2019年中考数学总复习 提分专练07 以圆为背景的综合计算与证明题练习 湘教版

提分专练(七)以圆为背景的综合计算与证明题

|类型1| 圆与切线有关的问题

1.[xx·咸宁]如图T7-1,以△ABC的边AC为直径的☉O恰为△ABC的外接圆,∠ABC的平分线交☉O于点D,过点D作DE ∥AC交BC的延长线于点E.

(1)求证:DE是☉O的切线;

(2)若AB=2,BC=,求DE的长.

图T7-1

2.[xx·徐州]如图T7-2,AB为☉O的直径,点C在☉O外,∠ABC的平分线与☉O交于点D,∠C=90°.

(1)CD与☉O有怎样的位置关系?请说明理由.

(2)若∠CDB=60°,AB=6,求的长.

图T7-2

|类型2| 圆与四边形结合的问题

3.[xx·宜昌]如图T7-3,四边形ABCD中,E是对角线AC上一点,ED=EC,以AE为直径的☉O与边CD相切于点D,B点在☉O上,连接OB.

(1)求证:DE=OE;

(2)若AB∥CD,求证:四边形ABCD是菱形.

图T7-3

4.[xx·镇江]如图T7-4①,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=6,AD=10,点P在边AD上运动,以P为圆心,PA为半径的☉P 与对角线AC交于A,E两点.

(1)如图②,当☉P与边CD相切于点F时,求AP的长;

(2)不难发现,当☉P与边CD相切时,☉P与平行四边形ABCD的边有三个公共点,随着AP的变化,☉P与平行四边形ABCD 的边的公共点的个数也在变化,若公共点的个数为4,直接写出相对应的AP的长的取值范围.

图T7-4

|类型3| 圆与三角函数结合的问题

5.[xx·贵港]如图T7-5,已知☉O是△ABC的外接圆,且AB=BC=CD,AB∥CD,连接BD.

(1)求证:BD是☉O的切线;

(2)若AB=10,cos∠BAC=,求BD的长及☉O的半径.

图T7-5

6.[xx·铜仁]如图T7-6,在三角形ABC中,AB=6,AC=BC=5,以BC为直径作☉O交AB于点D,交AC于点G,直线DF是☉O 的切线,D为切点,交CB的延长线于点E.

(1)求证:DF⊥AC;

(2)求tan E的值.

图T7-6

|类型4| 圆与相似三角形结合的问题

7.[xx·通辽]如图T7-7,☉O是△ABC的外接圆,点O在BC边上,∠BAC的平分线交☉O于点D,连接BD,CD,过点D作BC 的平行线与AC的延长线相交于点P.

(1)求证:PD是☉O的切线;

(2)求证:△ABD∽△DCP;

(3)当AB=5 cm,AC=12 cm时,求线段PC的长.

图T7-7

8.[xx·苏州]如图T7-8,已知△ABC内接于☉O,AB是直径,点D在☉O上,OD∥BC,过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接CD 交OE于点F.

(1)求证:△DOE∽△ABC;

(2)求证:∠ODF=∠BDE;

(3)连接OC,设△DOE的面积为S1,四边形BCOD的面积为S2,若=,求sin A的值.

图T7-8

参考答案1.解:(1)证明:连接OD,

∵AC是☉O的直径,

∴∠ABC=90°,

∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=45°,

∴∠AOD=90°.

∵DE∥AC,

∴∠ODE=∠AOD=90°,

∴DE是☉O的切线.

(2)在Rt△ABC中,AB=2,BC=,

∴AC==5,

∴OD=.

过点C作CG⊥DE,垂足为G,

则四边形ODGC为正方形,

∴DG=CG=OD=.

∵DE∥AC,

∴∠CEG=∠ACB,

又∵∠ABC=∠CGE=90°,

∴△ABC∽△CGE,

∴=,即=,解得GE=,

∴DE=DG+GE=.

2.解:(1)CD是☉O的切线,理由如下:连接OD,则OD=OB,

∴∠2=∠3.

∵BD平分∠ABC,∴∠2=∠1,

∴∠1=∠3,∴OD∥BC.

∵∠C=90°,∴BC⊥CD,

∴OD⊥CD,

∴CD是☉O的切线.

(2)∵∠CDB=60°,∠C=90°,

∴∠2=∠1=∠3=30°,

∴∠AOD=∠2+∠3=30°+30°=60°.∵AB=6,∴OA=3,

∴的长=×π×3=π.

3.证明:(1)如图,连接OD,∵CD是☉O的切线,

∴OD⊥CD,

∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°,

又∵DE=EC,∴∠2=∠1,∴∠3=∠COD,

∴DE=OE.

(2)∵OD=OE,DE=OE,∴OD=DE=OE,

∴∠3=∠COD=∠DEO=60°,∴∠2=∠1=30°.

∵OA=OB=OE,且OE=DE=EC,∴OA=OB=DE=EC,

又∵AB∥CD,∴∠4=∠1,∴∠2=∠1=∠4=∠OBA=30°,

∴△ABO≌△CDE,∴AB=CD.

又∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.

∵∠DAE=∠DOE=30°,∴∠1=∠DAE,

∴CD=AD,∴四边形ABCD是菱形.

4.解:(1)如图,连接PF.

在Rt△ABC中,由勾股定理得AC===8.设AP=x,则DP=10-x,PF=x.∵☉P与边CD相切于点F,∴PF ⊥CD.

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.

又∵AB⊥AC,∴AC⊥CD,∴PF∥AC,

∴△DPF∽△DAC.

∴=,即=.

解得x=,即AP=.

(2)

5.解:(1)证明:连接BO并延长交AC于H,如图,

由于☉O是△ABC的外接圆,AB=BC,则BH⊥AC且AH=CH.∵AB=CD,AB∥CD,∴四边形ABDC是平行四边形,∴AC∥BD,∴BH ⊥BD,即OB⊥BD,

∴BD是☉O的切线.

(2)由(1)知,BD=AC,而AC=2AH=2AB·cos∠BAC=2×10×=12,∴BD=12.

设☉O的半径为r,且OH=x,则有r+x=BH,AH2+x2=r2,又BH===8,∴r+x=8①,又由AH2+x2=r2得(r+x)(r-x)=AH2=36,

∴r-x=②,①②联立,解得r=,∴☉O的半径为.

6.解:(1)证明:如图,连接OD,∵DF是☉O的切线,

∴OD⊥EF,∴∠ODE=90°.

∵AC=BC,∴∠ABC=∠A.

∵OD=OB,∴∠OBD=∠ODB,∴∠A=∠ODB,