一阶倒立摆的LQR稳定控制

J=
乙 （X QX+u Ru）dt
* * 0
∞
式中 Q— —— 正定 （ 或正半定 ） 厄米特或实对称阵 [2] 为正定厄米特或实对称阵 —— R—
1
倒立摆数学模型
图1 方程右端第二项是考虑到控制能量的损耗而引进的 ， 矩阵 Q 和 R 确定了误差和能量损耗的相对重要性 。 并且假设控制向量 u （t ） 是无约 束的 。 对线性系统 ：
0
引言
使得性能指标达到最小值 ：
倒立摆 与 自 动 控 制 技 术 研 究 密 切 相 关 ， 在 控 制 理 论 发 展 的 过 程 中 ， 某一理论的正确性及实际应用中的可行性不仅需要仿真来验证 ， 也需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证 ， 倒立 摆就是这样一个常用的被控制对象 . 控制器的设计是倒立摆系统的核心内容 ， 因为倒立摆是一个绝对 不稳定的系统 ， 为使其 保 持 稳 定 并 且 可 以 承 受 一 定 的 干 扰 ， 需 要 给 系 统 设 计 控 制 器 ， 最 优 控 制 理 论 （LQR ） 是 现 在 比 较 流 行 的 控 制 方 法 ， 而 且可以达到比较理想的控制效果 。 本 文 主 要 工 作 是 将 LQR 控 制 应 用 到 倒 立 摆 系 统 上 ， 通 过 使 用 Matlab 软件对一级倒立摆系统的仿真 ， 验证了 LQR 具有抗干扰能力 较强 ， 反应时间快 ， 超调量小 ， 鲁棒性较好的特点 。
Study of LQR Stability Control in an Inverted Pendulum ZHANG Xiao-rong LI Yong-hong （School of Information and Communication Engineering, North University of China, Taiyuan Shanxi, 030051 ） 【Abstract 】The inverted pendulum is a kind of typical fast system with multi-variables, non-linearity, strong couoling and instinct instability. It ’ s very important for the profound significance of stability study of the inverted pendulum both in theory and practice. In this paper, the significance of there searching on the stability and the study on current conditions of inverted pendwk.baidu.comlum has been described generally at the first. After that, it intro duces the theory of LQR control in details and designs the controller for the inverted pendulum system . Then, according to the controller designed by the controlling theories, do Matlab/Simulink. At last the result is used in the real-time controlling on the Googol inverted pendulum experiment equip ment and the final conclusion can be made after the real-time experiment results. 【Key words 】LQR; MATLAB/Simulink; Real-time control
2013 年
第3期
ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
○高校讲坛○
科技信息
一阶倒立摆的 ＬＱＲ 稳定控制研究
张晓荣 李永红 （ 中北大学 信息与通信工程学院 ， 山西 太原 030051 ）
【 摘 要 】 倒 立 摆 是 一 个 典 型 的 快 速 、 多 变 量 、 非 线 性 、 绝 对 不 稳 定系统 ， 对 倒 立 摆 系统 的 稳 定 性 研究 在 理 论 上 和 方 法 上 具 有 深远 的 意 义 。 本 文 首先 叙 述了对 倒 立 摆 系统 稳 定 性 研究 的 意 义 ， 综 述了 倒 立 摆 的 研究现状 。 其次着 重介绍 了 LQR 控 制的相关 理 论 ， 设 计 出 一 阶 倒 立 摆 系统 的 控 制 器 。 然 后 ， 对 设 计 出 的 控 制 器 进 行 Matlab/Simulink 仿真 并 将 仿真 结 果 应 用 于 固 高 倒 立 摆 实 时 控 制 系统 中 ， 比 较 实 验结 果 ， 最后 得 出 结 论 。 【 关键词 】LQR 控 制 ；MATLAB/Simulink 仿真 ； 实 时 控 制
乙
咬 则有 ： 觶 ，准 ，准 觶觶 设 X= 觶 ，u′=x x ，x
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
觶 =AX+Bu X Y=CX
0 0 咬 x = 0 觶 准 0 咬 准
觶 x
在此我们采用牛顿 － 欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学 模型 ， 在忽略了空气阻 力 和 各 种 摩 擦 之 后 ， 可 将 直 线 一 级 倒 立 摆 系 统 抽象成小车和匀质杆组成的系统 ， 我们不妨做以下假设 （ 小车质量 M 、 摆 杆 质 量 m、 小 车 摩 擦 系 数 b、 摆 杆 转 动 轴 心 到 杆 质 心 的 长 度 l、 加 在 小车上的力 F 、 小车位置 x ）[1]。 最后得出的数学模型 ：