洛伦兹力计算难题01附答案

洛伦兹力计算题专题一
1．如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为L。

第一、四象限有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于Oxy平面向里。

位于极板左侧的粒子源沿x 轴向右连接发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子。

在0~3t0时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）。

已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时刻经极板边缘射入磁场。

上述m、q、L、t0、B为已知量。

（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）
（1）求电压U0的大小。

（2）求t0/2时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。

（3
）何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间。

2．如图所示，在xoy0的区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=0．32T，0≤x＜2．56m的区域有沿-x方向的匀强电场．在x S点有一粒子源，它一次能
速率v=1．6×106m/s的带正电粒子．若
粒子源只发射一次，其中只有一个粒子Z刚好能到达电场的右边界，不计粒子的重力和粒子间的相互作用．求：
（1）带电粒子在磁场中运动的轨道半径r及周期T
（2）电场强度的大小E及Z粒子从S点发射时的速度方向与磁场左边界的夹角θ
（3）Z粒子第一次刚进入电场时，还未离开过磁场的粒子占粒子总数的比例η
y
3．电视机显像管（抽成真空玻璃管）的成像原理主要是靠电子枪产生高速电子束，并在变化的磁场作用下发生偏转，打在荧光屏不同位置上发出荧光而成像。

显像管的原理示意图（俯视图）如图甲所示，在电子枪右侧的偏转线圈可以产生使电子束沿纸面发生偏转的磁场（如图乙所示），其磁感应强度B=μNI，式中μ为磁常量，N为螺线管线圈的匝数，I为线圈中电流的大小。

由于电子的速度极大，同一电子穿过磁场过程中可认为磁场没有变化，是稳定的匀强磁场。

已知电子质量为m，电荷量为e，电子枪加速电压为U，磁通量为μ，螺线管线圈的匝数为N，偏转磁场区域的半径为r，其圆心为O点。

当没有磁场时，电子束通过O点，打在荧光屏正中的M点，O点到荧光屏中心的距离OM=L。

若电子被加速前的初速度和所受的重力、电子间的相互作用力以及地磁场对电子束的影响均可忽略不计，不考虑相对论效应以及磁场变化所激发的电场对电子束的作用。

（1）求电子束经偏转磁场后打到荧光屏上P点时的速率；
I （2）若电子束经偏转磁场后速度的偏转角 =60°，求此种情况下电子穿过磁场时，螺线管线圈中电流
0的大小；
（3）当线圈中通入如图丙所示的电流，其最大值为第（2）问中电流的0．5倍，求电子束打在荧光屏上发光形成“亮线”的长度。

4．正负电子对撞机是使正负电子以相同速率对撞（撞前速度在同一直线上的碰撞）并进行高能物理研究的实验装置（如图甲），该装置一般由高能加速器（同步加速器或直线加速器）、环形储存室（把高能加速器在不同时间加速出来的电子束进行积累的环形真空室）和对撞测量区（对撞时发生的新粒子、新现象进行测量）三个部分组成．为了使正负电子在测量区内不同位置进行对撞，在对撞测量区内设置两个方向相反的匀强磁场区域．对撞区域设计的简化原理如图乙所示：MN和PQ为足够长的竖直边界，水平边界EF将整个区域分成上下两部分，Ⅰ区域的磁场方向垂直纸面向内，Ⅱ区域的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小均为B．现有一对正负电子以相同速率分别从注入口C和注入口D同时水平射入，在对撞测量区发生对撞．已知两注入口到EF的距离均为d，边界MN和PQ的间距为L，正电子的质量为m，电量为+e，负电子的质量为m，电量为-e．
（1）试判断从注入口C入射的是正电子还是负电子；
（2）若，要使正负电子经过水平边界EF一次后对撞，求正负电子注入时的初速度大小；
（3）若只从注入口C射入电子，间距L=13（d，要使电子从PQ边界飞出，求电子射入的最小速
5．在竖直平面内建立一平面直角坐标系xoy ，x 轴沿水平方向，如图甲所示．第二象限内有一水平向右的匀强电场，场强为E 1．坐标系的第一、四象限内有一正交的匀强电场和匀强交变磁场，电场方向竖直向上，
场强E 21，匀强磁场方向垂直纸面．处在第三象限的发射装置（图中未画出）=102
C/kg 的带正电的粒子（可视为质点），该粒子以v 0=4m/s 的速度从－x 上的A 点进入第二象限，并以v 1=8m/s 速度从＋y 上的C 点沿水平方向进入第一象限．取粒子刚进入第一象限的时刻为0时刻，磁感应强
度按图乙所示规律变化（以垂直纸面向外的磁场方向为正方向），g=10 m/s 2
．试求：
（1）带电粒子运动到C 点的纵坐标值h 及电场强度E 1；
（2）＋x 轴上有一点D ，OD=OC ，若带电粒子在通过C 点后的运动过程中不再越过y 轴，要使其恰能沿x 轴正方向通过D 点，求磁感应强度B 0及其磁场的变化周期T 0；
（3）要使带电粒子通过C 点后的运动过程中不再越过y 轴，求交变磁场磁感应强度B 0和变化周期T 0的乘积00T B 应满足的关系．
6．正负电子对撞机是使正负电子以相同速率对撞（撞前速度在同一直线上的碰撞）并进行高能物理研究的实验装置（如图甲），该装置一般由高能加速器（同步加速器或直线加速器）、环形储存室（把高能加速器在不同时间加速出来的电子束进行积累的环形真空室）和对撞测量区（对撞时发生的新粒子、新现象进行测量）三个部分组成．为了使正负电子在测量区内不同位置进行对撞，在对撞测量区内设置两个方向相反的匀强磁场区域．对撞区域设计的简化原理如图乙所示：MN 和PQ 为足够长的竖直边界，水平边界EF 将整个区域分成上下两部分，Ⅰ区域的磁场方向垂直纸面向内，Ⅱ区域的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小均为B ．现有一对正负电子以相同速率分别从注入口C 和注入口D 同时水平射入，在对撞测量区发生对撞．已知两注入口到EF 的距离均为d ，边界MN 和PQ 的间距为L ，正电子的质量为m ，电量为+e ，负电子的质量为m ，电量为-e ．
（1）试判断从注入口C 入射的是正电子还是负电子；
（2）若，要使正负电子经过水平边界EF 一次后对撞，求正负电子注入时的初速度大小；
（3）若只从注入口C 射入电子，间距L=13（d ，要使电子从PQ 边界飞出，求电子射入的最小速率，及以此速度入射到从PQ 边界飞出所需的时间．
7．如图所示，MN、PQ是平行金属板，板长为L，两板间距离为d，在PQ板的上方有垂直纸面向里的匀强磁场．一个电荷量为q、质量为m的带负电粒子以速度v0从MN板边缘沿平行于板的方向射入两板间，结果粒子恰好从PQ板左边缘飞进磁场，然后又恰好从PQ板的右边缘飞进电场．不计粒子重力．试求：
（1）两金属板间所加电压U的大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小．
8．一半径为R的圆筒的横截面如图所示，其圆心为O．筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．圆筒下面有相距为d的平行金属板M、N，M、N板接在如图所示的电路中，电源内阻为r0，定值电阻阻值为R1．当滑动变阻器R连入电路的电阻为0．质量为m、电荷量为q的带正电粒子自M板边缘的P处由静止释放，经N板的小孔S沿半径SO方向射入磁场中，粒子与圆筒发生两次碰撞后仍从S孔射出，设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计重力的情况下，
（1）求M、N间电场强度E的大小和电源电动势E0的大小；
（2）保持M、N的距离不变，移动滑动变阻器的滑片，粒子仍从M板边缘的P处由静止释放，粒子进入圆筒与圆筒发生多次碰撞转一周后仍从S孔射出，求滑动变阻器连入电路的电阻R0应满足的关系．
9．如图a所示，匀强磁场垂直于xOy平面，磁感应强度B1按图b所示规律变化（垂直于纸面向外为正）．t=0
的带正电粒子从原点沿y轴正方向射入，速度大小4
v=⨯，不计粒
510m/s
子重力．
（1）求带电粒子在匀强磁场中运动的轨道半径．
（2
（3）保持b中磁场不变，再加一垂直于xOy平面向外的恒定匀强磁场B2，其磁感应强度为0．3T，在t=0时，粒子仍以原来的速度从原点射入，求粒子回到坐标原点的时刻．
10．如图所示的区域中，第二象限为垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，第一、第四象限是一个
υ沿电场强度大小未知的匀强电场，其方向如图，一个质量为m，电荷量为+q的带电粒子从P孔以初速度
0垂直于磁场方向进入匀强磁场中，初速度方向与边界线的夹角θ=30°，粒子恰好从y轴上的C孔垂直于匀强电场射入匀强电场，经过x轴的Q点，已知OQ=OP，不计粒子的重力，求：
（1）粒子从P运动到C所用的时间t；
（2）电场强度E的大小；
（3）粒子到达Q点的动能E K．
11R，圆心O与A端在同一竖
直线上，在OA
个质量为m、电荷量为＋q的小球（可视为质点）从圆筒的C端由静止释放，进入OA连线右边的区域后从该区域的边界水平射出，然后，刚好从C端射入圆筒，圆筒的内径很小，可以忽略不计。

（1）小球第一次运动到A端时，对轨道的压力为多大？
（2）匀强磁场的磁感应强度为多大？
12．如图所示的xOy坐标系中，Y轴右侧空间存在范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于xOy平面向外．Q l、Q2两点的坐标分别为（0，L）、（0，﹣L），坐标为（﹣L，0）处的C点固定一
平行于y轴放置的绝缘弹性挡板，C为挡板中点．带电粒子与弹性绝缘挡板碰撞前后，沿y轴方向分速度不变，沿x轴方向分速度反向，大小不变．现有质量为m，电量为+q的粒子，在P点沿PQ1方向进入磁场，α=30°，不计粒子重力．
（1）若粒子从点Q1直接通过点Q2，求粒子初速度大小．
（2）若粒子从点Q1直接通过点O，求粒子第一次经过x轴的交点坐标．
（3）若粒子与挡板碰撞两次并能回到P点，求粒子初速度大小及挡板的最小长度．
13．如图所示，边长为L的正方形区域ABCD内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，E点位于CD边上，且
，三个完全相同的带电粒子1、2、3分别以大小不同的初速度1υ、2υ、3υ从A点沿AB方向射入该磁场区域，经磁场偏转后粒子1、2、3分别从C点、E点、D点射出．若1t、2t、
t分别表示粒子1、2、3在磁场中的运动时间．则以下判断正确的是
3
A．1υ∶2υ∶3υ=6∶2B．1υ∶2υ∶3υ=4∶3∶2
C．1t∶2t∶3t=2∶3∶4 D．1t∶2t∶3t=3∶4∶6
14．如图所示，直角坐标系xOy 位于竖直平面内，的区域内有磁感应强度大小B = 4．0×10-4
T 、方向垂直于纸面向里的条形匀强磁场，其左边界与x 轴交于P 点；在x ＞0的区域内有电场强度大小E = 4N/C 、
方向沿y 轴正方向的条形匀强电场，其宽度d = 2m 。

一质量m = 6．4×10-27kg 、电荷量q =-3．2×10-19
C
的带电粒子从P 点以速度v = 4×104
m/s ，沿与x 轴正方向成α=60°角射入磁场，经磁场、电场偏转最终通过x 轴上的Q 点（图中未标出），不计粒子重力。

求： （1）带电粒子在磁场中运动的轨道半径； （2）带电粒子在磁场中的运动时间；
（3）当电场左边界与y 轴重合时Q 点的横坐标；
（4）若只改变上述电场强度的大小，要求带电粒子仍能通过Q 点，讨论此电场左边界的横坐标x′与电场强度的大小E′的函数关系。

15．如图（a ）所示，水平放置的平行金属板A 、B 间加直流电压U ， A 板正上方有 “V”字型足够长的绝缘弹性挡板．在挡板间加垂直纸面的交变磁场，磁感应强度随时间变化如图（b ），垂直纸面向里为磁场正
方向，其中1B B =，2B 未知．不计重力的带正电粒子从靠近B 板的C 点静止释放，t=0时刻，粒子刚好从小孔O 进入上方磁场中，在 t 1时刻粒子第一次撞到左挡板，紧接着在t 1＋t 2时刻（t 1、t 2 均为末知）粒子撞到右挡板，然后粒子又从O 点竖直向下返回C 点．此后粒子立即重复上述过程，做周期性运动。

粒子与挡板碰撞前后电量不变，沿板的分速度不变，垂直板的分速度大小不变、方向相反，不计碰撞的时间及磁场变化产生的感应影响．求： （1）粒子第一次到达O 点时的速率； （2）图中B 2的大小；
（3）金属板A 和B 间的距离d ．
16．“太空粒子探测器”是安装在国际空间站上的一种粒子物理试验设备，用于探测宇宙中的奇异物质。

该设备的原理可简化如下：如图所示，辐射状的加速电场区域边界为两个同心平行半圆弧面MN和M′N′，圆心为O，弧面MN与弧面M′N′间的电势差设为U，在加速电场的右边有一宽度为L的足够长的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，磁场的右边界放有一足够长的荧光屏PQ。

假设太空中漂浮着质量为m，电荷量为q的带正电粒子，它们能均匀地吸附到MN圆弧面上，并被加速电场从静止开始加速，不计粒子间的相互作用和其它星球对粒子引力的影响。

（1U；
（2O点到达荧光屏PQ的最短时间；
（3PQ上发光的长度。

17．在图所示的坐标系中，x轴水平，y轴垂直，x轴上方空间只存在重力场，第Ⅲ象限存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直xy平面向里的匀强磁场，在第Ⅳ象限由沿x轴负方向的匀强电场，场强大小与第Ⅲ象限存在的电场的场强大小相等。

一质量为m，带电荷量大小为q的质点a，从y轴上y=h处的P1点以一定的水平速度沿x轴负方向抛出，它经过x= -2h处的P2点进入第Ⅲ象限，恰好做匀速圆周运动，又经过y轴上方y= -2h的P3点进入第Ⅳ象限，试求：
（1）质点a到达P2点时速度的大小和方向；
（2）第Ⅲ象限中匀强电场的电场强度和匀强磁场的磁感应强度的大小；
（3）质点a进入第Ⅳ象限且速度减为零时的位置坐标
18．如图所示，两平行金属板右侧的平行直线A 1、A 2间，存在两个方向相反的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，以竖直面MN 为理想分界面。

两磁场区域的宽度相同，磁感应强度的大小均为B ，Ⅰ区的磁场方向垂直于纸面向
里。

一电子由静止开始，经板间电场加速后，以速度v 0垂直于磁场边界A 1间后，垂直于另一磁场边界A 2离开磁场。

已知电子的质量为m ，电荷量为e 。

（1）求每一磁场区域的宽度d ；
（2）若要保证电子能够从磁场右边界A 2穿出，加速度电压U 至少应大于多少？
（3）现撤去加速装置，使Ⅰ区域的磁感应强度变为2B ，电子仍以速率v 0从磁场边界AB 射入，并改变射入时的方向（其它条件不变），使得电子穿过Ⅰ区域的时间最短。

求电子穿过两区域的时间t 。

19．如图，光滑水平地面上方0x ≥的区域内存在着水平向内的匀强磁场，磁感应强度为0.5B T =。

有一长度为 2.0l m =内壁粗糙的绝缘试管竖直放置，试管底端有一可以视为质点的带电小球，小球质量为21.010m kg -=⨯，带电量为0.3q C =小球和试管内壁的滑动摩擦因数为0.5μ=。

开始时试管和小球以
0 1.0/s v m =的速度向右匀速运动，当试管进入磁场区域时对试管施加一外力作用使试管保持22.0/a m s =的
加速度向右做匀加速直线运动，小球经过一段时间离开试管。

运动过程中试管始终保持竖直，小球带电量始终不变，2/10g m s =，求：
（1）小球离开试管之前所受摩擦力f 和小球竖直分速度y v 间的函数关系（用各物理量的字母表示）。

（2）小球离开试管时的速度。

20．如图所示，在以O 1点为圆心且半径为r ＝0.10 m 的圆形区域内，存在着竖直向下、场强大小为E ＝43
×105
V/m 的匀强电场（图中未画出）。

圆的左端跟y 轴相切于直角坐标系原点O ，右端与一个足够大的荧光屏MN 相切于x 轴上的A 点。

一比荷q m ＝1.0×108
C/kg 的带正电粒子从坐标原点O 沿x 轴正方向入射，
粒子重力不计。

（1）若粒子在圆形区域的边界Q 点射出匀强电场区域，O 1A 与O 1Q 之间的夹角为θ＝60°，求粒子从坐标原点O 入射的初速度v 0；
（2）撤去电场，在该圆形区域内加一磁感应强度大小为B ＝0.15 T 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，且将该圆形磁场以过O 点并垂直于纸面的直线为轴，逆时针缓慢旋转90°，在此过程中不间断地射入题干中所述粒子，粒子入射的速度等于（1）中求出的v 0，求在此过程中打在荧光屏MN 上的粒子与A 点的最远距离。

21．科研人员利用电场和磁场控制带电粒子的运动，从而来进行粒子分选，其原理如图所示：真空环境中，由a 、b 、c 、d 四个平行界面分隔出的I 、Ⅱ、III 三个区域，宽度均为L=0.12 m 。

让包含两种不同的带正
电粒子组成的粒子束，从界面a 上的P 点以速度v 0=5×102
m ／s 垂直界面射入区域I ，两种粒子带电量均为
q=1×10-6C ，质量分别为m 1=3×10-10 kg 和m 2=4×10-10
kg 。

若在区域I 和III 分别加上垂直纸面、方向相反、磁感应强度大小均为B=1 T 的匀强磁场，粒子能分成两束从界面d 出射；若在区域I 和III 分别加上与界面平行、方向相反的匀强电场，粒子也能分成两束从界面d 出射。

不计粒子重力。

（1）求加磁场时两种粒子在界面d 上出射点之间的距离
（2）若加电场时两种粒子在界面d 上出射点之间的距离与加磁场时相等，求电场强度的大小
22．如图甲所示，平行正对金属板A 、B 间距为d ，板长为L ，板面水平，加电压 后其间匀强电场的场
方向竖直向上。

板间有周期性变化的匀强磁场，磁感应强度大小随时间变化的规律
如图乙所示，设磁感应强度垂直纸面向里为正方向。

T=0时刻，一带电粒子从电场左侧靠近B 板处(粒子与
极板不接触)以水平向右的初速度v 0开始做匀速直线运动。

己知B 1=0.2T ，B 2=0.1T ，g=10 m ／s 2。

(1)判断粒子的电性并求出粒子的比荷。

(2)若从t 0时刻起，经过3 s 的时间粒子速度再次变为水平向右，则t 0至少多大? πd 与L 比值的范围。

23．在直角坐标系xOy 的第一象限区域中，有沿y 轴正方向的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画）。

在x=4L 处垂直于x 轴放置一荧光屏，与x 轴的交点为Q 。

电子束以相同的速度v 从y 轴上0 2.5y L ≤≤的区间垂直于电场和磁场方向进入场区，所有电子均做匀速直线运动。

忽略电子间的相互作用力，不计重
力，电子的质量为m ，所带电量的绝对值为q （1）电场强度的大小；
（2）若撤去电场，并将磁场反向，求从y=0.5L 处射入的电子经多长时间打到荧光屏上；
（3）若撤去磁场，求电子打到荧光屏距Q 点的最远距离。

24．如图甲所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点（3L，0）为中心、边长为2L的正方形区域，其边界ab与x轴平行，正方形区域与x轴的交点分别为M、N.在该正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，现有一质量为m，带电量为e的电子，从y轴上的A点以速度v0沿x轴正方向射入电场，飞出电场后从x点以与x轴夹角为30°的方向进入正方形区域，并恰好从d点射出．
（1）求匀强电场E的大小；
（2）求匀强磁场B的大小；
（3）若当电子到达M点时，在正方形区域换加如图乙所示周期性变化的磁场（以垂直于纸面向外为磁场正方向），最后电子运动一段时间后从N点飞出，求正方形磁场区域磁感应强度B0大小的表达式、磁场变化周期T与B0的关系式．
25．如图所示，足够大的平行挡板
A、竖直放置，间距为5L。

两板间存在两个方向相反的匀强磁场区
1
域Ⅰ和Ⅱ，磁感应强度大小分别为B水平面MN为理想分界面。

A、2A上各有位置正对的小孔1S、
1
S，两孔与分界面MN的距离均为L。

一质量为m、电荷量为q 的粒子经宽度为d的匀强电场由静止加速2
后，沿水平方向从
S进入区域Ⅰ，粒子重力忽略不计。

1
（1）要使粒子不能打到挡板
A上，求匀强电场的电场强度E的最小值。

1
（2）若粒子能沿水平方向从
S射出，求粒子在磁场中速度大小的所有可能值。

2
参考答案
1．（1
（2
（3）02t 时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短，最短时间为2．（1）0．1m ; 71.2510s π-⨯（2）1．0×104
（3
3．（1
2
3
4．（1）负（2
3
5．（1）0.8h m =、C N E /2.01=（2）.....)3,2,1)((2.00==n T n B
、（3
6．（1）负（2
3
7．（1）两金属板间所加电压U=
； （2）匀强磁场的磁感应强度 8．（1）M 、N 间电场强度E 的大小为，电源电动势E 0
的大小为；
（2）滑动变阻器连入电路的电阻R 0应满足的关系为：（n=2，3，4…）
9．（1）1m （2）（3．
41m ，-1．41m ） （3 422(1)10s t n π-
=+⨯ （n=0,1,2,…） 10．（
12
311．（1）mg F N
4=；（212．（1）粒子初速度大小为
； （2）粒子第一次经过x 轴的交点坐标为（）
13．D 14．（1）2m （2）55.2310t s -=
⨯（3）5．0m （4
15．（12）2B （3，0,1,2,n =⋅⋅⋅⋅⋅
16．（1
2
3
17．（1），方向与x 轴负向夹角45°（2）E =mg/q ；
B =
3）（h,-h ） 18．（1
2
3
【答案】（1）(+)y f qv B ma μ= （2）5.0m/s ，与水平方向夹角为20．（1）3×106 m/s （2）
21．（1）0.11m （2）31.145810/V m ⨯
22．（1）正电；5/C kg π （2
（3
n=1,2,3，…. 23．（1
（2
（3）4L 24．（1
（2
（3
n=1,2,3,……）
【答案】(1)E min ＝25qB 2L 2162md (2)v 1＝qBL m 或v 2＝5qBL 8m 或v 3＝5qBL 9m。