7-第七章-空间群图表的认识与使用

P 4 3m
31 g 32
cp
六、原点移动引起的对称操作矩阵的变化 ● 原点移动p之后，空间群的对称元素和一般位置配置图 需相应也移动-p。除全同操作和有心平移外，对称 操作的几何描述应该相应地变化。 原对称操作矩阵:
w⎞ ⎛ W W =⎜ ⎟ ⎜0 0 0 1 ⎟ ⎠ ⎝
p⎞ ⎟ ⎟ 1⎠
坐标原点移动p后，对称操作矩阵
三、由空间群简略HM符号求其对称操作 空间群的简略HM符号已包括了该空间群的某一组生成操作 的信息（可能与表中的一致也可能不一致），此外，还有些符 号的作用是指明各对称元素的方向。 求全部对称操作步骤： (1) 由有心类型的字母和该空间群的点群，可立即知道空间群 的点阵类型，即平移群T的类型。 (2) 由符号可知一组生成操作(W, wg+wl)中的点操作部分W和内 禀平移分量wg。 (3) wl依赖于坐标原点的选择，通常先选某个生成操作的位置 分量为零。 (4) 再根据对称操作的乘法关系确定其他生成操作的位置分量.
（5）正交空间群：包含四幅图 ①俯视对称元素图(沿c轴) ②正视对称元素图(沿a轴)
③侧视对称元素图(沿b轴) ④一般等效位置图(沿c轴)
（6）单斜空间群： 唯一性轴及第一种单胞选择----四幅图 唯一性轴及不同单胞选择
二、原点 （1）90种中心对称的空间群选取倒反中心为原点 其中24种空间群含有不在对称中心的高对称性点，就再 画一套 （2）非中心对称的空间群，原点一般取在最高对称性点处 （3）如果位置对称性都不比1高，通常把原点放在螺旋轴 上、滑移面上、或若干这样对称元素的交点上 （4）P212121(19)互不相交，取原点使三对21对称地围绕着 这原点，即原点位于三对21轴的中心。一些含有P212121 为其中子群的非中心对称空群也同样地取原点，如： I212121(24), F4132(210) 空间群图表中：给出原点的位置对称性及通过原点的对称元素 如在1在滑移面c上
（3）菱面体空间群 两套：① 选正放置的三重六角单胞 （阵点坐标 000，2/3 1/3 1/3, 1/3 2/3 2/3） ② 选菱面体初基胞
§7-2 空间群图，原点和无对称单元
一、空间群的图示 （1）内容：①对称元素的相对位置和取向 ②一般等效位置：一组在对称性上等效的一般位置的 配置 （2）规则：① 投影方向都垂直于纸面 ② 沿单胞的某一基矢（例外：菱面体单胞沿[111]方向 投影） ③单胞的另外基矢不平行于纸面时就用下标p注明。 （3）一般位置图：+，- 沿投影方向的高度 ， 互成对映关系 -， 平行于投影面的镜面 + （4）对称元素符号：对称面垂直于投影面: m, a,b,c, n, d 对称面平行于投影面：标出相对高度
第七章 空间群图表的认识与使用
§7-1 空间群图表的内容和安排 §7-2 空间群图，原点和无对称单元 §7-3 对称操作，对称元素的配置和一般 位置的坐标 §7-4 Wyckoff 位置 §7-5 X射线反射可能出现的条件 §7-6 Patterson函数及其对称性 §7-7 特殊投影的对称性 §7-8 空间群的子群与母群
二、标题 第一行 （1）简略HM符号：是标准简略符号 （2）Schoenflies符号 （3）空间群的点群的简略HM符号 （4）晶系的名称 第二行 （5）空间群的序号 （6）完全HM符号 （7）Patterson对称性 第三行（有些有第三行） （8）原点选择，或，坐标轴定向和单胞选择
三、空间群有几套图表的情况： （1）两种原点选择. ● 有中心对称的空间群：一般以对称中心作为原点 90种中心对称的空间群中有24种最高对称性的 点不与对称中心重合，另给出一套以高对称性 点为原点的图表 Fddd（70） 原点：222 对称性 1 对称性 Fd3m（227）原点：43m 对称性 3m 对称性（对称中心） ● 非中心对称的空间群：只给出一种原点的图表
空间群Ｇ的对称操作数目是无限多的，但其中只有nch个操作 是基本的：(I,ti’)(Wj,wj)=(Wj, wj+ti’)，其余为这些操作施以基 矢整数倍平移而已。（nc为每个单胞内的阵点数） ● 对称操作(Symmetry operations)：有nch个，分nc个组。 对称操作类型，相应的方向和位置 ● 一般位置(General positions)：从任意的坐标为x,y,z的位 置出发，用空间群的nch 个对称操作对它进行变换就 得到nch个在对称性上等效的位置，叫做一般位置。 ● 一般位置的坐标其实就是对称操作矩阵的缩写, 也是对称 操作的代数描述。 Positions中，只列一组h个一般位置的坐标，将其他nc-1组 的位置坐标分别加上即可得多重性相同数目的点坐标
二、生成操作(Generators selected) ● 作出这些操作的乘幂的乘积就可得到空间群的全部对称 操作。 ● 全同操作及沿单胞三个基矢的平移总是选作生成操作。 ● 生成操作的选法不是唯一的。 选生成操作的约定原则： (1) 同晶类的空间群尽可能选同类对称操作。 (2) 生成操作及其顺序要选取得空出该空间群的尽可能多 的子群。如面心点阵，不选取初基胞的三个基 矢，而选惯用胞基矢。由惯用胞基矢生成的平移 群为TF的子群，再选两个有心平移。 (3) 生成操作应选出现二次乘幂即可生成空间群的对称操 作。 (4) 中心对称空间群总是选某倒反操作作为生成操作。
⊥[011]
⊥[101]
2．空间群 P43m 的对称元素配置图
过A点： 有三支4轴: 4+<100>, 4-<100>, 2<100> 有六张镜面: m[110]，m[1-10] m[011]，m[01-1] m[101]，m[10-1] 有四支3次轴：3+<111>, 3-<111> ——包括了全部基本对称操作 其他全部对称元素可由基本对称 操作与点阵平移组合而得。
五、立方空间群的对称元素配置图 1、与投影面斜交的对称元素的 图示符号 ●三斜晶系只可能有对称中心， 而无其他对称元素 ●单斜、正交、四方、三角、六 角晶系：对称元素或平行 于投影面或垂直于投影 面，而且3,4,6次轴不平行 于投影面 ●立方晶系：4个3<111>, 3个 2<100>无论如何选取投 影方向，总有与投影面斜 交的
三、无对称单元： 是空间中的一部分区域，由它出发施以空间群的对 称操作，就恰好填满了整个空间。它包含了为充分描述晶 体结构所必需的一切信息，是基本区域。 特点：（1）镜面必是无对称单元的界面； （2）2次轴可平分界面，也可是无对称单元的棱边 （3）其他旋转轴必是无对称单元的棱边 （4）倒反中心或为其顶点，或位于其界面或棱边的 中点 对三斜，单斜和正交空间群：无对称单元——平行六面体 顶点在原点，界面平行于单胞侧面 0≤x≤p1, 0≤y≤p2, 0≤z≤p3 对于更高对称性的空间群：原点不一定是顶点，界面也不 一定平行于单胞侧面 p1≤x≤p1’, p2≤y≤p2’, p3≤z≤p3’ 平行六面体可能大于无对称单元，平行六面体内的 界面用不等式给出，如;x≤y,
● 晶体结构的认识、测定、描述和分类 ● 研究点阵振动、电子能带论、相变 ———— 研究任一固体科学的问题 例：方解石晶体（CaCO3）的结构：每个晶胞内有6个 分子式，共包含30个原子 ● 运用空间群的资料描述为： 6 Ca 在 6(b): 0, 0, 0 3d C 在 6(a): 0, 0, ¼ O 在 18(e): x, 0, ¼ (x=0.257)
I w ⎞⎛ I − p ⎞⎛ W ⎛ W′=⎜ ⎜ 0 0 0 1 ⎟⎜ 0 0 0 1 ⎟⎜ 0 0 0 ⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ w + Wp − p ⎞ ⎛ W w′ ⎞ ⎛ W ⎟=⎜ =⎜ ⎟ ⎜0 0 0 1 ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
即操作(W,w)变成操作(W,w’)，相差Wp-p
Fddd
⎛1 p=⎜ ⎝8
1 8
1⎞ ⎟ 8⎠
w’=w+Wp-p
§7-4 Wyckoff 位置
一、基本概念 从空间的某一点X(x,y,z)出发，用空间群G的每一对称操作 依次对点X进行变换, 得到的一组点相对于空间群G在对称性上 与点X等效，叫作点X的晶体学轨道。 ●一般位置（一般点）：空间群的不同的对称操作把它变换 成不同的点。一般点的晶体学轨道中的每个点与空间群中 的对称操作一一对应。 ●特殊位置（特殊点）：某些对称操作把点X变成它自己， 构成点群S（有hs个元素），即SX=X；另一些对称操作 把点X变成另一些点Xi’，即(Wi,wi)X=Xi’，组成S的陪集。 G=S+(Wi,wi)S+… 特殊点，空间群中的每hs个对称操作把它变换成一个点， 这种晶体学轨道中的点与空间群中的对称操作1:hs地对 应；与空间群G对S对称群展开所得的陪集一一对应。
《晶体学中的对称群》 Crystallographic Symmetry Group
中国科学院金属研究所 隋曼龄
2007.3.1-4.6
主要内容
第Baidu Nhomakorabea章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 对称操作 二维晶体学 群论初步 晶体学点群 点阵、晶系与晶体学中的坐标系 空间群的推导 空间群图表的认识与使用 空间群与晶体结构及相变
P 4 3m
31 g 32
b a -c
1 1 1 a : [100] = [2 1 1] - [ 1 1 1] = a p - [ 1 1 1] 3 3 3 1 1 1 b : [010] = [ 1 21] - [ 1 1 1] = b p - [ 1 1 1] 3 3 3 1 1 1 c : [001] = [112] + [ 1 1 1] = c p + [ 1 1 1] 3 3 3
R 3 c (D )
——可以充分描述方解石的晶体结构
§7-1 空间群图表的内容和安排
一、一般为两页 左页：标题 对称元素配置图 一般等效点配置图 原点 无对称单元 对称操作 右页：简略的标题 选用的生成操作 等效位置 特殊投影的对称性 最大不同构子群 最低指数的最大不同构子群 最小不同构子群
四、空间群对称元素配置图的推导 ①空间群的对称元素配置图 ②空间群的对称操作 ③空间群的一般位置的坐标 ——三种信息中知道任一种就可以推出其它两种。 本节讨论：对称元素配置图与对称操作的关系 一方面：由对称元素配置图-----在何处有何种对称元素 进而知道，相应的对称操作的几何描述和矩阵表示 另一方面： (1) 由非平移的生成操作推导出“对(0,0,0)+ 组”的基本对称操作 (2) 把这些操作依次与平移操作组合就可推导出一个惯用晶胞 内的全部对称元素。
（2）单斜空间群： 各有两套图表：
以b为唯一性轴 以c为唯一性轴 其中，P2, P21, Pm, P2/m, P21/m 5种与基矢选取取无关。 而C2, Pc, Cm, Cc, C2/m, P2/c, P21/c, C2/c 8种则有侧心 或滑移面, HM符号与基矢选取有关。 ——除了唯一性轴不同外，还有单胞选取方式的不同。
§7-3 对称操作，对称元素的配置和一般位置的坐标
一、对称操作与一般位置的坐标 空间群 G=T+T(W2,w2)+T(W3,w3)+…+T(Wh,wh) 点群 P={I, W2, W3, …, Wh} 平移群 T 全部形如(I,tj)的平移对称操作的集合U={(I,tj)}构成一个群， 其中 tj=uja+vjb+wjc. U为单胞基矢a,b,c的整数之和构成的平移的集合. 简单点阵(P)的空间群的平移群：TP=U 体心点阵(I)的空间群的平移群： TI=U{(I, 0)+(I, ½ ½ ½)} 对面心点阵(F)：TF=U{(I, 0)+(I, 0 ½ ½)+(I, ½ 0 ½)+(I, ½ ½ 0)} 对侧心点阵(C)：TC=U{(I, 0)+(I, ½ ½ 0)} 用六角坐标表示菱面体点阵(R)的平移群： TR=U{(I, 0)+(I, 2/3 1/3 1/3)+(I, 1/3 2/3 2/3)} 平移群T为U与nc个有心点阵平移(I, ti’)构成的集合之乘积。