-复变函数的积分概念

从B到A的方向为负向，记为C .
若曲线C为封闭曲线，规定逆时针方向为C ，顺时针 方向为C 。
定义
y
B
设 w f (z) u( x, y) iv( x, y) 在
C
给 定 的 光 滑 或 逐 段 光 滑曲 线 C
z 1
zk zk 1
上 有 定 义。
A z0
C 以A为起点, B 为终点,
如果不论对C
的 分 法 及 k
的取法如何,
lim
0
Sn
都唯一存在, 那么称这个极限值为函数 f (z)
沿曲线C 的积分。记为 C f (z)dz
n
即
C
f
(z)dz
lim 0 k1
f (k )k
若曲线 C 为封闭曲线, 那么沿 C 的积分记为
C f (z)dz
若 C 为 x 轴上区间线段[a,b], 而 f (z) u( x) 时, 这个积分就是一元函数的定积分 ab u( x)dx
( | f (z) | M , L 为 C 弧长)
四、积分的基本计算
设 C 由参数方程给出:
C : z z(t) x(t) iy(t) ( t ) 且 z( )、z( ) 对应 C 的起点和终点, 则
由C f (z)dz C u( x, y)dx v( x, y)dy
i(C v( x, y)dx u( x, y)dy)得： C f (z)dz {u(x(t), y(t))x(t)v(x(t), y(t))y(t)}dt
2 0
ri e it r e n1 i(n1)t
dt
2 int n0
i 2
r n 0 (cos nt i sinnt )dt
即
dz
2i, n 0
|zz0| (z z0 )n1
0,
n0
这个结果以后经常用到, 它的特点是与积分路线的中心 及半径无关。
例2
计算 (z2 zz)dz, C
C 为| z | 1 上半部分从 z1 1到
第三章 复变函数的积分
复变函数的积分概念及积分方法 柯西积分定理 复合闭路定理 柯西积分公式与高阶导数公式
§3.1 复变函数积分概念
一、积分的定义
有向曲线: 若一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和 终点，则称为曲线为有向曲线。
曲线的方向规定： 若 曲 线C为 开 口 弧 段 ，A为 起 点 ，B为 终 点 ， 则 沿 曲 线 从A到B的方向为正向，记为C
若z1 0,则方程为 z t z2
圆 的 参 数 方 程:
x y
r r
cos sin
t , t
0 t 2
复数形式：z r(cost i sint) reit , 0 t 2
以 z0 为圆心的圆:
z
z z0 reit , 0 t 2
t
z z0 reit , 0 t 2
z2 1的弧。
解 : C 的参数方程 z eit , 0 t
dz ieit dt
1
1
而 z2 z z ei2t 1 所以
(z2 C
z
z )dz
0
(e i 2t
1)ieitdt
i (e i3t e it )dt 0
1 ei3 1 ei 1 8i
3
3
3
例3 分别计算积分Czdz 及Czdz, C 是 :
曲线积分来计算。
为便于记忆, 可把 f (z)dz 理解为
(u iv)(dx idy)
f (z)
dz
则 f (z)dz udx vdy i(vdx udy)
三、积分的基本性质
(1) C kf (z)dz kC f (z)dz ( k 是复常数)
(2) C[ f1(z) f2(z)dz C f1(z)dz C f2(z)dz
(1) 从原点到 1 i 的直线段; (2) C 由 0 到 1, 再由1 到 1 i 的折线段; (3) 从原点到 1 i 的抛物线段 y x2
(3) C f (z)dz C f (z)dz ( C 为C 的负向曲线)
（4）若曲线C 是由光滑曲线C1,C2 ,...,Cn 依次连接而成时, 则
C f ( z)dz C1 f ( z)dz C2 f ( z)dz Cn f ( z)dz (5) C f (z)dz C| f (z)| dz ML
二、积分存在的条件
定理 若函数 w f (z) u( x, y) iv( x, y) 在光滑曲 线 C 上连续, 则 f (z) 沿曲线C 的积分存在, 并且
C f (z)dz C udx vdy i C vdx udy
定理表明：
（1）当f (z)是连续函数而C是光滑曲线时，
积分C f (z)dz一定存在； （2）即可把C f (z)dz的计算化为两个实二元函数的
i{v(x(t), y(t))x(t)u(x(t), y(t))y(t)}dt
进一步, 上式还可写成 :
C f ( z)dz {u( x(t ), y(t )) iv( x(t ), y(t ))}( x(t ) iy(t )}dt
f ( z(t ))z(t )dt
所以
C
f
(z)dz
f
( z(t ))z(t )dt
0
x
把 C 任意分割成n 个小弧段, 设分点
依次为 A z0 , z1 , , zk , , zn B，在
各小弧段zk1zk (k 1,2,...,n) 上任意取一点k , 并作和:
((
Sn
n
k 1
f
(k
)zk
记 Sk
zk1zk ,
max
1 k n
{Sk
}
其中 z k
z k
z k
。
1
则当 n 时, 0。
圆弧 :
z r(cos t i sin t), 0 t
例1
计算
Cபைடு நூலகம்
(z
dz z0
)n1
,其中C为以
z0
为中心,
r 为半径的正向圆周, n 为整数
解 : C 的参数方程 : z z0 reit , 0 t 2 dz ireitdt
dz
ri e dt C (z z0 )n1
注意: 定积分下、上限分别对应 C 的起点和终点。
常见曲线的参数方程：
直线段:
z x iy
1
1
1
z x iy
2
2
2
直角坐标系下参数方程为:
y
x
y
x1 y1
t( t(
x2 y2
x1 ) , y1 )
0 t 1
z 1
z 2 x
复数形式：z z(t) x(t) iy(t) z1 t(z2 z1 ), 0 t 1