1)

⑤ sin x 2x,x (0,

x +1

二、利用f (X)min - g(X)max证明不等式

1 2 e 例2、已知函数 f(x)二 ax b-(a 1)Inx,(a,b R), g(x) x .

x e 2

(1)若函数f(x)在x=2处取得极小值0,求a,b的值;

(2)在(1)的条件下,求证:对任意的x1,x^ [e,e2],总有f(xj .g(x2).

— 1 2 变式:证明:对一切x • (0, •::),都有ln x x 「成立.

e ex

三、构造辅助函数或利用主元法

例3、已知m,n为正整数,且1 ::: m ::: n,求证:(1 m)n (1 n)m .

变式:设函数 f(x)=l nx, g(x)=2x-2 ( x_1).

(1)试判断F(x) =(x2 1)f(x) -g(x)在定义域上的单调性;

(2)当 0 ::a ::: b 时,求证 f(b)-f(a) 警一?.

a +b

四、分析法证明不等式 例4、设

a 1,函数f (x) ^(1 x 2)e x - a.若曲线y= f (x)在点P 处的切线与x 轴平行,

且在点M (m, n)处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点),证明:

变式:已知函数 f(x) =x 2

l nx .

(I)求函数f (x)的单调区间;

(n)证明:对任意的t ■ 0,存在唯一的s ,使t =f(s).

(川)设(n)中所确定的 s 关于t 的函数为s =g(t),证明:当t e 2

时,有

2

:::旦也:::丄.

5 lnt 2

m 斗a_? _1.

\ e

五、隔离函数

例5、已知函数 f (x) =e x-In(x - m).

(I)设x =0是f (x)的极值点,求m并讨论f (x)的单调性;

(U)当m空2时,证明:f(x) . 0.

变式:已知函数f (x)二nx -x n,x • R,其中n • N ",且n _ 2.

(1)讨论f (x)的单调性;

(2)设曲线y = f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y = g(x),求证: 对于任意的正实数x,都有f(x)岂g(x);

(3)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根/x,求证:x^x^ —+ 2.

1 - n

六、与数列结合

例6、已知函数 f(x)二 alnx_ax—3(a・ R).

(1)求函数f (x)的单调区间;

In 2 In 3 In 4 In n 1 ,

(2)求证: .——. (n N -,n _ 2)

2 3 4 n n

变式: (1)已知 x • (0, •::),求证:

1 , x 1 1

In

x 1 x x

(2)求证: 1:: In n :: 1 1 1 1 (n N ,n _

2).

n 2 3 n -1

【巩固训练】

1 2

1.已知函数f(x) X2- lnx,求证:在区间(1,二)上,函数f(x)的图像在函数g(x) x3的

2 3

图像的下方•

2.已知函数f x Tn1二x .

1 -x

(I)求曲线y=f x在点o, f o处的切线方程;

(U)求证:当 x^(0 , 1 )时,f(x)A2 x+乞';

L 3」

(川)设实数k使得f x 0 , 1恒成立,求k的最大

值.

4.

设函数 f(x)」

n(1 X

)(x 0).

x

(1) 判断f (x)的单调性;

1 *

(2) 证明:(1 - —)n

::: e ( e 为自然对数,n N ).

n

5. 已知函数f(x) =e x -x.

(1) 求函数f (x)的最小值;

(2) 设不等式f(x) ax 的解集为P ,且[0,2]匚P ,求实数a 的取值范围;

(3) 设「N •,证明:

5丿 5丿 5丿 5丿e — 1

3.已知 0 ::: x 1 ::: x 2,求证:

X i

. n

X 2

n

* +X 2、'

I

< 2丿

相关文档
最新文档