概率论与数理统计 古典概型

(1) A1 { 三个数字中不含 0 和 5 }；
3 10
解： 基本事件总数
N C
.
则这三个数字可以 0 和 5，
(1 ) 因为三个数字中不含
从其余八个数字中任意
选出 , 所以事件
3
A1 包含的基本
事件数为 M 1 C 8 . 于是
3
P ( A1 )
C8 C
3 10

7 15
.
从0,1,2, ,9共十个数字中任意选出三个不同的数字,
C 10 C 8
3
1
C
3 10

14 15
.
从0,1,2, ,9共十个数字中任意选出三个不同的数字,
试求下列事件的概率：
(3) A3 { 三个数字中含 0 但不含 5 }.
0 但不含 5 , 则另两个数字可从
解： 因为三个数字中含
其余八个数字中任意选
出 , 所以事件 A3 所包含的基本事
将 5 个球进行编号:1,2,3 号为白球,4,5 号为黑球.
设 ij : 取出的两球的号码为 i , j (1 i j 5 ), 则，
{ 12 , 13 , 14 , 15 , 23 , 24 , 25 , 34 , 35 , 45 },
件数为
： 3 C 8 . 于是 M
2
P ( A3 )
C8 C
2
3 10

7 30
.
于是，
P ( A) C n PM P N M P
n N m m nm
.
[例3]（继上题） 将抽样方式改为“一次任取 n 件样品”,求相 应的概率.
C 解： 样本空间中基本事件总数为：
C A 所包含的基本事件总数为：
n N
m M
,
C
nm N M
,
于是，
P ( A)
CM C N M C
A { 12 , 13 , 23 },
从而，
P ( A) 3 10 0 .3 .
表达方法：
样本空间中基本事件总数： N C
2 5
5! 2! 3!
10 ,
2 事件 A 所包含的基本事件总数： M C 3 3 ,
于是，
P ( A)
M N

3 10
0 .3 .
m m
பைடு நூலகம்
nm
CN
m nm
n
m ! ( n m )! C M C N M n!
nm
CN
.
n

C M C N M
m
C
n N
例4 在10张奖券中有2张中奖券，有10人依次逐个 抽取一张奖券，求第5个人抽到中奖券的概率。 解： 设 A 表示第 5 人抽到中奖券。
总的基本事件的个数为 ： P10 P2 P10 1
求所取两球都是白球的概率.
错误！设 A : 所取两球都是白球，
样本空间为
{ 00 , 01 , 11 }
其中，
00 : 所取两球都是白球，
01 : 所取两球一个是白球一个是黑球，
11 : 所取两球都是黑球，
则 P ( A) 1 3 .
三个样本点不是等可能 的！
正确的思考方法: 将 5 个球视为 5 个不同的个体 而不是只视为黑白两类！
[例2] 一批产品共有 N 件，其中有M 件次品.从这批产
品中依次任取 n 件，求其中恰有m 件次品的概率.抽 样方式分别为： （1）有放回； （2）无放回.
解：(1) 有放回情形 样本空间中基本事件总数： N n N N N ,
A 所包含的基本事件总数： C m M n
m
(N M )
具有直观、容易理解的特点, 应用非常广泛.
二、古典概型的计算公式
定理 设试验的样本空间
包含 n 个等可能的
, 则有
基本事件， 事件 A 包含 m 个基本事件
P ( A)
m n

, 中基本事件的总数
A包含的基本事件
该式称为等可能概型中事件概率的计算公式.
[例1] 袋中有三个白球,两个黑球,从中任取两个球,
试求下列事件的概率：
(2) A 2 { 三个数字中不含 0 或 5 }; 0 和 5 ｝则另一个数字可 ,
解： 因为 A 2 ｛三个数字中含
从其余八个数字中任意
选出 , 所以 A 2 包含的基本事件数
为 M
2
C 8 . A 包含的基本事件为 2
1
C 10 C 8
3
1
于是
P ( A2 )
n N
m
nm
.
附：不放回依次抽样与一次抽样的等价性
P ( A) C n PM P N M P
n N m m nm

C M C N M C
n N
m
nm
.
利用公式
m
Pm n ! C m 得，
n n
m nm n N
C n PM PN M P Cn
m

C n m ! C M ( n m )! C N M
N ( N 1)( N 2 ) ( N k 1)
k
k 1

M N
.
P( Ak ) 与 k 无关!
* 2.几何概型
假设随机试验包含无穷多个基本事件,且每个基 本事件都是等可能的. 定义
假设试验的样本空间
包含无穷多个基本
事件 A 包含
事件，其总量可用某种
的基本事件可用同样的
设 A k 表示第 k 次取得次品， 则 A k 包含的基本事件
总数为 : M P N 1 M ( N 1)( N 2 ) ( N k 1),
k 1
于是， P ( A k )

M P N 1 PN M ( N 1)( N 2 ) ( N k 1)
第一章 随机事件及其概率
§1.4 概率的古典定义
一、古典概型的定义
定义 设 E 是随机试验
。 。
, 若 E 满足下列条件
:
1 试验的样本空间只包含有限个元素; 2 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
则称 E 为等可能概型 .
等可能概型的试验大量存在, 它在概率论发
展初期是主要研究对象. 等可能概型的一些概念
几何特征进行度量；
几何特征度量
. 事件 A 的概率定
义为：
P ( A)
A的度量
的度量
.
小 结
1. 古典概型：构建合适的样本空间,正确计算样本 点个数.构建样本空间时,要特别注意样本点的等可能 性. 2. 两个重要的概率模型---无放回抽样(超几何分 布),抽签次序无关性. 3. 几何概型---古典概型的推广：样本空间为无穷 集合.
思考题
从0,1,2, ,9共十个数字中任意选出三个不同的数字,
试求下列事件的概率：
(1) (2)
(3)
A1 { 三个数字中不含 A 2 { 三个数字中不含
A3 { 三个数字中含
0 和 5 }； 0 或 5 };
0 但不含 5 }.
从0,1,2, ,9共十个数字中任意选出三个不同的数字, 试求下列事件的概率：
m n
nm
,
nm
于是，P ( A )
Cn M
m
m
(N M ) N
n
nm
C (
M N
) (1
m
M N
)
.
(2) 无放回情形
样本空间中基本事件总数：
N ( N 1) ( N n 1) PN ,
n
A所包含的基本事件总数：
C n PM P N M ,
m
m
nm
1 51 5
事件 A 所包含的基本事件为：
于是 P ( A )
P2 P10 1 P
5 10
1
51

29876 10 9 8 7 6

1 5
这就是抽签的公正性
[例4] 一批产品共有 N 件,其中有M 件次品.每次从 中任取一件,取出后不放回,接连取 k 个产品.求第k 次取得次品的概率.( k 1, 2 , 3 , , N ) k P 解：基本事件总数为： N N ( N 1) ( N k 1),