电路原理 第三章

第三章电阻电路的一般分析
一、教学基本要求
电路的一般分析是指方程分析法，是以电路元件的约束特性（VCR）和电路的拓补约束特性（KCL、KVL）为依据，建立以支路电流或回路电流或结点电压为变量的电路方程组，解出所求的电压、电流和功率。

方程分析法的特点是：（1）具有普遍适用性，即无论线性和非线性电路都适用；（2）具有系统性，表现在不改变电路结构，应用KCL，KVL，元件的VCR建立电路变量方程，方程的建立有一套固定不变的步骤和格式，便于编程和用计算机计算。

本章学习的内容有：电路的图，KCL和KVL的独立方程数，支路电流法，网孔电流法，回路电流法，结点电压法。

本章内容以基尔霍夫定律为基础。

介绍的支路电流法、回路电流法和节点电压法适用于所有线性电路问题的分析，在后面章节中都要用到。

内容重点：
会用观察电路的方法，熟练应用支路电流法，回路电流法，结点电压法的“方程通式”写出支路电流方程，回路电流方程，结点电压方程，并求解。

预习知识：
线性代数方程的求解
难点：
1. 独立回路的确定
2. 正确理解每一种方法的依据
3. 含独立电流源和受控电流源的电路的回路电流方程的列写
4. 含独立电压源和受控电压源的电路的结点电压方程的列写
二、学时安排总学时：6
三、教学内容
§3－1 电路的图
1. 网络图论
图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。

图论的概念由瑞士数学家欧拉最早提出，欧拉在1736年发表的论文《依据几何位置的解题方法》中应用图的方法讨论了各尼斯堡七桥难题，见图3.1a和b所示。

图3.1 a 哥尼斯堡七桥 b 对应的图
19～20世纪，图论主要研究一些游戏问题和古老的难题，如哈密顿图及四色问题。

1847年，基尔霍夫首先用图论来分析电网络，如今在电工领域，图论被用于网络分析和综合、通讯网络与开关网络的设计、集成电路布局及故障诊断、计算机结构设计及编译技术等等。

2. 电路的图
电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应，如图3.2所示，所以电路的图是点线的集合。

通常将电压源与无源元件的串联、电流源与无源元件的并联作为复合支路用一条支路表示。

如图3.2c所示。

a 电路图
b 电路的图
(一个元件作为一条支路)
c 电路的图
(采用复合支路)
图3.2电路和电路的图
有向图――标定了支路方向（电流的方向）的图为有向图。

连通图――图G的任意两节点间至少有一条路经时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。

图3.3 有向图
图3.4 非连通图
图3.5 连通图
子图――若图G1中所有支路和结点都是图G 中的支路和结点，则称G1是图G 的子
图。

a 电路的图（G ）
b G 图的子图
c G 图的子图
图3.6
树（T ）——树（T ）是连通图G 的一个子图，且满足下列条件： (1) 连通；(2)包含图G 中所有结点；(3)不含闭合路径。

构成树的支路称树枝；属于图G 而不属于树（T ）的支路称连支：
图3.7 电路的图与树的定义
需要指出的是：
1）对应一个图有很多的树；
2）树支的数目是一定的为结点数减一：bt=(n-1) 3）连枝数为 b l =b-bt=b-(n-1)
回路――回路L 是连通图G 的一个子图，构成一条闭合路径，并满足条件： (1)连通；(2)每个节点关联2条支路。

需要指出的是：
1）对应一个图有很多的回路；
2）基本回路的数目是一定的，为连支数；
3）对于平面电路，网孔数为基本回路数 l=b l =b-(n-1)
图3.8电路的图与回路定义
基本回路(单连支回路)――基本回路具有独占的一条连枝色，即基本回路具有别的回路所没有的一条支路。

图3.9 电路的图及其基本回路
结论：电路中结点、支路和基本回路关系为：支路数＝树枝数＋连支数＝结点数－1＋基本回路数b=n+l-1
例3－1图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。

解：
对应例图的三个树
对应三个树的基本回路
§3－2 KCL和KVL的独立方程数
1. KCL的独立方程数
对图中所示电路的图列出4个结点上的
KCL方程（设流出结点的电流为正，流入为负）：
结点①
结点②
结点③
结点④
把以上4个方程相加，满足：①＋②＋③＋④＝0
结论：n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个，即求解电路问题时，
只需选取n－1个结点来列出KCL方程。

2. KVL的独立方程数
根据基本回路的概念，可以证明KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1)
结论：n个结点、b条支路的电路, 独立的KCL和KVL方程数为：（n-1）+ b-(n-1)=b
§3－3 支路电流法
1. 支路电流法
以各支路电流为未知量列写独立电路方程分析电路的方法称为支路电流法。

对于有n个节点、b条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有b个。

只要列出b 个独立的电路方程，便可以求解这b个变量。

2. 支路电流方程的列写步骤
(1) 标定各支路电流（电压）的参考方向；
(2) 从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程
(3) 选择基本回路，结合元件的特性方程列写b-(n-1)个KVL方程
(4) 求解上述方程，得到b个支路电流；
(5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。

需要注意的是：
支路电流法列写的是KCL和KVL方程，所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于利用计算机求解。

人工计算时，适用于支路数不多的电路。

3. 支路电流方程的应用
例3－2求图示电路的各支路电流及电压源各自发出的功率。

解：(1)对结点a列KCL 方程：-I1-I2+I3=0
(2)对两个网孔列KVL 方程：
(3)求解上述方程：
I3=I1+I2=6-2=4
(4)电压源发出的功率：
P70=6×70=420W P6=-2×6=-12W
例3－3 列写图示电路的支路电流方程( 电路中含有理想电流源)
解1:(1)对结点 a 列 KCL 方程： -I 1-I 2+I 3=0
(2)选两个网孔为独立回路，设电流源两端电压为U ，列KVL 方程： 7I 1-11I 2=70-U
11I 2+7I 3=U
(3)由于多出一个未知量 U ，需增补一个方程： I 2=6A 求解以上方程可得各支路电流。

解2：由于支路电流I 2已知，故只需列写两个方程： (1)对结点 a 列KCL 方程： -I 1-6+I 3=0
(2)避开电流源支路取回路，如图b 选大回路列 KVL 方程： 7I 1-7I 3=70
解法 2 示意图
注：本例说明对含有理想电流源的电路，列写支路电流方程有两种方法，一是设电流源两端电压，把电流源看作电压源来列写方程，然后增补一个方程，即令电流源所在支路电流等于电流源的电流即可。

另一方法是避开电流源所在支路例方程，把电流源所在支路的电流作为已知。

例3－4 列写图示电路的支路电流方程( 电路中含有受控源)
解：(1)对结点 a 列 KCL 方程： -I 1-I 2+I 3=0
(2)选两个网孔为独立回路，列 KVL 方程： 7I 1-11I 2=70-5U
11I 2+7I 3=5U
(3)由于受控源的控制量 U 是未知量，需增补一个方程：U =7I 3 (4)整理以上方程，消去控制量 U -I 1-I 2+I 3=0
7I 1-11I 2+35I 3=70
11I 2-28I 3=0
注：本例求解过程说明对含有受控源的电路，方程列写需分两步：
(1) 先将受控源看作独立源列方程；
(2) 将控制量用支路电流表示，并代入所列的方程，消去控制变量。

§3－4 回路电流法
回路电流法的基本思想：
为减少未知量( 方程) 的个数，假想每个基本回路中有一个回路电流沿着构成该回路的各支路流动。

各支路电流用回路电流的线性组合表示。

来求得电路的解。

1. 回路电流法
以基本回路中的回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。

当取网孔电流为未知量时，称网孔法。

1）支路电流与回路电流的关系
上图所示电路有两个独立回路，选两个网孔为独立回路，设网孔电流沿顺时针方向流动，如图所示。

可以清楚的看出，当某支路只属于某一回路（或网孔），那么该支路电流就等于该回路（网孔）电流，如果某支路属于两个回路（或网孔）所共有，则该支路电流就等于流经该支路两回路（网孔）电流的代数和。

如上图电路中：
2）回路电流法列写的方程
回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点回路电流流进一次，必流出一次，所以回路电流自动满足KCL。

因此回路电流法是对基本回路列写KVL方程，方程数为：b-(n-1) 与支路电流法相比，方程数减少n-1个。

2.方程的列写
应用回路法分析电路的关键是如何简便、正确地列写出以回路电流为变量的回路电压方程。

以上图电路为例列写网孔的KVL方程，并从中归纳总结出简便列写回路KV方程的方法。

按网孔列写KVL 方程如下：
网孔1：R1i l1 + R2 (i l1- i l2 )-u s1+u s2=0
网孔2：
将以上方程按未知量顺序排列整理得：
(R
1+R
2
)i l1- R2i l2=u s1-u s2
-R
2i l1+(R2
+ R3)i l2= u s2观察方程可以看出如下规律：
第一个等式中，i l1前的系数(R1+R2)是网孔1中所有电阻之和，称它为网孔1的自电阻，用R11表示；i l2前的系数-R2是网孔1和网孔2公共支路上的电阻，称它为两个网孔的互电阻，用R12表示，由于流过R2的两个网孔电流方向相反，故R2前为负号；等式右端u s1-u s2表示网孔1中电压源的代数和，用u s11表示，u s11中各电压源的取号法则是，电压源的电压降落分向与回路电流方向一致的取负号，反之取正号。

用同样的方法可以得出等式2中的自电阻、互电阻和等效电压源分别为：
自电阻R22=(R2 + R3)互电阻R21= - R2等效电压源
由此得回路（网孔）电流方程的标准形式：
R 11 i l1+ R12i l2= u s11
R 21 i l1+ R22i l2= u s22
结论：对于具有l=b-(n -1) 个基本回路的电路，回路（网孔）电流方程的标准形式:
R 11 i l1+ R12i l2+···R1l i l l= u s11
R 21 i l1+ R22i l2+···R2l i l l = u s22
···
R
l1 i l1+ R l2i l2+···R ll i l l= u sll
其中: 自电阻R kk为正；
互电阻R jk＝R kj可正可负，当流过互电阻的两回路电流方向相同时为正，反之为负；等效电压源u Skk中的电压源电压方向与该回路电流方向一致时，取负号；反之取正号。

注：当电路不含受控源时，回路电流方程的系数矩阵为对称阵。

回路法的一般步骤：
(1) 选定l=b-(n -1)个基本回路，并确定其绕行方向；
(2) 对l个基本回路，以回路电流为未知量，列写KVL 方程；
(3) 求解上述方程，得到l个回路电流；
(4) 求各支路电流(用回路电流表示) ；
(5) 其它分析。

注：电路中含有理想电流源和受控源时，回路方程的列写参见例题。

3.回路法的应用
例3－5 列写如下电路的回路电流方程，说明如何求解电流i.
解1：
独立回路有三个。

选网孔为独立回路如图所示，
回路方程为：
(R s + R 1 + R 4) i 1- R 1 i 2 – R 4 i 3=U s
- R 1 i 1–(R 2+ R 1 + R 5) i 2– R 5 i 3= 0 - R 4 i 1–R 5 i 2 + (R 2+ R 1 + R 5) i 3–= 0
从以上方程中解出网孔电流1和网孔电流2， 则电流 i = i 2 –i 3
选网孔为独立回路
注：本题结果说明：
(1)不含受控源的线性网络，回路方程的系数矩阵为对称阵，满足 R j k = R kj 。

(2)当网孔电流均取顺时针或逆时针方向时，R kj 均为负。

解2：
为了减少计算量，可以只让一个回路电流经过R 5支路如图所示。

此时回路方程为：
(R s + R 1 + R 4) i 1- R 1 i 2 –(R 1+ R 4) i 3=U s - R 1 i 1–(R 2+ R 1 + R 5) i 2–(R 1+ R 2) i 3= 0
- R 4 i 1+ (R 1+ R 2) i 2 + (R 2+ R 1 + R 3+ R 4) i 3–= 0 从以上方程中解出网孔电流2，则电流 i = i 2
一个回路电流经过R 5支路
注：解法2的特点是计算量减少了，但互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻。

本题也说明独立回路的选取有多种方式，如何选取要根据所求解的问题具体分析。

例3－6 列写图中所示电路的回路电流方程( 电路中含有无伴理想电流源）。

解1：选取网孔为独立回路如图所示，
引入电流源电压U ，则回路方程为：
(R s + R 1 + R 4) i 1- R 1 i 2 – R 4 i 3=U s
- R 1 i 1–(R 2+ R 1) i 2 = U - R 4 i 1 + (R 3+ R 4) i 3–=- U
由于多出一个未知量 U ，需增补一个方程， 即增加回路电流和电流源电流的关系方程：
i s = i 2 –i 3
选取网孔为独立回路
解2：选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路如图所示,该回路电流等于I S 。

回路电流方程为：
(R s + R 1 + R 4) i 1- R 1 i 2 –(R 1+ R 4) i 3=U s
i s = i 2
电流源支路仅属于一个回路 注：本题说明对含有无伴理想电流源的电路，回路电流方程的列写有两种方式： •引入电流源电压U ，把电流源看作电压源列写方程，然后增补回路电流和电流源电流的关系方程，从而消去中间变量U 。

这种方法比较直观，但需增补方程，往往列写的方程数多。

•使理想电流源支路仅仅属于一个回路，该回路电流等于已知的电流源电流I S 。

这种方法列写的方程数少。

在一些有多个无伴电流源问题中，以上两种方法往往并用。

例3－７ 列写图示电路的回路电流方程( 电路中含有受控源)。

解：选网孔为独立回路如图所示，把受控电压源看作独立电压源列方程：
回路1 (R s+R1+R4)i1- R1i2– R4i3=U s 回路2 - R1i1+ (R2+R1)i2 = 5U
回路3- R4i1+ (R3+R4)i3–=-5U
由于受控源的控制量U是未知量，需增补一个方程：U = R3i3
整理以上方程消去控制量U得：
回路1 (R s+R1+R4)i1- R1i2– R4i3=U s 回路2- R1i1+ (R2+R1)i2 -5 R3i3= 0
回路3 - R4i1+ (R3+R4+5R3)i3–=0
选网孔为独立回路
例3
－8 列写图示电路的回路电流方程
解1：选网孔为独立回路如图所示，设电流源和受控电流源两端的电压分别为U2和U3，则回路电流方程为：
回路1 (R1+R3)i1– R3i3=-U2
回路2 R2i2=U2–U3
回路3 - R3i1+ (R3+R4+R5)i3–R5i4= 0 回路4 – R5i3+R5i4=U3–μU1
方程中多出U1、U2和U3三个变量，
需增补三个方程：
i s=i1–i2 – R1i1=U1 i4–
i2=gU1
选网孔为独立回路解2：独立回路的选取如图所示，回路方程为：
回路1 i s=i1
回路2 R1i1+ (R1+R4+R2)i2+R4i3=–μU1
回路3 -R3i1+ R4i2+(R3+R4+R5)i2–R5i4=0
回路4 i4=gU1
增补方程：– R1 (i 1–i2 )=U1
解法2 中的回路选取
例3－9 求电路中电压U ，电流I 和电压源产生的功率。

解：独立回路的选取如图所示，回路方程为：
回路1 i1=2A
回路2 i2=2A
回路3 i3=3A
回路4 6i4–3i1+i2 –4i3=-4
从中解得：i4=(6-2+12-4/6) =2A
则所求电流I = I1+I3- I4= 2+3-2=3A
电压2i4 +4=U=8V
电压源产生的功率P = 4×i4=-8W选取的独立回路
§3-5 结点电压法
结点电压法的基本思想：
选结点电压为未知量，可以减少方程个数。

结点电压自动满足KVL，仅列写KCL 方程就可以求解电路。

各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合。

求出结点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。

1.结点电压法
以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。

适用于结点较少的电路。

1）结点电压与支路电压的关系
在电路中，任选一结点作参考点：其余各结点与参考点之间的电压差称为相应各结点的电压(位)，方向为从独立结点指向参考结点。

如下图示电路，选下部结点为参考结点，设结点1，2，3的电位分别为u n1，u n2，u n3。

则支路1的电压为结点1的电压u n1，支路2的电压为结点1和结点2的电压差，依此类推，任一支路电压都可以用结点电压表示。

如图所示电路中各支路电压分别为：
u1= u n1 u2 = u n1- u n2
u3 = u n2- u n3 u4 = u n2
u5 = u n3 u6 = u n1- u n3
各支路电流通过支路电压可以求出。

如支路电流：
2）结点电压法列写的方程
观察上图可见，对电路中任何一个回路利用结点电压列KVL方程，每一个结点电压一定出现一次正号和一次负号。

如支路1，2，4构成的回路，KVL方程为：- u n1 +(u n1- u n2)+ u n2 = 0
以上说明结点电压自动满足KVL。

因此结点电压法是对结点列写KCL方程，方程数为(n-1)。

2.方程的列写
应用结点法分析电路的关键是如何简便、正确地列写出以结点电压为变量的方程。

以上页电路图为例列写结点上的KCL方程，并归纳总结出简便列写结点电压方程的方法。

对各结点列KCL 方程：
结点①i1+i2 =i s1+ i s6
结点②-i1+i3 +i4=o
结点③-i3+i5 =- i s6
把各支路电流用结点电压表示：
将以上方程按未知量顺序排列整理得：
令G k =1/R k ，k =1,2,3,4,5 。

上式简记为：
(G 1+ G 2)u n 1- G 2u n 2= i s 1 + i s 2
-G 2u n 1+ (G 3+ G 2+ G 4)u n 2-G 3u n 3= 0 -G 3u n 2+ (G 3+ G 5)u n 3 = -i s 2+ u s/ R 5
观察方程可以看出如下规律： 等式1中：
G 1+ G 2为接在结点1上所有支路的电导之和，称结点1的自电导，用G 11表示。

-G 2为结点1与结点2之间的互电导，应等于接在结点1与结点2之间的所有支路的电导之和，始终为负值，用G 12表示。

i S1 +i S 2为流入结点1的电流源电流的代数和，称为等效电流源，用i 11表示，
计算时以流入结点1的电流源为正，流出结点1的电流源为负。

用同样的方法可以得出等式2和等式3中的自电导、互电导和等效电流源分别为：
G 22= G 3+ G 2+ G 4 G 21= - G 2 G 23=-G 3 i 22= 0
G 33= G 3+ G 5
G 32= - G 3
G 31= 0
i 33=-i S 2+u s/ R 5
由此得结点电压方程的标准形式：
G 11u n 1+G 12u n 2= i S 11 G 21u n 1+G 22u n 2= 0 G 31u n 1+G 33u n 3= i S 33
结论：对于具有n 个结点的电路，结点电压方程的标准形式:
G11u n1+G12u n2+···G1n-1u n-1=i S11
G11u n1+G12u n2+···G2n-1u n-1=i S22
······
G11u n1+G12u n2+···G n-1n-1u n-1=i S n-1n-1
其中：
G ii—自电导，等于接在结点i上所有支路电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。

总为正。

G ij=G ji—互电导，等于接在结点i与结点j之间的所支路的电导之和，总为负。

i S ii—流入结点i的电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)
注：当电路不含受控源时，结点电压方程的系数矩阵为对称阵。

结点法的一般步骤：
(1) 选定参考结点，标定其余n-1个独立结点；
(2) 对n-1个独立结点，以结点电压为未知量，列写其KCL方程；
(3) 求解上述方程，得到n-1个结点电压；
(4) 求各支路电流(用结点电压表示) ；
(5) 其它分析。

注：电路中含有理想电压源和受控源时，结点电压方程的列写参见例题。

3.结点电压法的应用
例3－10 试列写图示电路的节点电压方程。

解：结点编号及参考结点的选取如图所示，结点电压方程为：
结点1 (G1+ G2+ G S)U n1- G1U n2- G S U n3=G S U S
结点2 -G1U n1+(G1+ G3+ G4)U n2- G4U n3=0
结点3 - G S U n1- G4U n2+(G4+ G5+ G S)U n3= -G S U S
例3－11 试列写图示电路的节点电压方程（图中含有无伴电压源支路）。

解1：结点编号及参考结点的选取如图所示，设流过电压源的电流为I ，把电压源看作电流源列写结点电压方程：
结点1 (G 1+ G 2)U n 1- G 1U n 2 = I
结点2 -G 1U n 1+ (G 1+ G 3+ G 4)U n 2- G 4U n 3= 0 结点3 - G 4U n 2+ (G 4+ G 5+ G S )U n 3= -I
由于所设电流I 是未知量，需增补一个方程，即增加结点电压和电压源电压的关系方程：
U n 1-U n 3= U S
解2：结点编号及参考结点的选取如图所示，
此时结点1的电压等于电压源的电压，结点电压方程为： 结点1 U n 1 = U S
结点2 -G 1U n 1+ (G 1+ G 3+ G 4)U n 2-
G 4U n 3= 0 结点3 -G 2U n 1- G 3U n 2+ (G 2+ G 5+ G 3)U n 3= 0
解法 2 中参考结点的设置
注：本题说明对含有无伴理想电压源的电路，结点电压方程的列写有两种方式： •引入电压源电流I ，把电压源看作电流源列写方程，然后增补结点电压和电压源电压的关系方程，从而消去中间变量I 。

这种方法比较直观，但需增补方程，往往列写的方程数多。

•选择合适的参考点，使无伴理想电压源电压等于某一结点电压 。

这种方法列写的方程数少。

在一些有多个无伴电压源问题中，以上两种方法往往并用。

例3－12 列写图示电路的结点电压方程（图中含有受控源）。

解：结点编号及参考结点的选取如图所示，先把受控源当作独立源列方程：
结点1
结点2
由于受控源的控制量U R2是未知量，需增补一个方程：u R2= u n1
整理以上方程消去控制量U R2得：
结点1
结点2
注：本题说明对含有受控电源的电路，可先把受控源看作独立电源列方程，再增补将控制量与结点电压的关系方程。

例3－13 列写图示电路的结点电压方程。

解：(1)结点编号及参考结点的选取如图所示，先把受控源当作独立源列方程：
结点1 u n1=ri
结点2
结点3
(2) 增补用结点电压与控制量的关系方程：u3 = -u n3
例3－14 列写图示电路的结点电压方程。

i= -u n2/R2
解：结点编号及参考结点的选取如图所示，结点电压方程为：
结点1u3 = 4V
结点2
结点3-0.5 u n2+(0.5+0.2) u n3 =3A
增补方程：U = u n3
注：本题说明：(1)与电流源串接的电阻或其它元件不参与列方程；
(2)支路中有多个电阻串联时，要先求出总电阻再列写方程。