新加坡中学一二年级数学测试卷(难度)

新加坡中一中二数学测试

姓名_____________得分__________

请同学们注意：本试卷共14题，满分120分。

第一部份： 填空题（请将答案填写在空格内，不须列出演算过程．每题6分，共60分）

1．下图是计算机的某个计算程序，当输入数据后，计算机会按照既定程序，从左到右进行运算。如果输入数学8，那么输出的数字是多少？ 答案：

1．2010

2． 对自然数n 规定一种“G ”运算： ① 当n 是奇数时，()31G n n =+；

② 当n 是偶数时，()G n 等于n 持续被2整除，直到是奇数的商；

将k 次“G ”运算记作k G ，请计算2008G （13）. 答案： 2. 2345(13)40,(13)5,(13)16,

(13)1,(13)4,G G G G G =====

67(13)1,(13)4,

G G ==

所以，2008G （13）＝1.

评注 题2的背景是数论近年来研究活跃的一个猜想，这个猜想是：

对任何非零自然数n ，均存在一个自然数k ，使k G （n ）＝1.

3．用n A 表示1，2，…，101中，能被n 整除的所有数的算术平均数. 问：23456,,,,A A A A A 中最大的是那一个？ 答案：

3．因为2

n

n n a A +=，这里n a 是不超过101且是n 的倍数的最大整数. 比较2,3456,,,A A A A A 知，

5A 最大．

4．在一个暴雨的黑夜，孤岛上的四个人必须走过一座窄桥到陆地上去避难.过窄桥必须用灯照明，但是他们只有一盏灯，且桥上每次最多只能通过两个人.若岛上还有人，则过桥之人中必须有人把灯送回去.如果四个人单独过桥，那么所需的时间分别为2分钟、4分钟、8分钟和16分钟；如果两人一起过桥，那么所需时间依照较慢的人过桥的时间计算. 问：这四个人过桥最少需要多少时间？ 答案：

4．总共需过桥5次．过桥时间最长的需16分钟, 让需要8分钟的人与之为伴一起过桥． 过桥时间最短的两人先一起过桥，然后其中一人提灯回岛．接着最慢两人一起过桥,另一个较快的人提灯把岛上的人接回陆地．故共需要4＋2＋16＋4＋4＝30分钟．

5．计算：

共2008层⎧⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎩

1111111

11131355

-

--

-

-．

答案： 5．这是一个繁分数的计算问题，按常规一层一层计算，很复杂. 先进行试算，看一看，是否有一定的规律可循.

①. 113242

1 355355

,-

= ②.

1355113

11, 1132422421355

-

=-=-- ③.

1242355

11111311311131355,-=+

=--

④.

1113242

111

355355

1111131355

,-=-

=--

-

从这4步的计算，可以看出，每经过3层分数线的繁分式的运算，仍然得到

355

242

3551131=-

. 即这个繁分式的运算每隔3次，数字就会重复出现. 而2008=669×3+1，所以，原式＝

242

355

． 6．设E ，F 分别是ABC ∆的边AC 、AB 上的点，线段BE 、CF 交于点D . 已知,,BDF BCD CDE ∆∆∆的面积分别为3，7，7. 问：四边形AEDF 的面积是多少？ 答案：

6．因为BCD CDE S S ∆∆=,所以BD DE =.故3DEF BFD S S ∆∆==.设EFA S x ∆=,则

37

637

x AF x BF ++==

+, 解得15x =.故15318AEDF S =+=.

7．已知连续2008个正整数的和是一个完全平方数，问：其中最大的数的最小值是多少？

答案：

7．设

(1)(2007)(22007)1004(22007)251a a a a a +++++=+⨯+⨯2＝2，

则可令 222007251a n +=⋅，

当1,2n n ==时不成立；当3n =时，得126a =，20072133a +=．故所求的答案为2133．

8．A 、B 是两个大小形状相同的三角形纸片，其三边的长之比为3：4：5，按图示方法将它对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重合部分面积分别为,A B S S ，已知 A B S S +=39，求三角形纸片A 的面积

.

答案：

8．设纸片A 的面积为 x ，则11

, 49A B S x S x ==，于是

11

3949

x x +=， 解得108x =．

9．用长度分别为1，4，7，8的线段围成一个四边形，问：这个四边形的最大面积是多少？

答案：

9．应该围成一个凸四边形.不妨假设长为1和8的边相邻（否则把阴影部分的三角形翻转一下即可）.于是，我们得到两个三角形，其边长分别为1，8，x 和4，7，x ．两个三角形同时取到最大面积时对应四边形的最大面积．因为22221847+=+，所以两个三角形是直角三角形时，四边形面积最大，最大值为18

10．把2，3，4，5，6，7，8和9不重复地填入题中方框内，使下式成立. 问：在相加的三个分数中，最大的一个是多少？