二阶宏观交通流模型

基于期望值最大化算法的针对宏观交通流模型中关键参数的自适应最大似然估计量设计

大量的高速公路网络可以被描述的非线性、非高斯宏观二阶状态空间模型。在交通监控系统最具挑战性的问题之一,是在交通流模型关键参数估计包括一条高速公路区段的临界密度、自由流动速度和指数,它不断地服从随时间变化而变化,因为交通条件(交通组成、事件,。。。)和环境因素(浓雾,强风,雪,。。。)和对于在分布式传感器网络和通信链接的问题缺失的数据。这些参数流量在智能交通系统(ITS)中的控制策略和应用,如交通控制、斜坡计量,事件管理和许多其他应用程序有关键影响性能的。所以,他们必须估计准确和在线。这些提到的参数用所有有效观测值离线估计，通过实施基于期望最大化算法的最大似然估计方法。提出的方法去构成一个自适应的估计器，去校正在非线性、非高斯的交通流状态空间模型中的静态参数，这些方法是渐进的、统计的方法，是不随时间退化的。为了近似这些方法中最有滤波器的一阶和二阶导数，不需要复杂性分析，基于粒子滤波器和平滑器期望最大化算法已经的实施。在BHL 和RTMC 中的仿真结果证明了提出方法的有效性。

介绍

宏观交通流模型有三个重要的参数，即流动特性，取决于交通基础设施和气候条件，为了用有效地可能不完整的测量值校准二阶宏观交通流模型，提出了一个最大似然估计量的方法，这个方法是用基于期望值最大化算法的方法实现的。

为了顾及提到的模型参数，n

R ∈θ是通过交通设施中的分布传感网络和被观测的输入输出信息得到的，如果我们把这个问题看作是一个非线性的系统辨识问题，交通模型参数化的方法就是用最大似然仿真，可以找到一估计量n

R ∈∧

θ

()y y p n

,....,max

arg 1

θθ

θ∆

∧=

()y y p n

,....,1

θ是N 个输出测量值的联合概率。如果基于梯度的迭代搜索方法解决最大似

然问题，有必要计算概率和一个确定参数的预测梯度

))|((1:1-∂∂

t t x

y y p θ，一个可以近似滤波梯度的方法就是用连续的蒙特卡洛方法（SMC ）。期望值最大化（EM ）算法用于解决最大似然（ML ）问题,这个方法曾被用于解决线性和双线性系统问题。用EM 算法的离线参数估计用于校正交通流的非线性状态空间模型的流动特性。EM 算法和另外一种方法帮助我们能在ITS 中实现用数据融合和注册的方法去管理操作大型数据库。EM 算法和卡尔曼滤波实现同步状态和参数估计。为了避免用卡尔曼滤波的方法时参数值发散，提出了交互多模型滤波。然后我们运用这些方法设计自适应的估计量去跟踪在线应用中参数的变化。参数化需要是防射的，噪声需要附加的高斯噪声。

二阶宏观交通流模型

T ：时间

i ∆：第i 段的长度

i λ：第i 段中线路数目

()k i ρ：在kT 时刻，第i 段中车辆密度，单位veh/km/lane

()k v i ：在kT 时刻，第i 段中车俩平均速度，单位km/h ()k q i ：在kT 时刻，第i 段中的交通流，单位veh/h ()k r i ：在kT 时刻，第i 区段的上坡道流入流量 ()k s i ：在kT 时刻，第i 区段的下坡道流出流量

()k i ξ：在kT 时刻，第i 区段的下坡道退出率

δυτκ,,,：模型参数，在所有区段都保持不变

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

等式（5）静态速度等式，是交通速度和密度的静态关系，对以下三个参数的变化非常灵敏,即自有留速度f ν，临界密度cr ρ，指数α，V 和ρ是高速公路部分的平均速度和密度测量值。

用ML 估计和EM 算法的离线参数估计

假设输出测量值Y 给定初始值，根据所有测量值可以知道状态

{}11,....,+∆

=N x x X 的测量值。

通过以下公式求θ的最大似然估计：

（6）

（7）

可以用递归搜索的方法求最大化，但是通常没有任何状态的测量值，所以上述环境不是实际情况。

EM 的第一步(E 步)：用当前测量值

’

θ

近似联合概率()Y X L ,θ的期望值

。

(8)

最大化()',θθQ 因此保证()Y L θ增加，并且可以保证ML 模型估计的目的。一般地，通过EM 算法的k 系迭代可以得出

(9)

最大化

(

)

'

,θ

θQ 可以得到一个新的估计量

(10)

EM 算法是期望和最大化步的一个迭代过程，很显然EM 算法的完成需要计算

()k Q θθ,中的期望，需要通过θ

最大化()k Q

θθ,的方法。在附加高斯噪声的线

性系统中存在期望的闭环表达式，但是在很多情况下没有这种解决方法或者用一种近似的方法求取期望，粒子滤波的方法用于近似

()Y X p k |θ分布，数值方

面，通过这种方法，

()

'

,θθQ 的积分可以转换为带权值脉冲函数的有限次和。

E 步

E 步是怎么计算()k Q

θθ,，根据贝叶斯规则和模型1-5中的马尔科夫特性：

(11)

(12)

把（11）和（12）代到（7）和（8）得

(13)

主要关注了边缘平滑密度()Y X p t |而不是完整的联合密度()Y X p |，边缘平滑密度可以用质点法近似，得到

（14）

把（14）代入（13）的()k Q

θθ,的理想近似()k

Q θθ,ˆ,即

（15）

M 步

选择缺失的数据便于()k

Q

θ

θ,ˆ能直接求出来，在所有问题中没有唯一的

方法去解决最大化，只取决于手边的情况。当()k

Q

θ

θ,ˆ和关于θ的梯度存在,

数值微分和实用的迭代的基于梯度的搜索过程可用于最大化()k

Q

θ

θ,ˆ,比如标

准的拟牛顿法。E 步和M 步具有一般性，和特殊问题的底层架构无关。

1.()k

Q θθ,ˆ取决于参数θ、权重q

i N t ~)

()|(、平滑粒子

(

)x i N t )(|。

2.

（16）

现场数据测试

1.伯努利高速公路实验室

选择的数据包括自由流动状态和阻塞状态，初始参数估计量选择为