数学建模第二章作业标准答案章绍辉
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绘图的程序
p=@(t)12-0.08*t+0.0002*t.^2。
figure(1)
n=400。
plot([0,n],[12,12-0.08*n],'k:',...
0:.1:n,p(0:.1:n),'k')
axis([0,400,0,20])
title('模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较')
解答
（1）“两秒准则”表明前后车距与车速成正比例关系.引入以下符号：
D～前后车距（m）；v～车速（m/s）；
于是“两秒准则”的数学模型为 .与“一车长度准则”相比是否一样，依赖于一车长度的选取.
比较 与 ，得：
所以当 （约合54.43 km/h）时，有d<D，即前后车距大于刹车距离的理论值，可认为足够安全；当 时，有d>D，即前后车距小于刹车距离的理论值，不够安全.也就是说，“两秒准则”适用于车速不算很快的情况.
20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]。
d2=0.3048.*d2。
k1=0.75。k2=0.082678。K2=2。
d1=[v。v。v].*k1。
d=d1+d2。
plot([0,40],[0,K2*40],'k')
hold on
（1）试比较(1)式与(2.3.1)式，解释新的假设和原来的假设的区别与联系；
（2）在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润；
（3）作灵敏度分析，分别考虑h对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响；
（4）讨论模型关于价格假设的强健性.
解答一（用MATLAB数值计算）
（1）比较(1)式与(2.3.1)式，(1)式表明价格先降后升，(2.3.1)式假设价格匀速下降，(1)式更接近实际（图3）.两个假设都满足 ，在最佳出售时机附近误差微小（图4）.
legend('t秒准则','刹车距离理论值',...
'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)
hold on
plot([10,35]*0.44704,2*[10,35]*0.44704,'k',...
[35,60]*0.44704,3*[35,60]*0.44704,'k',...
[60,75]*0.44704,4*[60,75]*0.44704,'k')
legend('p(0) - g t (1)式',...
'p(0) - g t + h t^2 (2.3.1)式')
xlabel('t（天）')
ylabel('p（元/公斤）')
figure(2)
n=20。
plot([0,n],[12,12-0.08*n],'k:',...
车速(mph)
车速(m/s)
最大刹车距离(m)
尾随时间(s)
20
8.9408
13.411
1.5
25
11.176
17.831
1.5955
30
13.411
23.774
1.7727
35
15.646
29.413
1.8799
40
17.882
37.795
2.1136
45
20.117
46.482
2.3106
50
22.352
35～60
60～75
t (s)
1ห้องสมุดไป่ตู้
2
3
4
绘制图2的MATLAB程序：
v=(20:5:80).*0.44704。
d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334
22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418
20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]。
d2=0.3048.*d2。
k1=0.75。k2=0.082678。
d=d2+[v。v。v].*k1。
vi=0:40。
plot([0,10*0.44704],[0,10*0.44704],'k',...
vi,k1.*vi+k2.*vi.*vi,'k:',...
[v。v。v],d,'ok','MarkerSize',2)
title('t秒准则，刹车距离的模型和数据')
xlabel('车速v（m/s）')
ylabel('距离（m）')
hold off
图2
4.继续考虑2.3节“生猪出售时机”案例，假设在第t天的生猪出售的市场价格（元/公斤）为
(1)
其中h为价格的平稳率，取h=0.0002.其它模型假设和参数取值保持不变.
56.693
2.5364
55
24.587
68.732
2.7955
60
26.822
81.686
3.0455
65
29.058
96.469
3.3199
70
31.293
113.39
3.6234
75
33.528
132.74
3.9591
80
35.763
154.23
4.3125
表2t秒准则
车速(mph)
0～10
10～35
xlabel('车速v（m/s）')
ylabel('距离（m）')
hold off
图1
（2）用最大刹车距离除以车速，得到最大刹车距离所需要的尾随时间（表1），并以尾随时间为依据，提出更安全的“t秒准则”（表2）——后车司机根据车速快慢的范围，从前车经过某一标志开始，默数t秒钟之后到达同一标志.
表1尾随时间
plot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':k')
plot([v。v。v],d,'ok','MarkerSize',2)
title('比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则')
legend('两秒准则','刹车距离理论值',...
'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)
另外，还可以通过绘图直观的解释“两秒准则”够不够安全.用以下MATLAB程序把刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中（图1）.
v=(20:5:80).*0.44704。
d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334
22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418
习题2作业讲评
1.继续考虑2.2节的“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？（“两秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后到达同一标志，而不管车速如何.刹车距离与车速的经验公式 ，速度单位为m/s，距离单位为m）
p=@(t)12-0.08*t+0.0002*t.^2。
figure(1)
n=400。
plot([0,n],[12,12-0.08*n],'k:',...
0:.1:n,p(0:.1:n),'k')
axis([0,400,0,20])
title('模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较')
解答
（1）“两秒准则”表明前后车距与车速成正比例关系.引入以下符号：
D～前后车距（m）；v～车速（m/s）；
于是“两秒准则”的数学模型为 .与“一车长度准则”相比是否一样，依赖于一车长度的选取.
比较 与 ，得：
所以当 （约合54.43 km/h）时，有d<D，即前后车距大于刹车距离的理论值，可认为足够安全；当 时，有d>D，即前后车距小于刹车距离的理论值，不够安全.也就是说，“两秒准则”适用于车速不算很快的情况.
20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]。
d2=0.3048.*d2。
k1=0.75。k2=0.082678。K2=2。
d1=[v。v。v].*k1。
d=d1+d2。
plot([0,40],[0,K2*40],'k')
hold on
（1）试比较(1)式与(2.3.1)式，解释新的假设和原来的假设的区别与联系；
（2）在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润；
（3）作灵敏度分析，分别考虑h对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响；
（4）讨论模型关于价格假设的强健性.
解答一（用MATLAB数值计算）
（1）比较(1)式与(2.3.1)式，(1)式表明价格先降后升，(2.3.1)式假设价格匀速下降，(1)式更接近实际（图3）.两个假设都满足 ，在最佳出售时机附近误差微小（图4）.
legend('t秒准则','刹车距离理论值',...
'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)
hold on
plot([10,35]*0.44704,2*[10,35]*0.44704,'k',...
[35,60]*0.44704,3*[35,60]*0.44704,'k',...
[60,75]*0.44704,4*[60,75]*0.44704,'k')
legend('p(0) - g t (1)式',...
'p(0) - g t + h t^2 (2.3.1)式')
xlabel('t（天）')
ylabel('p（元/公斤）')
figure(2)
n=20。
plot([0,n],[12,12-0.08*n],'k:',...
车速(mph)
车速(m/s)
最大刹车距离(m)
尾随时间(s)
20
8.9408
13.411
1.5
25
11.176
17.831
1.5955
30
13.411
23.774
1.7727
35
15.646
29.413
1.8799
40
17.882
37.795
2.1136
45
20.117
46.482
2.3106
50
22.352
35～60
60～75
t (s)
1ห้องสมุดไป่ตู้
2
3
4
绘制图2的MATLAB程序：
v=(20:5:80).*0.44704。
d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334
22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418
20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]。
d2=0.3048.*d2。
k1=0.75。k2=0.082678。
d=d2+[v。v。v].*k1。
vi=0:40。
plot([0,10*0.44704],[0,10*0.44704],'k',...
vi,k1.*vi+k2.*vi.*vi,'k:',...
[v。v。v],d,'ok','MarkerSize',2)
title('t秒准则，刹车距离的模型和数据')
xlabel('车速v（m/s）')
ylabel('距离（m）')
hold off
图2
4.继续考虑2.3节“生猪出售时机”案例，假设在第t天的生猪出售的市场价格（元/公斤）为
(1)
其中h为价格的平稳率，取h=0.0002.其它模型假设和参数取值保持不变.
56.693
2.5364
55
24.587
68.732
2.7955
60
26.822
81.686
3.0455
65
29.058
96.469
3.3199
70
31.293
113.39
3.6234
75
33.528
132.74
3.9591
80
35.763
154.23
4.3125
表2t秒准则
车速(mph)
0～10
10～35
xlabel('车速v（m/s）')
ylabel('距离（m）')
hold off
图1
（2）用最大刹车距离除以车速，得到最大刹车距离所需要的尾随时间（表1），并以尾随时间为依据，提出更安全的“t秒准则”（表2）——后车司机根据车速快慢的范围，从前车经过某一标志开始，默数t秒钟之后到达同一标志.
表1尾随时间
plot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':k')
plot([v。v。v],d,'ok','MarkerSize',2)
title('比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则')
legend('两秒准则','刹车距离理论值',...
'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)
另外，还可以通过绘图直观的解释“两秒准则”够不够安全.用以下MATLAB程序把刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中（图1）.
v=(20:5:80).*0.44704。
d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334
22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418
习题2作业讲评
1.继续考虑2.2节的“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？（“两秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后到达同一标志，而不管车速如何.刹车距离与车速的经验公式 ，速度单位为m/s，距离单位为m）