2014年成都树德中学自主招生考试数学答案

2014年成都市树德中学外地生招生考试数学答案

一、选择题：关10小题，每小题5分，共50分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1. C

2. B

3. B

4. B

5. B

6. B

7. D

8. A

9. A 10. D

A 卷 第Ⅱ卷（非选择题，共105分）

二、填空题：共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置． 11.4．

12.(2)(3)n n ++。 13.12

14．2

4a ， 79．

15．4.

三、解答题：共6题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卡上的指定区域内）

16．（本题满分12分，每小题6分）计算： (1)实数x ，y ，z 满足x+

y

1

=4，y+z 1=l ，z+x 1=37，求

(xyz-sin 30°)2

+π-xyz °+324-的值；

提示把非负数化简

(

)2

42313-=

-

(2)一列数：a 1,a 2,......,a n ，记作{}n a ．如果从第二项起，每一项减去它的前一项，都等于一个常数d ；我们称它为公差为d 的等差数列，并记其前n 项和为S n ，若已知某等差数列{}n a 前n 项和为S n 满足，S 10-S 3=21，求S 13. 1234n n s a a a a a =++++⋅⋅⋅+ ()

12

n n a a n

s +=

()11n a a n d =+-

[]12(1)2

n a n d n s +-=

故有 103

174221s

s a d -=+= 163a d +=

而()()11312121313

6392

a d s a d +=

=+=

17.（本题满分l2分）设实数a>0,b>0，则有2

b

a +≥a

b ，当且仅当a=b 时等号成立，我们称它为基本不等式（均值定理） (1)证明此定理；

(2)利用此定理，当x>0时，求x+

x 1的最小值过程如下：“令a=x,b=x 1，则x+x 1≥2x

1

⋅x =2， 当且仅当x=x 1即x=1时取等号，即x+x 1的最小值为2.”，仿照此过程，求函数y=

1

6

32+++x x x （x ＞-1）的最小值。

证明 ：（1） ()2

2202x y x y xy ≤-=+- 222xy x y ≤+ 令 2

x a = 2y b =

2a b a b ≤+ 即 2

a b

ab +≤

（2） 2236(1)54

11111

x x x x y x x x x +++++=

==++++++ 所以：

()4

2

1151

y x x ≥+⨯

+=+ 当且仅当411x x +=

+ x=1 (x>0)

18.（本题满分13分）暑假期间，某甜品店为了回馈顾客和促销，准备推出掷骰予（投掷各方面数字为1到6的均匀正方体看面朝上的点数）赢积分券的活动，游戏规则如下：顾客每次消费后，可同时投掷两枚骰子一次，两枚骰子点数之和记作a ，两枚骰子点数之差的绝对值记作x ，若0≤x ≤2，则n=x ；

若3≤x ≤5，则n=x-3：顾客获得的奖券金额为a n

元，用于在以后来店消费中抵用现金． (1)用树状图或列表法写出a 的所有结果； (2)计算顾客获得1元奖券的概率；

(3)计算顾客获得100元以上（含100元）奖券的概率

答案略

19．（本题满分13分）设三角形ABC 的三边BC, CA, AB 长度分别为a,b,c ． (1)比较b 2

+2ac 与a 2

+c 2

的大小；

(2)证明：关于x 的方程x

x x 232+-+a 2+c 2-b 2

-2ac=0不存在满足1< x 0 <2的实数根 x 0；

(3)公式一：“△ABC 三内角A,B,C 对的边分别为a,b,c ，则其面积

S=

21absinC=21bcsinA=2

1

casinB ”，我们称其为正弦定理的面积公式；公式二：“sin 2θ= 2sin θcos θ”，我们称其为二倍角公式，以上两公式中角在0°—180°时均成立．根据以上公式：设△ABC 中，∠A= 2θ，∠A 的平分线交BC 于P ，AP=m ，请由此推导角平分线段长度公式(即用b,c,θ表示出m)，并写出过程。

（1） 由余弦定理知： 222

2cos b a c ac θ=+-

故 ()()()

22222

()22cos 22cos 20a c b ac b ac b ac ac ac θθ+-+=+-+=-≤

2222a c b ac +≤+

（2） 原方程化为： ()

2222

2320x a c b a c x ++--

-+=

由（1）我们知 222

233a c b a c +---≤-

令 ()()

2222

232f x x a c b ac x =++---+ 即对称轴大于

3

2

开口向上 现用反证法证明 在（1，2）间没根，即假设在（1，2）有交点，开口向上又对称轴大于

32

，则在1与对称轴之间必有根， 得到()10f > 即 222

20a c b ac +--> 显然与第一题矛盾

（3）由正弦定理知道： 1

s i n 21

s i n 21

s i n 2

2

ABP APC ABC s cm s mb s bc θ

θθ∆∆∆=== 又ABC ABP APC s s s ∆∆∆=+

即：

111s i n s i n s i n 222

b c c m b m θθθ=+ 又二倍角公式 sin 22sin cos θθθ= 知道 2cos bc m c b

θ

=+

20．（本题满分15分）如图，函数y=

x

1x 2

+bx+c 的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC 、AC ．若AB 和OC 的长均为9，且AO< BO ， (1)求b,c;

(2)点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D.设AE 的长为m ，△ADE 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并写出自变量拼的取值范围；

(3)在(2)的条件下，连接CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．

文中抛物线方程给错，类似题属于考察一元二次函数根，图像以及相关性质，在综合题中往往会结合其他知识点，如最值等

答案略