模糊等价矩阵与模糊相似矩阵

0.5
1
0.6
0.5 0.4 0.5 0.6 1
形成一个动态的图象.那么,由于 的变化而分出的类
有何特征呢?这就是下面的定理要说明的问题.
定理3-9 若 0 1则, R分出的每一个类必是 R 所分出的子类.
证 ( rij 1 rij ) (rij rij 1),
亦即
rij 1 rij 1 ( ).
这说明,若 i, j 按照R 归为一类,则按 R 亦必归为
故 R S .
再设 R S , 来证明 R S.
(反证法) 假设 R S, 则必 (i0, j0 ), 使 ri0 j0 si0 j0 .
取
则有 ri0 j0 ,
r i0 j0
1,
s i0 j0 0, 这与 R S 矛盾.
故 R S.
(2) (R U S) R U S , (R I S) R I S . 证 只证第一式.设 R U S C, R U S D, 从而有 rij sij cij , rij sij dij . 于是,要证 (R U S) R U S
一类,从而证明了定理的正确性.此定理指出 越大,
类分得越细.因此若要把问题分得细些,只需增大 即可.
例2 试将例1中的 U 分类.
解 例1中 U 上的模糊关系 R 的矩阵为
%
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0.4
1
0.4
0.4
0.4
R 0.8 0.4 1 0.5 0.5
0.5
0.4
又由 Q R, 有 Qk Rk 从而有 Q Qk Rk ,
即 Q Rk , 再由 k 的任意性得
于是有
Q U Rk
k 1
t(R) U Rk
k 1
定理3-7
设 R Unn ,
则
t(R)
n
U Rm.
m 1
(证明略.)
此定理的重要性在于,对有限域 U 上的模糊关系 R,
%
如果对应的模糊矩阵为 n 阶方阵 R, 则它的传递闭包
0.4
0.4
R 0.8 0.4 1 0.5 0.5
0.5 0.4 0.5 1 0.6
0.5 0.4 0.5 0.6 1
求证 R 是 U 上的模糊等价矩阵.
证 显然 R 是自反、对称的,经计算得到
R oR R2 R
所以, R 是传递的. 故 R 为模糊等价矩阵, R 为模糊等价关系.
传递矩阵. 包含 R 而又被任一包含 R 的传递矩阵所包含的
传递矩阵,称为 R 的传递闭包,记作 t(R). 关于传递闭包有以下结论:
定理3-6 对任意 R Unn , 总有
t(R) R U R2 UU Rm U U Rk
k 1
证
要证明
t(R) U Rk ,
就是要证明
U Rk 是传递的,
k 1
只需证 cij dij . 分两种情况:
① cij 1 rij sij rij 或 sij rij 1 或 sij 1 ( rij ) ( sij ) 1 dij 1.
② cij 0 rij sij rij 且 sij rij 0 且 sij 0 ( rij ) ( sij ) 0 dij 0
R的 截矩阵 R 对应于模糊关系的 截关系. 显然 R 的元素仅能是0或1,因此相应的 截关系 是一普通关系.例如
0.8 0.3 0.6
R
0.2
0.4
0.7
0.5 0.8 1
1 0 1
则
R0.6
0
0
1
0 1 1
1 0 0
R0.7
0
0
1
0 1 1
截矩阵的性质 (1)对 [0,1], R S R S 证 设 R S, 欲证 R S , 只需证 rij sij .
m
(k)( qik
1且 rkj
1)
(
k 1
qik
rkj ) 1
m
②
sij
0
sij
1
(
k 1
qik
rkj ) 1
m
(
k 1
qik
rkj )
0.
m
故
sij
(
k 1
qik
rkj )
即
(Q oR) Q oR
(4) (RT ) (R )T
3.3.2 模糊传递矩阵
定义3-16 设 R Unn , 若 R2 R则, R 称为模糊
k 1
同时对任意传递矩阵 Q R, 有 Q U Rk .
k 1
因为
U
Rk
o
U
Rk
U
Rk
o
U
R
j
k1 k1 k1
j1
U U Rk oR j U U Rk j
k 1 j1
k 1 j1
U Rm U Rk
m2
k 1
所以
U
Rk
是传递的.
k 1
设 Q Unn 为任意传递矩阵且 Q R. 因为 Q 是传递的,所以 Q2 Q,,Qk Q
已知 R S, 即 rij sij , 对 分两种情况;
① rij rij 1, 而 rij sij sij 1, 于是 rij sij ; ② rij rij 0, 而 rij sij , 此时或 sij sij 1, 或
sij sij 0, 于是 rij sij .
总之 cij dij , 故 C D, 即
(R U S) R U S
(3) (Q oR) Q oR
证 设 S Q oR. 要证(Q oR) Q oR , 即要证
m
sij
(
k 1
qik
rkj )
分两种情况:
m
① sij 1 sij k1(qik rkj )
(k)(qik rkj ) (k)(qik 且rkj )
只需 n 次并运算即可求出.
3.3.3 模糊等价矩阵与模糊相似矩阵
定义3-17 设 R Unn , 若 R 是自反、对称、传递 的模糊矩阵，则 R 称为模糊等价矩阵。
例1
设 U u1,u2 ,u3,u4 ,u5,
R是
%
U
上的模糊关系,可表示为
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0.4Βιβλιοθήκη 10.4%
关于等价矩阵有两个重要的结论 定理3-8 R Unn是等价矩阵的充要条件是: 对 [0,1], R 都是等价的普通矩阵.
定理说明有限域上的模糊等价关系确定后,对给定的 [0,1], 便可以相应得到一个普通等价关系 R , 于是由
R 便可决定一个 水平的分类.显然,不同的
对应着不同的分类,当 从1降到0时,分类也随之变化,