数列基础知识点和方法归纳

数列基础知识点和方法归纳

. 等差数列的定义与性质

定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()

1112

2

n n a a n n n S na

d +-=

=+

性质：{}n a 是等差数列

（）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；

（）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；

（）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则

21

21

m m m m a S b T --= （）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为的二次函数）

n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界

项，

即：当100a d ><，，解不等式组10

0n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.

当100a d <>，，由10

0n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.

()项数为偶数n 2的等差数列{}

n a ，有

),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S

nd S S =-奇偶，

1

+=

n n

a a S S 偶

奇. （）项数为奇数12-n 的等差数列{}

n a ，有

)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，

n a S S =-偶奇，

1

-=

n n S S 偶

奇. . 等比数列的定义与性质

定义：

1

n n

a q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=

，或G =

前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪

=-⎨≠⎪

-⎩（要注意！）

性质：{}n a 是等比数列

（）若m n p q +=+，则m

n p q a a a a =·· （）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？

1n =时，11a S =； 2n ≥时，1n n n a S S -=-. ．求数列通项公式的常用方法 （）求差（商）法

如：数列{}n a ，122111

25222

n n a a a n +++=+……，求n a

解 1n =时，11

2152a =⨯+，∴114a = ①

2n ≥时，12121111

215222

n n a a a n --+++=-+…… ②

①—②得：122n n a =，∴1

2n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩

［练习］数列{}n a 满足1115

43

n n n S S a a +++==，，求n a

注意到11n n n a S S ++=-，代入得

1

4n n

S S +=；

又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S =

2n ≥时，113

4n n n n a S S --=-==……· （）叠乘法

如：数列{}n a 中，1131

n n a n

a a n +==+，，求n a

解

3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11

n a a n

=又13a =，∴3n a n =. （）等差型递推公式

由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法

2n ≥时，21321(2)

(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫

⎪-=⎪

⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……

∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++…… ［练习］数列{}n a 中，()1

11132n n n a a a n --==+≥，，求n a （

()1312n

n a =

-）

（）等比型递推公式

1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）

可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =

-，∴1n d a c ⎧

⎫+⎨⎬-⎩⎭

是首项为11d a c c +

-，为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+

=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛

⎫=+- ⎪--⎝

⎭ （）倒数法 如：11212

n

n n a a a a +==

+，，求n a 由已知得：

121

1122n n n n

a a a a ++==+，∴

11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

为等差数列，11

1a =，公差为12，∴()

()11111122n n n a =+-=+·，