湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高三上学期10月联考数学试题
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D．先将曲线 向右平移 个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标保持不变，便得到曲线
二、多选题
9．下列各式的值计算正确的是（）
A． B．
C． D．
10．若函数 对任意 都有 成立， ，则下列的点一定在函数 图象上的是（）
A． B． C． D．
11．关于递增等比数列 ，下列说法不正确的是（）
C.先将曲线 向左平移 个单位长度的得到 ，再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍得 ，不合题意；
D.先将曲线 向右平移 个单位长度得到 ，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的 倍得 ，得到曲线
故选:D.
【点睛】
本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
9．CD
【分析】
3．已知 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
4．已知 ，则（）
A． B． C． D．
5．已知 是公差为1的等差数列，且 是 与 的等比中项，则 （）
A．0B．1C．3D．2
6．曲线 在点 处的切线方程是（）
A．ห้องสมุดไป่ตู้B． C． D．
7．已知 为单位向量，且 ，则 （）
A．1B． C．2D．
8．已知曲线 ，则下面结论正确的是（）
16．记等差数列 的前 项和为 ，已知点 在直线 上， 为 外一点，若 ，且 ，则 _____________.
四、解答题
17．在① ，② ，③ 三个条件中任选一个，补充在下列横线中.在平面四边形 中，已知 ，_________，则求 的值.
18．已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
根据三角恒等变换的知识依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，因为 ，所以A错误；
对于B选项，因为 ，所以B错误；
对于C选项，因为 ，所以 ，
所以 ，所以C正确；
对于D选项，因为 ，所以D正确.
故选：CD.
【点睛】
本题考查恒等变换化简求值，解题关键在于熟练应用三角函数公式，是中档题.
10．ABC
【分析】
利用奇函数的图象与性质即可得到答案.
【详解】
6．D
【分析】
求导得到 ，再根据切线方程的公式计算得到答案.
【详解】
曲线为 ，所以 ；当 时， ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查了切线方程，属于简单题.
7．B
【分析】
先根据 得 ，再根据向量模的公式计算即可得答案.
【详解】
因为 为单位向量，且 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
19．如图，在四棱锥 中， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求二面角 的余弦值.
20．某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答.竞答分为必答题（共5题）和选答题（共2题）两部分.每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响.已知甲同学答对每道必答题的概率为 ，答对每道选答题的概率为 .
（1）求甲恰好答对4道必答题的概率；
（2）在选答阶段，若选择回答且答对奖励5分，答错扣2分，选择放弃回答得0分.已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为 ，试求甲同学在选答题阶段，得分 的分布列.
21．已知椭圆 的标准方程为 （ ），且经过点 和 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设经过定点 的直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点，若 ，求直线 的方程.
【详解】
解：由题得 ，所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的运算、根据复数相等求参数，是基础题.
3．A
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】
由 ，
得 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系.属于容易题.
4．D
【分析】
先判断出 ， ， ，再判断 ， ， 的大小关系即可.
【详解】
因为 ， ， ，
所以 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查比较指数、对数、幂的大小关系，是基础题.
5．C
【分析】
利用等差数列的通项公式可知 ，再利用 是 与 的等比中项，可列式 ，解方程可得答案.
【详解】
是公差为1的等差数列，
又 是 与 的等比中项，
，即 ，解得 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，考查等比中项的意义，考查学生的计算能力，属于基础题.
湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高三上学期10月联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知 （ 为虚数单位， ），则 （）
A． B． C．1D．2
故选：B.
【点睛】
本题考查向量垂直关系的向量表示，向量的模的计算，考查运算能力，是基础题.
8．D
【分析】
利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．
【详解】
A.先将曲线 向左平移 个单位长度得到 ，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的 倍得到 ，错误；
B.先将曲线 向右平移 个单位长度得到 ，再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍 ，不合题意；
22．已知函数 .
（1）求函数 的极小值；
（2）关于 的不等式 在 上存在解，求实数 的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】
计算 或 ，再计算交集得到答案.
【详解】
因为 ，所以 或 ，所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了补集和交集运算，意在考查学生对于集合运算的掌握情况.
2．D
【分析】
本题先根据复数的运算得到复数相等，再根据复数相等求参数值即可。
A． B． C． D．当 时，
12．已知函数 ，若方程 有6个不等实根，则实数 的可能取值是（）
A． B．0C． D．
三、填空题
13．已知向量 ，若 ，则 ____________.
14．已知函数 的图象关于 对称，当 时， 单调递增，则不等式 的解集为_____________.
15．函数 的极小值点为___________.
A．先将曲线 向左平移 个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标保持不变，便得到曲线
B．先将曲线 向右平移 个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，便得到曲线
C．先将曲线 向左平移 个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，便得到曲线
二、多选题
9．下列各式的值计算正确的是（）
A． B．
C． D．
10．若函数 对任意 都有 成立， ，则下列的点一定在函数 图象上的是（）
A． B． C． D．
11．关于递增等比数列 ，下列说法不正确的是（）
C.先将曲线 向左平移 个单位长度的得到 ，再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍得 ，不合题意；
D.先将曲线 向右平移 个单位长度得到 ，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的 倍得 ，得到曲线
故选:D.
【点睛】
本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
9．CD
【分析】
3．已知 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
4．已知 ，则（）
A． B． C． D．
5．已知 是公差为1的等差数列，且 是 与 的等比中项，则 （）
A．0B．1C．3D．2
6．曲线 在点 处的切线方程是（）
A．ห้องสมุดไป่ตู้B． C． D．
7．已知 为单位向量，且 ，则 （）
A．1B． C．2D．
8．已知曲线 ，则下面结论正确的是（）
16．记等差数列 的前 项和为 ，已知点 在直线 上， 为 外一点，若 ，且 ，则 _____________.
四、解答题
17．在① ，② ，③ 三个条件中任选一个，补充在下列横线中.在平面四边形 中，已知 ，_________，则求 的值.
18．已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
根据三角恒等变换的知识依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，因为 ，所以A错误；
对于B选项，因为 ，所以B错误；
对于C选项，因为 ，所以 ，
所以 ，所以C正确；
对于D选项，因为 ，所以D正确.
故选：CD.
【点睛】
本题考查恒等变换化简求值，解题关键在于熟练应用三角函数公式，是中档题.
10．ABC
【分析】
利用奇函数的图象与性质即可得到答案.
【详解】
6．D
【分析】
求导得到 ，再根据切线方程的公式计算得到答案.
【详解】
曲线为 ，所以 ；当 时， ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查了切线方程，属于简单题.
7．B
【分析】
先根据 得 ，再根据向量模的公式计算即可得答案.
【详解】
因为 为单位向量，且 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
19．如图，在四棱锥 中， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求二面角 的余弦值.
20．某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答.竞答分为必答题（共5题）和选答题（共2题）两部分.每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响.已知甲同学答对每道必答题的概率为 ，答对每道选答题的概率为 .
（1）求甲恰好答对4道必答题的概率；
（2）在选答阶段，若选择回答且答对奖励5分，答错扣2分，选择放弃回答得0分.已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为 ，试求甲同学在选答题阶段，得分 的分布列.
21．已知椭圆 的标准方程为 （ ），且经过点 和 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设经过定点 的直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点，若 ，求直线 的方程.
【详解】
解：由题得 ，所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的运算、根据复数相等求参数，是基础题.
3．A
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】
由 ，
得 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系.属于容易题.
4．D
【分析】
先判断出 ， ， ，再判断 ， ， 的大小关系即可.
【详解】
因为 ， ， ，
所以 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查比较指数、对数、幂的大小关系，是基础题.
5．C
【分析】
利用等差数列的通项公式可知 ，再利用 是 与 的等比中项，可列式 ，解方程可得答案.
【详解】
是公差为1的等差数列，
又 是 与 的等比中项，
，即 ，解得 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，考查等比中项的意义，考查学生的计算能力，属于基础题.
湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高三上学期10月联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知 （ 为虚数单位， ），则 （）
A． B． C．1D．2
故选：B.
【点睛】
本题考查向量垂直关系的向量表示，向量的模的计算，考查运算能力，是基础题.
8．D
【分析】
利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．
【详解】
A.先将曲线 向左平移 个单位长度得到 ，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的 倍得到 ，错误；
B.先将曲线 向右平移 个单位长度得到 ，再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍 ，不合题意；
22．已知函数 .
（1）求函数 的极小值；
（2）关于 的不等式 在 上存在解，求实数 的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】
计算 或 ，再计算交集得到答案.
【详解】
因为 ，所以 或 ，所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了补集和交集运算，意在考查学生对于集合运算的掌握情况.
2．D
【分析】
本题先根据复数的运算得到复数相等，再根据复数相等求参数值即可。
A． B． C． D．当 时，
12．已知函数 ，若方程 有6个不等实根，则实数 的可能取值是（）
A． B．0C． D．
三、填空题
13．已知向量 ，若 ，则 ____________.
14．已知函数 的图象关于 对称，当 时， 单调递增，则不等式 的解集为_____________.
15．函数 的极小值点为___________.
A．先将曲线 向左平移 个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标保持不变，便得到曲线
B．先将曲线 向右平移 个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，便得到曲线
C．先将曲线 向左平移 个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，便得到曲线