数学教案 坐标轴的平移

数学教案－坐标轴的平移

一、教材分析

1、坐标变换是化简曲线方程，以便于讨论曲线的性质和画出曲线的一种重要方法。这一节教材主要讲坐标

轴的平移，要求学生在正确理解新旧坐标之间的关系的

基础上掌握平移公式;并能利用平移公式对新旧坐标系中点的坐标和曲线的方程进行互化。这就是本节课的教学

目的之一。

2、本教材的重点是平移公式的推导及其简单应用。为了解决重点，教学中先以圆

(x-3)²+(y-2)²=5²化为

x²+y²=5²这个例子引入来说明，虽然点的位置没有改变曲线的位置、形状和大小没有改变，但

是由于坐标系的改变，点的坐标和曲线的方程也随着改变，而且适当地变换坐标系，曲线的方程就可以化简，

以此指明平移坐标轴的意义和作用，并由此引出平移的

定义，导出平移公式。在推导平移公式时，先从特殊到

一般，通过观察、归纳、猜想和推导，得出平移公式，

还引导学生运用代数中刚学过的复数的几何意义来证明，既开阔视野，沟通学科知识，又培养学生的思维能力，

同时还可通过一组练习，让学生正用、逆用、变用平移

公式，达到进一步加深理解、熟练掌握公式的目的，进

而培养学生的发现、推理能力和教学思想方法。

3、本节教材的难点是平移公式两种形式何时运用，

学生易产生混淆，教学中应通过实例让学生自己领会，

并及时加以小结，掌握其规律，加强公式的记忆并培养

灵活运用知识的能力。

4、本节寓德于教的要点，主要是通过事物变化过程

的内在联系，认识变与不变的矛盾对立统一规律，对学

生进行辩证唯物主义的教育。

二、教学过程（ (一)提出问题

教师先在黑板上画出图形，让学生观察、思考并提

问以下问题:

1、如图，点O和○O关于坐标系xoy的坐标和方程

各是什么?点O和○O关于坐标系xoy的坐标和方程各是

什么?两个方程，那一个较为简单?

(学生回答，教师在黑板上板书:)

直角坐标系点O的坐标○O的方程

在xoy中(3，2);(x-3)²+(y-2)²=5²

在xoy中(0，0)x²+y²=5²

两个方程，显然后一个方程简单。

(二)引入新课

(继续提问)

1、从上面的例子可以看出什么?

(答)(1)对于同一点或同一曲线，由于选取的坐标系不同，点的坐标功曲线的方程也不同。

(2)把一个坐标系变换为另一个适当的坐标系，可以使曲线的方程简化，便于研究曲线的性质。

教师继续提出新的话题，即如何把一个坐标系变换为另一个适当的坐标系呢?我们再从上面的例子来观察坐标系

xoy与xoy有何异同点呢?(提问)

(答)(1)坐标轴的方向和长度单位都相同——不变 (2)坐标系的原点的位置不同——变

(教师归纳)这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。

(让学生打开课本阅读移轴的定义，教师在黑板上板书)

(板书)坐标轴的平移

(三)讲授新课

(板书)1、坐标轴平移的定义

2、坐标轴平移公式

思路:(1)以特殊到一般，在已画出的图形上任取四个点(分别在第一、二、三、四系限或坐标轴上)让学生

分别写出在新、旧坐标系里的坐标，并观察、分析出它

们的关系。

(答)坐标平面上任意一点在原坐标系中坐标和在新

坐标系中的坐档，归纳出来有如下关系:

(板书)原系横坐标x=新系横坐标x+3

原系纵坐标y=新系纵坐标y+2

现在把(3，2)推广到一般(h，k)能否得出x=x+h

y=y+k

这个公式呢?(让学生自己动手证明)

思路(2)第一步用有向线段的数量表示x，y，h，k，x，和y，

第二步据图进行推导

第三步由推出的公式x=x+h(1)再推出x=x-h

y=y+ky=y-h

小结:这两个公式都叫做平移(移轴)公式。同学们还可以运用代数中学过的向量加、减法则，建立复平面来

证明(留给学生课后自己作练习)

3、平移公式的应用

(1)利用平移公式求在新坐标内点的新坐标

例与练:①平移坐标轴，把原点平移到O(-4，3)，

求A(0，0)，B(4，-5)的新坐标;C(5，-7)，D(4，-6)的

旧坐标。

②平移坐标轴，把原点平移到O()使A(2，4)的新坐标为(3，2);B(-4，0)的旧坐标为(0，3)

(2)利用平移公式化简方程

例与练:(课本例)平移坐轴，把原点移到O(2，-1)，求下列曲线关于新坐标系的方程，并画出新旧坐标轴和

曲线。

(x-2)

①x=2②y=-1③（x+2)²/9+(y+1)²/4=1

分析:解①②时用分别把x=2，y=-1代入公式

(2)得x=0y=0(比课本中的解法简单)而在解③时，

却要用公式(1)分别用x=+2，y=y-1代入原方程得出新方程x/9+y/4=1(引导学生正确作出图)

小结:从例中可以看出，要把方程

(x-2)²/9+(y+1)²/4

化为简单的方程x²/9+y²/4=1，可把

x-2=xy+1=y，得出应

把坐标原点平移到(2，-1)，由此可推广，形如

(x-h)²/a²+(y-k)²/b²的方程如何化简。

选择题1.坐标轴平移后，下列各数值中发生变化的

是()

(A)某两点的距离(B)某线权中点的坐标