第七章微分方程5,6,7,8节

2
2n
dx dt
k
2
x
0
(2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力
F H sin pt 作用，令 h H，则得强迫振动方程:
m
d2x dt2
2n
dx dt
k
2x
h sin
pt
例2. 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串
联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,
dy p ey dx
积分得 e y x C2 , 再由 y x0 0, 得C2 1
故所求特解为 1 e y x
在实际解高阶微分方程时，还可考虑一些配导数的技巧
例6. 求解 解：方程的左边可写成 故得：
分离变量后积分, 得原方程的通解
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分
dx C2
dx C1x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
二、 y f (x, y) 型的微分方程
例3. 求解 (1 x2 )y 2xy
y x0 1, y x0 3
解:
代入方程得
(1 x2 ) p 2x p 分离变量
积分得 ln p ln (1 x2 ) ln C1 , 利用 y x 0 3 , 得 C1 3,于是有 y 3(1 x2 )
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解: 取平衡时物体的位置为坐标原点,
建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).
o
(1) 自由振动情况. 物体所受的力有:
x
弹性恢复力
(虎克定律)
x
阻力
据牛顿第二定律得
令 2 n , k 2 c , 则得有阻尼自由振动方程:
m
m
d d
2
t
x
❖ 一阶微分方程内容回顾：
1、可分离变量方程 （主要步骤）
（1）分离变量: g( y)dy f ( x)dx
（2）两端积分: g( y)dy f ( x)dx
2、齐次方程 dy f ( y )
dx x
（解题思路：通过变量代换转化成可分离变量型）
主要步骤：u y ,再分离变量 x
引例1：求(1 x2) y 2x y的通解
令 y p(x) , 令 y p(y) ,
思考：
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
或
均可.
一般说, 用前者方便些.
有时用后者方便 . 例如,
2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?
答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.
(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
第六节 高阶线性微分方程
dx
非齐次线性方程的通解：
y e P( [ x)dx Q( x)e P( x)dxdx C ]
也可为
y Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx.
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
第七章 微分方程
第五节 可降阶的高阶微分方程
教学内容：
1
型的微分方程
2
型的微分方程
故有
L
C
d 2uC d t2
R C d uC dt
uC Em sin t
R
令
R 2L
,
ห้องสมุดไป่ตู้
0
1 LC
L
串联电路的振荡方程:
C q‖ q
d 2uC dt2
2
d uC dt
02uC
Em sin t
LC
i
E~
K
如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得
d 2uC d t2
2
d uC dt
例2.
解: y e2x cos x d x C1
1 2
e2x
sin
x
C1
y 1 e2x 4
cos x
C1x C2
y
1 e2x 8
sin
x
C1 x 2
C2 x
C3
推广：y(n) f (x) 型的微分方程
令 z y(n1) ,
因此
z f (x) dx C1
即
同理可得 y(n2)
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程) 故所求通解为
例5.
解初值问题
y e2y y x0
0 0 , y
x0
1
解:
令
dy dx
p ( y),
则
y
dp dy
p,
代入方程得
积分得
1 2
p2
1 2
e2
y
C1
利用初始条件, 得C1 0, 根据 p y0 y x0 1 0, 得
两端再积分得 y x3 3 x C2 利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
三、y f ( y, y) 型的微分方程
例4. 求解 解:
令 y p( y) , 则 y p d p d p d y d p p dx dy dx dy
代入方程得
3
型的微分方程
重点与难点
根据具体类型进行降阶
一、 y(n) f (x) 型的微分方程
1、
型的微分方程
对此类方程只需通过连续两次积分就可得到通解．
例1 求方程 y" cos x 的通解． 解 因为 y" cos x ，所以
y' cos xdx sin x C1 y (sin x C1)dx cos x C1x C2
02uC
0
例1 例2 方程的共性 — 可归结为同一形式:
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
教学内容：
1 二阶线性微分方程举例 2 线性齐次方程解的结构 3 线性非齐次方程解的结构
重点与难点
理解线性方程解的结构
一、二阶线性微分方程举例
例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度
求电容器两两极板间电压 uc 所满足的微分方程 .
提示: 设电路中电流为 i(t), 极板
R
上的电量为 q(t) , 自感电动势为 EL ,
由电学知
i
L C
E ∼~
q‖ q K
根据回路电压定律:
在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0
E L di q Ri 0 dt C
化为关于 uc 的方程:
解：分离变量，得
两端积分:
dy y
2 x dx (1 x2)
dy y
2 x dx
(1 x2)
d(1 x2 ) (1 x2)
ln y ln (1 x2) ln C ,
3、一阶线性微分方程.
（1） 一阶齐次线性方程 dy P( x) y 0.
齐次方程的通解为
dx
y
Ce
P(
x)dx
2、一阶非齐次线性方程 dy P(x) y Q(x).